Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Комплексная оценка недвижимости. Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

06.09.2026

Размер:

2 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 2021 / 2421 22 23 24 > Следующая >>>

представляют собой интервалы между статистиками, с определенной вероятностью содержащие истинное значение оцениваемого параметра. Для построения интервальной оценки параметра (например, средней цены Цср) необходимо найти две статистики Н и В, вероятность нахождения параметра между которыми равна заданной:

p (Н ≤ Ц

≤ В) = 1 – α.

ср

При этом интервал

ср

≤ В

Н ≤ Ц

называется 100(1–α)%-ным доверительным интервалом для Цср. Его можно интерпретировать следующим образом. В указанном доверительном интервале с вероятностью (1 – α) будет находиться истинное значение средней цены Цср. Статистики Н и В называются соответственно нижней и верхней доверительной границей интервала, величина (1 – α) – доверительной вероятностью (мерой надежности), а величина α – вероятностью ошибки (уровнем значимости). Например, если α = 0,1, то соответствующий интервал будет называться 90%-ным доверительным интервалом для Цср.

Именно доверительный интервал может быть показателем, характеризующим степень случайного варьирования данных. Но, как было отмечено выше, обычно таким показателем служит оценка стандартного отклонения. Она используется, в частности, при обработке тех совокупностей данных, для которых правомочно вычисление среднего значения. Например, при использовании в сравнительном подходе к оценке стоимости средних значений, полученных усреднением рыночных цен подобных объектов, оценщик имеет дело со случайными величинами. Поэтому ему необходимо удостовериться, что погрешность найденного таким образом среднего не превышает заданного предельного значения. Именно на этот вопрос и отвечает понятие доверительного интервала. Рассмотрим механизм определения доверительного интервала для среднего значения цены.

Пусть, как обычно, истинная цена Ц некоторого объекта, соответствующая математическому ожиданию μ(Ц ), неизвестна. Вместо нее имеется выборка из n цен идентичных объектов, представляющая совокупность нормально распределенных случайных

201

величин. По выборке можно определить среднее значение Цср и

−

сделать оценку стандартного отклонения σ. Из курса математической статистики известно, что величина

ЦЦ

ср

⋅

подчиняется так называемому t-распределению (Стьюдента) с числом степеней свободы m = n – 1. Известно, что при достаточно большом числе наблюдений n → ∞ функция плотности вероят ности t-распределения переходит в функцию нормального распределения.

Функция плотности вероятности t-распределения протабулирована, и найденные с ее помощью граничные (критические) значения tкр могут быть использованы для оценки погрешности среднего значения случайной величины. Фрагмент таблицы значений t-распределения для уровней значимости α = 0,1 и α = 0,05 (при двустороннем ограничении) при наиболее используемыми оценщиками значениями чисел степеней свободы от 1 до 5 имеет следующий вид:

Число степеней

свободы т

1 6,31 12,7

2 2,92 4,30

3 2,35 3,18

4 2,13 2,78

5 2,01 2,57

Покажем, как, опираясь на оценку стандартного отклонения σ и таблицы значений tкр, для определения погрешности найден- ного среднего используются интервальные оценки. Это удобно рассмотреть на простом примере.

ПРИМЕР 3. Пусть собранная информация о ценах одинаковых объек

тов при применении сравнительного подхода представляет собой совокупность n = 4 случайных значений:

Необходимо найти ценовой интервал, в котором с вероятностью 90% заключена цена объекта.

202

при α = 0,1 tкр при α = 0,05

кр

Ц = [101; 110; 110; 120].

Среднее значение случайной величины Ц также является слу-

чайной величиной:

= 110,25.

ср

В Microsoft Excel находится оценка стандартного отклонения:

σЦ = СТАНДОТКЛОН.В(101;110;110;120) = 7,76.

Далее по желаемому уровню значимости α = 0,1 и числу сте-

пеней свободы m = n – 1 = 3 находим табличное значение критической для такого интервала величины tкр = 2,35.

