Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Комплексная оценка недвижимости. Учебное пособие
.pdf
Иными словами, в качестве значения функции f(x) используется приближенное ее значение, равное значению интерполирующей функции F(x). Оценщик может сказать, что значение
F(x) замещает значение f(x).
В простейшем случае лишь двух узлов интерполяции вычислительная задача называется линейной интерполяцией. Тогда неизвестное значение y = f(x) в точке х, удовлетворяющей неравенствам x0 < x < x1, принимается равным значению
y = f(x
) + [f(x1) – f(x0)](x – x0) / (x1 – x0). (6.8)
0
Формула (6.8) легко может быть выведена из условия пропорциональности или из геометрических соображений.
Среди встроенных функций пакета Microsoft Excel находится
функция ПРЕДСКАЗ, реализующая, в частности, процедуру линейной интерполяции. Точнее, она возвращает значение линейного тренда, т.е. значение некоторой проекции по линейному
приближению. Функция имеет вид
ПРЕДСКАЗ(х;Известные_значения_Y;
Известные_значения_X),
где x – элемент данных, для которого предсказывается значение
по известным наборам значений X и Y в предположении их связи
линейной зависимостью. При этом функция может быть использована как для интерполяции, так и для экстраполяции.
ПРИМЕР 4. В таблице приведены известные на рынке предложения
офисных помещений, отличающихся лишь по площади:
Общая площадь, м
Цена предложения,
дол.
Необходимо определить стоимость похожего офисного помещения с
общей площадью 421 м
2
152 240 176 482
78 000 84 000 75 680 154 240
2
.
Для решения используем функцию ПРЕДСКАЗ, предва рительно разместив данные первой строки таблицы в массив
ячеек X, а данные второй строки – в массив ячеек Y:
ПРЕДСКАЗ(421;Y;X) = 136922,6148.
191
Если считать, что значения цены предложения даны с точностью до двух значаших цифр (78 000, 84 000), то полученное значение следует округлить до такой же точности. Тогда искомая
стоимость будет равной 140 000 дол.
Подобным образом может быть использована и встроенная
функция ТЕНДЕНЦИЯ, но в ней массив известных значений X
может быть многомерным. Встроенные функции ПРЕДСКАЗ и
ТЕНДЕНЦИЯ относятся к категории «Статистические», и для
более аккуратного их применения понадобится изучение такого
раздела математической статистики, как регрессионный анализ.
6.2. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА
ДЛЯ ОЦЕНКИ СТОИМОСТИ
Инструменты математической статистики широко используются в процессе оценки стоимости. Одной из основных составляющих процесса оценки является сбор информации, в частности, о рыночных ценах. Как правило, в этом случае оценщик
сталкивается с ситуацией, когда цены практически одинаковых
объектов отличаются друг от друга. В этом случае можно гово
рить, что собранные оценщиком значения цен (данные) являются случайными (или стохастическими) величинами.
На основе набора (выборки) данных обычно определяются
статистические оценки выборки, в частности среднее значение
цены рассматриваемых объектов. Качество собранной статистической информации существенно зависит от ее объема: больше
объем – выше качество. Но если объем выборки считать заданным, улучшить качество возможно за счет отсева выделяющихся
наблюдений. После этого проводится проверка гипотезы о нормальности распределения выборки, поскольку именно для нормального распределения имеется большой выбор хорошо разработанных методов. Следующим шагом является оценка погрешности среднего значения с использованием, например, интервальных оценок.
Далее строится эконометрическая модель стоимости объекта
оценки, для чего оценщику необходимо, используя методы корреляционного анализа, оценить степень влияния на нее различных ценообразующих факторов, провести их классификацию и,
-
192
наконец, построить саму модель в виде уравнения регрессии и оценить ее точность. Таков далеко не полный перечень задач, в решении которых применяется аппарат математической статистики.
Математическая статистика – это прикладной раздел математики, занимающийся разработкой методов получения, описания и обработки опытных данных с целью построения вероятностных моделей массовых случайных явлений.
В этой науке выделяют два направления: описательную статистику и индуктивную статистику. Описательная статистика
изуча ет процессы сбора, систематизации данных и представление
их в удобной форме. Индуктивная статистика на основе этих
данных изучает процессы индуктивных выводов относительно
объектов, о которых собраны данные, иными словами, процессы
оценки параметров объектов.