Величина доверительного интервала для Ц

крσЦ

n = 18,24,

Δ = 2t

будет равной

ср

т.е. среднее значение цены с вероятностью 90% будет заключено в доверительном интервале

101,13 ≤ Ц

≤ 119,37.

ср

При этом погрешность определения цены не будет превышать

значение П = 100(Δ/(2Цср))% = 8,27%. Если для расчета была принята допустимая погрешность среднего не более 10%, то получим требуемую возможность контролировать разброс цен в собранной информации по одинаковым объектам. Если бы погрешность оказалась больше допустимых 10%, то можно было бы добиться ее уменьшения, используя другие исходные данные, например данные, дающие меньшее значение стандартного отклонения σЦ.

6.4. КОРРЕЛЯЦИОННО-РЕГРЕССИОННЫЙ АНАЛИЗ

Хотя корреляционный, регрессионный и дисперсионный анализы являются самостоятельными разделами математической статистики, в оценочной практике они часто объединяются под общим названием корреляционно-регрессионного анализа.

Корреляционный анализ позволяет с помощью статистических методов выяснить, есть ли связь между двумя или несколькими случайными величинами. Применительно к целям оценки стоимости обычно важен вопрос, влияет ли та или иная

203

характеристика объекта оценки на его стоимость, т.е. является ли она ценообразующей.

Действительно, в результате анализа рынка оценщик создает базу данных, включающую собранную им информацию об объектах на рынке. Эта информация включает по каждому объекту не только его цену, но и некоторые его характеристики (параметры). Для дальнейшего разумного использования следует узнать, существенно ли влияние этих характеристик на цену объекта. Таковыми характеристиками могут быть самые различные параметры объектов: массогабаритные размеры (например, общая площадь квартиры), показатели различных потребительских свойств (например, производительность агрегата), особенности внутреннего устройства (например, тип двигателя автомобиля).

Если влияние какой-либо характеристики на цену объекта окажется существенным, то она считается ценообразующей и в дальнейшем участвует в построении регрессионной модели цены, что будет описано ниже. Если влияние какой-либо характеристики на цену объекта несущественно, то в дальнейшем оно не учитывается.

В данном учебном пособии описаны методы оценки взаимного влияния только между двумя случайными величинами (так называемые методы парной корреляции). При этом будет рассматривать лишь линейная связь между этими величинами (так называемая линейная корреляция). В оценочной практике этого приближения обычно бывает достаточно для решения большинства задач с допустимой при оценке погрешностью. С точки зрения математики описанная выше модель парной линейной корреляции между случайными величинами X и Ц эквивалентна допущению, что n пар данных (х1;Ц1), (х2;Ц2), ..., (хn;Цn) образуют выборку из генеральной совокупности, для которой случайный вектор (Х; Ц) удовлетворяет нормальному (двумерному) распределению.

Исходя из этого, для определения наличия корреляции между двумя случайными величинами X и Ц (т.е. силы, или тесноты свя- зи между ними) следует предварительно по их значениям определить параметры выборок: средние значения xср и Цср, а также их стандартные отклонения σx и σЦ. Зная параметры выборок характеристики X и цены Ц, для расчета силы связи между ними ис-

204

пользуют так называемую их эмпирическую ковариацию, которая

Цсрс

−−

()

обозначается как σxЦ и определяется следующим выражением:

()

хii

∑

−

ЦЦ=

Значения ковариации σxЦ, как это видно из формулы, могут

быть как положительными, так и отрицательными. Положительные значения ковариации означают существование вероятной прямой зависимости между рассматриваемыми величинами, с увеличением одной величины другая также должна увеличиться. Например, цена автомобиля положительно зависит от объема его двигателя. Отрицательные значения соответствуют случаю, когда между случайными величинами существует обратная зависимость, т.е. с увеличением одной величины другая должна уменьшаться. Примером может служить зависимость от цены автомобиля и его пробегом.

В Microsoft Excel для вычисления ковариации между двумя случайными величинами используется статистическая функция КОВАР(массив1;массив2), в которой аргументами являются массивы со значениями этих величин.