Главными разделами математической статистики являются:
• теория выборок;
• теория статистических оценок;
• проверка статистических гипотез;
• корреляционный анализ;
• регрессионный анализ;
• дисперсионный анализ.
В основе математической статистики лежит ряд понятий, без
которых невозможно изучение современных методов обработки
опытных данных. Информация, с которой приходится работать
оценщику, в значительной степени относится к категории случайных величин. Случайная величина – это такая величина, значения которой изменяются некоторым, заранее не предсказуемым образом. Дискретной (прерывной) случайной величиной называется случайная величина, принимающая отдельные друг от
друга значения, которые можно перенумеровать. Непрерывной
случайной величиной называется случайная величина, возможные
значения которой непрерывно заполняют какой-то промежуток.
В отличие от неслучайных (детерминированных) величин для
случайной величины нельзя заранее точно указать, какое кон
кретное значение она примет в определенных условиях, а можно
только определить закон ее распределения. Законом распределе-
ния случайной величины называется соотношение, устанавлива-
ющее связь между возможными значениями случайной величины
193
и соответствующими им вероятностями. Закон распределения
может иметь разные формы. Для дискретной случайной величины он может принимать форму ряда распределения.
Ряд распределения дискретной случайной величины Х строится
в виде таблицы, где перечислены возможные значения этой случайной величины x
стями p
, p2, …, pn:
1
, x2, … , xn с соответствующими им вероятно-
1
x
i
p
i
x
1
p
1
x
2
p
2
… x
… p
n
n
Сумма всех вероятностей всегда равна единице, так как с такой вероятностью величина принимает хоть какое-нибудь из этих
значений:
= 1.
Σp
i
Причин, приводящих к тому, что значения рыночных цен в
выборке оказываются скорее случайными, чем детерминированными, множество. Обычно это вызвано отсутствием информации обо всех ценообразующих факторах или неточностью такой инфор мации. Например, может быть недостаточно сведений
об усло виях сделки купли-продажи, касающейся объектов сравнения, степени физического износа объекта оценки и др. Ценообра зующие факторы могут принимать случайные значения из
некоторого множества и тем самым обусловливать случайность
определяемых ими цен объектов на рынке. Поэтому истинное значение цены оказывается не доступным оценщику, и даже усреднение случайных значений цен в выборке не устраняет случайности среднего значения цены. Стохастическая природа данных,
исполь зуемых оценщиком в процессе определения стоимостей
объек тов, вызывает необходимость применения адекватных ей
статистических методов анализа данных.
Основой для применения статистических методов анализа при
оценке обычно является множество данных, полученных по результатам сбора информации о случайных величинах (ценах объектов сравнения, степени их износа и т.п.). Будем обозначать их
полужирными заглавными буквами латинского алфавита (X, Y,
Z, ...). Информация о такой случайной величине X состоит из
194
n значений x1, x2, ..., xn этой случайной величины, образующих
выборку объема n из генеральной совокупности Х.
Генеральной совокупностью называются все возможные значе-
ния конкретной случайной величины (например, рыночной цены
определенной марки автомашины на определенную дату).
В реальной жизни невозможно собрать данные обо всех значениях из генеральной совокупности. Поэтому оценщик в своей
работе вынужден довольствоваться только выборкой, а методы
математической статистики помогают ему по известным свойствам объектов из выборки сделать выводы о свойствах всей генеральной совокупности. Ясно, что это возможно лишь тогда,
когда эта выборка достаточно велика. Выборка считается пред-
ставительной, т.е. достаточной для представления генеральной
совокупности, если ее объем не менее семи, т.е. она состоит из
семи или более элементов.
При использовании данных выборки из-за случайного характера ее получения важно знать, каким вероятностным законам
подчиняются значения исследуемого показателя. Существует целый ряд распределений вероятности, которые используются в
математической статистике. Одним из наиболее часто используемых и поэтому особенно важных распределений является нор-
мальное распределение. С точки зрения теории обоснованием роли
нормального распределения является так называемая центральная предельная теорема. Согласно этой теореме распределение
среднего из множества независимых случайных величин, распределенных по любому вероятностному закону, при увеличении
числа значений в выборке стремится к нормальному. Иными словами, когда случайная величина представляет собой общий результат действия большого числа независимых незначительных
факторов, то, согласно центральной предельной теореме, можно
ожидать, что такая случайная величина будет распределена по
нормальному закону. Иными словами, условием возникновения
нормального распределения случайной величины является формирование ее как суммы большого числа взаимно не зависимых
слагаемых, ни одно из которых не характеризуется исключительно большой по сравнению с другими дисперсиями.
Непрерывная случайная величина Х называется распределенной по нормальному закону, если ее плотность распределения
вероятности задается выражением вида
195
()
2
σπ
y
x
µ
fx e
1
() ,
=
−
−
2
σ
2
2
где μ – математическое ожидание случайной величины Х; σ2 –
дисперсия случайной величины Х, характеризующая рассеяние
значений случайной величины около математического ожидания μ.
Если по оси абсцисс отложить x, а по оси ординат – соответствующие значения плотности распределения вероятности
y = f(x), то получится известная колоколообразная кривая Гаусса
(рис. 6.1).
34,13%
13,59%
2,14%
–
–
Рис. 6.1. Плотность распределения вероятности нормального закона
–
34,13%
68,27%
95,45%
99,73%
13,59%
2,14%
х
+
+
+
Цифры ниже оси абсцисс показывают, что в интервале (μ – σ;
μ + σ) заключено 68,27% всевозможных значений y = f(x), в интервале (μ – 2σ; μ + 2σ) – 95,45%, а в интервал (μ – 3σ; μ + 3σ)
значения y = f(x) попадают с вероятностью 99,73%.
Такой плотности вероятности соответствует следующая функция нормального распределения:
196
x
()
−∞
FX e
() .
1
=
σπ
∫
2
2
x
µ
−
−
2
dx
σ
2
Как известно из математики, плотность распределения вероятности и функция распределения связаны между собой следующей формулой:
f(x) = dF(x) / dx.
Распределение случайной величины и соответствующее ему
аналитическое выражение, называемое функцией распределения
F(X), исчерпывающе характеризуют случайную величину.
6.3. СТАТИСТИЧЕСКИЕ ОЦЕНКИ
ПАРАМЕТРОВ ВЫБОРКИ
В предположении нормального распределения случайной ве-
личины при ее описании вместо закона распределения можно
использовать его параметры μ и σ2 – соответственно математиче
ское ожидание случайной величины и ее дисперсию.
Математическим ожиданием случайной величины X называется
средняя взвешенная сумма значений случайной величины с весами,
равными вероятностям соответствующих элементарных событий:
-
μ(X) = Σx
. (6.9)
ipi
Математическое ожидание показывает, вокруг какой точки
группируются значения случайной величины. На графике нормального распределения (см. рис. 6.1) математическое ожидание
показывает положения максимума кривой Гаусса.
Дисперсией случайной величины X называется математическое
ожидание квадрата разброса случайной величины около ее математического ожидания:
2
σ
= D(X) = μ ((X – μ (X))2). (6.10)
Дисперсия характеризует изменчивость случайной величины,
определяет уровень разброса случайной величины около математического ожидания. На графике нормального распределения
дисперсия показывает «ширину» (или «крутизну») кривой Гаусса.
197
Если известны параметры распределения (т.е. математическое
xx
=
ожидание и дисперсия), то плотность распределения вероятности
полностью определена. Однако на практике оценщик пользуется
лишь выборкой из генеральной совокупности данных. В этом
случае основные свойства случайной величины могут быть описаны более просто по данным выборки с помощью оценок параметров ее функции распределения, называемых также статистиками. Наиболее часто употребляемые оценки параметров функции
распределения, называемые точечными оценками, описаны ниже.
Оценкой математического ожидания является среднее (ариф-
метическое) значение выборки:
x
= Σ xi / n. (6.11)
ср
В Microsoft Excel для вычисления среднего арифметического
значения выборки из генеральной совокупности используется
статистическая функция СРЗНАЧ(число1;число2;…), в которой
возможно до 255 числовых аргументов.
В качестве оценки математического ожидания выборки с
большими выбросами рекомендуется использовать среднее геоме-
трическое значение выборки:
n
ср.геом
=
∏
i
.
i
1
В Microsoft Excel для вычисления среднего геометрического
значения выборки из генеральной совокупности используется
статистическая функция СРГЕОМ(число1;число2;…), в которой
возможно до 255 числовых аргументов.