Нулевое значение ковариации означает отсутствие связи между исследуемыми случайными величинами. Большие (абсолютные) значения ковариации означают сильную связь, малые – слабую. Но для правильного решения, какие значения считать большими, а какие малыми, необходимы эталоны сравнения. Исходя из этих соображений, вместо ковариации часто используется эмпирический коэффициент корреляции, обозначаемый через rxЦ. Он рассчитывается путем нормировки ковариации на произведение стандартных отклонений исследуемых случайных величин. Записывая это определение для пары случайных величин X и Ц, получим следующее выражение:

−−

()

∑



()

−

∑

 

ЦЦ

ср ср





ср ср









ЦЦ

∑∑

−



 

205

Коэффициент корреляции rxЦ показывает величину и направ-

ление линейной связи между значениями случайных величин X и Ц, каждое из которых представляет собой n-мерный вектор. По определению его абсолютное значение не может превышать 1:

–1 ≤ r

xЦ

≤ 1.

Так же как и в случае с ковариацией, положительная корреляция (rxЦ > 0) свидетельствует о наличии прямой связи между ценой и соответствующей характеристикой объекта оценки, отрицательная корреляция (rxЦ < 0) говорит о существовании обратной связи между этими величинами. Нулевое значение коэффициента (линейной) корреляции (rxЦ = 0) характеризует отсутствие линейной связи (но не отсутствие связи вообще).

Чем больше по абсолютной величине коэффициент корреляции, тем сильнее проявляется линейная связь между этими случайными величинами. Наконец, при максимальной абсолютной величине коэффициента корреляции (rxЦ = ±1) можно говорить о функциональной связи между величинами.

В Microsoft Excel для вычисления коэффициента корреляции между двумя случайными величинами используется статистическая функция КОРРЕЛ(массив1;массив2), в которой аргументами являются массивы со значениями этих величин.

ПРИМЕР. Пусть из исследования рынка известны сведения о шести

объектах с ценой Ц и характеристиками X и Y, численные значения которых представлены в виде таблицы:

№ п/п X Y Ц

1 7 12 270

2 11 23 395

3 15 16 432

4 21 8 700

5 22 19 755

6 30 15 799

Необходимо сделать вывод, являются ли характеристики X и Y ценообразующими.

206

Обычно исследование зависимости между двумя величинами удобно проиллюстрировать с помощью точечных диаграмм, присутствующих среди инструментов Microsoft Excel.

На точечной диаграмме зависимость X(Ц) выглядит следующим образом:

Аналогично можно представить в виде точечной диаграммы и зависимость Y(Ц):

Диаграммы показывают, что большим значениям параметра X соответствуют большие значения функции Ц, в то же время заметить какую-либо связь между величинами Y и Ц затруднительно.

Найдем значения ковариации между ценой и характеристи ками:

= КОВАР(X; Ц) = 1465,667;

xЦ

= КОВАР(Y; Ц) = –128,917.

yЦ

207

Из полученных цифр неискушенный аналитик может лишь сказать, что характеристика X больше влияет на цену, чем характеристика Y, и то, что эти влияния разнонаправленны.

Рассчитав аналогичным образом соответствующие коэффициенты корреляции, получим:

= КОРРЕЛ(X; Ц) = 0,95832;

xЦ

= КОРРЕЛ(Y; Ц) = – 0,13397.

yЦ

Анализируя эти цифры, можно сделать заключение, что характеристика X, по-видимому, является ценообразующей, а характе ристика Y таковой, вероятно, не является и может быть исключена из дальнейшего рассмотрения. Можно рекомендовать для использования следующую эмпирическую таблицу соответствия абсолютного значения эмпирического коэффициента корреляции между двумя случайными величинами и тесноты связи между ними:

Абсолютное значение эмпирического

коэффициента корреляции

между величинами

Менее 0,3 Слабая

От 0,3 до 0,5 Умеренная

От 0,5 до 0,7 Существенная

От 0,7 до 0,9 Сильная

Более 0,9 Очень сильная

Теснота связи

между величинами

Решение этой задачи требует так называемой оценки суще- ственности найденных эмпирических коэффициентов корреляции. Только после такой оценки можно считать, что полученные на основании выборки эмпирические коэффициенты корреляции могут быть отнесены к генеральной совокупности, из которой взята выборка. В случае, когда абсолютное значение линейного коэффициента корреляции, полученного по данным относительно малой выборки, достаточно велико (в нашем примере это rxЦ), для проверки этой гипотезы применяют логарифмическое преобразование Фишера с использованием в Microsoft Excel статистической функции ФИШЕР(x), в которой аргументом

208

явля ется значение эмпирического коэффициента корреляции. В случае малых абсолютных значений эмпирического коэффициента корреляции (в нашем примере это ryЦ) используют выборочную функцию, связанную с t-распределением (Стьюдента), моделируемым в Microsoft Excel статистической функцией СТЬЮДРАСП(x).

Если корреляционный анализ показал наличие статистически значимых связей между случайными величинами (как, например, между ценой объекта оценки и его ценообразующими характеристиками), то следующим этапом работы будет регрессионный ана- лиз, с помощью которого оценщик обычно описывает эту связь.

Пусть в общем случае есть некоторая исследуемая величина, например цена объекта оценки Ц, которая зависит от n независи- мых ценообразующих характеристик X = (x1, x2, ..., xn). Связь между случайной величиной Ц и неслучайными величинами X описывается математической моделью, которая называется урав- нением регрессии. Уравнение регрессии аппроксимирует совокупность собранных оценщиком данных о цене объекта оценки и его ценообразующих характеристиках и имеет общий вид Ц=f(X). Поскольку истинная функциональная связь между зависимой переменной Ц и независимыми переменными X неизвестна, то оценщик должен выбрать подходящую функцию f(X) для моделирования этой связи. В частности, для этого используются полиномы. Регрессионный анализ включает решение следующих задач:

1) определение существенных параметров и выбор диапазонов

их изменения;

2) выбор функционального вида регрессионной модели f(X);

3) определение коэффициентов регрессионной модели f(X);

4) проверка адекватности регрессионной модели.

Задача отбора существенных параметров заключается в определении ценообразующих характеристик. Обычно параметрами модели являются основные размеры и показатели объекта оценки, определяющие его потребительские свойства и, тем самым, его стоимость. Например, для типовых квартир это количество комнат, общая (или жилая) площадь, площадь кухни и др., для легковых автомобилей – это объем и тип двигателя, год выпуска и др., для технологического оборудования – это производительность, основные массогабаритные характеристики, уровень

209

автоматизации, класс точности и др. Диапазоны изменения зна-

αα

чений параметров модели следует принимать не слишком широкими, в противном случае может проявиться влияние нелинейности, что потребует построения сложной нелинейной модели. Предпочтительно иметь несколько линейных моделей для набора узких диапазонов, чем одну нелинейную модель для одного широкого диапазона значений параметров.

Выбор функционального вида регрессионной модели в общем случае представляет весьма сложную задачу. Тем не менее оценщик обычно использует стандартные соображения для ее упрощения. Из математики известно, что произвольную функцию f(X) в окрестностях точки, соответствующей средним значениям параметров вектора X, можно аппроксимировать степенным рядом Тейлора. Если диапазоны изменения параметров невелики, можно ограничиться приближением линейной полиномиальной модели:

– неизвестные параметры модели (коэффициенты регрес-

где α

сии), i = 0, 1, ..., n; x

() ,X =+

– параметры регрессионной модели, обра-

∑

(6.13)

зующие вектор X.

Линейные полиномиальные модели вида (6.13) чрезвычайно подходят для решения практических задач оценки стоимости, так как описание объекта с помощью такой модели легко уточнить, повышая порядок полинома. В тех редких случаях, когда есть основания предполагать существенную нелинейную зависимость f(X), то в моделирующую функцию добавляют квадратичные чле- ны в виде:

() .X =+ ++

αα

∑∑ ∑

== ≠

ii i

Использование членов более высоких порядков нецелесообразно.

Для описания регрессионной связи используются и модели иных функциональных видов, такие как степенные или экспо-

210

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 2021 / 2421 22 23 24 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]