Медиана, или срединное значение, разделяет случайные величины
на равные половины. Для ее вычисления все собранные данные
нужно расположить в порядке возрастания или убывания. Затем,
если n – нечетное число, то медиану определяют как значение, находящееся в середине упорядоченной последовательности. При четном n медиана – это среднее арифметическое двух расположенных
в средине значений упорядоченной последовательности. В Microsoft
Excel для вычисления срединного значения выборки используется
статистическая функция МЕДИАНА (число1;число2;…), в которой возможно до 255 аргументов.
198
Мода – это наиболее часто встречающаяся в совокупности
данных величина. В Microsoft Excel для вычисления моды выборки из генеральной совокупности используется статистическая
функция МОДА (число1;число2;…), в которой возможно до
255 аргументов.
Медиана и особенно мода используются в оценке значительно
реже, чем среднее значение.
ПРИМЕР 1. Если совокупность собранных данных представляет со-
бой упорядоченную последовательность девяти чисел
15, 16, 17, 19, 20, 21, 21, 23, 26,
то срединное значение 20 – это медиана, а наиболее часто встречающееся в упорядоченной последовательности значение 21 – это мода данных.
Для точечной оценки дисперсии выборки из генеральной совокупности в Microsoft Excel используется статистическая функция ДИСП(число1;число2;…), в которой возможно до 255 чис
ловых аргументов. Наряду с дисперсией удобно использовать
величину σ(X), называемую стандартным отклонением (средним квадратичным отклонением, разбросом). В Microsoft Excel
для вычисления стандартного отклонения выборки из генеральной совокупности используется статистическая функция
СТАНДОТКЛОН.В(число1;число2;…), в которой также возможно до 255 числовых аргументов.
В качестве точечной оценки разброса данных иногда используют коэффициент вариации выборки:
-
θ = (σ / x
В Microsoft Excel отсутствует встроенная функция для коэф
) · 100%. (6.12)
ср
фициента вариации, поэтому для его вычисления следует воспользоваться выражением
θ = СТАНДОТКЛОН.В(число1;…)/СРЗНАЧ(число1:…).
Значение θ выражает стандартное отклонение σ в процентах
от среднего значения xср совокупности данных выборки и поэтому может быть использовано для оценки их погрешности. Погрешность в определении математического ожидания выборки
можно принять равной 2θ с вероятностью 95,45%, что более чем
достаточно для оценочной практики.
199
Статистические оценки существенно зависят от конкретного
закона распределения случайной величины. Обычно в процедуре
оценки считается, что рыночная цена как случайная величина
подчиняется закону нормального распределения. Это, как было
отмечено выше, обосновывается центральной предельной теоремой. Однако если объем выборки рыночных цен из генеральной
совокупности мал, то она может быть неоднородной и, как следствие, не подчиняться закону нормального распределения. Поэтому уже на начальной стадии обработки рыночных данных рекомендуется провести проверку справедливости гипотезы о нормальности распределения данных в выборке. Если такая проверка подтвердит нормальность распределения статистических
данных, то это позволит оценщику более обоснованно применять
статистические оценки, соответствующие закону нормального
распределения.
Из курса математической статистики известно несколько методов проверки нормальности распределения. Наиболее популярным является метод К. Пирсона, также называемый методом
применения критерия согласия χ2. Однако если оценщик имеет
дело с выборкой достаточно малого объема (менее 5), это не позволяет использовать метод Пирсона. В таких случаях в оценочной практике используются более грубые методы, тем не менее
позволяющие судить о возможной нормальности распределения
даже малой выборки. Один из таких методов основан на необходимости малости коэффициента вариации в случае нормального
распределения. Суть метода следующая. Если значение коэффициента вариации выборки превышает 33%, то гипотеза о нормальности распределения этой выборки заведомо не подтверж дается.
ПРИМЕР 2. Пусть есть малая (n = 4) выборка: X = [68; 103; 104; 110].
Ее просмотр позволяет предположить, что значение x1 = 68 является
выбросом, который следует исключить из всех последующих операций
по статистической обработке приведенной выборки. После ее очистки от
выбросов (n = 3), согласно формулам (6.8) и (6.9), получим: xср = 105,67
и σx = 3,786, что дает, исходя из формулы (6.10), коэффициент вариации
θ = 3,58%. Следовательно, значения выборки не противоречат гипотезе
о нормальном распределении.
Помимо точечных оценок из курса математической статистики известно о так называемых интервальных оценках, которые
200
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]