Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Комплексная оценка недвижимости. Учебное пособие
.pdf
Рациональная цель физического или юридического лица заключается в получении максимального удовлетворения от своего
потока платежей. При этом со времен Фибоначчи считается, что
денежный поток в ближайший момент времени приносит большее удовлетворение, чем такой же поток в более отдаленный момент времени. Есть два достаточно разумных подкрепляющих
соображения: 1) чем дальше в будущем ожидаемый денежный
поток, тем он более проблематичен, тем больше риск его неполучения; 2) поток платежей состоит из некоторого количества денежных единиц (например, долларов США), в которых он измеряется, а экономика в нашем мире устроена так, что со временем
покупательная способность любой денежной единицы, как правило, уменьшается. Все это подтверждает «золотое правило» Фибоначчи, и все это следует учесть, описывая потоки платежей.
Совокупность физических или юридических лиц, совершающих платежи, образуют рынок капитала, на котором с течением
времени обмениваются денежные суммы. При этом в виде капитала могут выступать не только денежные суммы, но и все виды
объектов оценки (недвижимость, машины и оборудование и т.д.),
выражаемые их стоимостями. Таким образом, рынок капитала
является одной из ипостасей рынка объекта оценки. Простейшими же примерами рынка капитала могут быть заем или депонирование денег в банке. Спрос и предложение на рынках капитала
определяют стоимость денег, часто выражающуюся в виде процентной ставки.
Стоимость денег (процентная ставка) в реальном мире зависит:
• от целей их использования (которые различаются рисками,
разными для различных объектов оценки);
• объема используемой суммы (т.е. стоимости объекта оценки);
•
срока использования суммы (или времени экономической
жизни объекта оценки).
Как следствие, на каждом рынке объектов оценки своя стоимость денег (своя процентная ставка).
В основе финансовой математики лежит модельное предположение, что только продолжительность срока использования денежной суммы влияет на стоимость ее использования. Цели же
использования и объемы используемых сумм учитываются отдельно (см. гл. 5).
101
Для конструктивного определения стоимости денег (процентной ставки) следует сформулировать модель изменения стоимости денег со временем в зависимости от срока их использования.
В качестве иллюстрации будем использовать временно-денежные
графики, т.е. двумерные графики, где ось ординат будет отождествляться со временем, а по оси абсцисс будут откладываться
денежные суммы, положительные – если они предназначены к
получению, и отрицательные – если их предстоит отдавать.
Введем понятие множителя накопления – первого и главного
финансового множителя в финансовой математике. Иногда финансовые множители называют финансовыми функциями, но во
избежание путаницы будем оставлять термин «финансовые
функции» для финансовых функций программного пакета
Microsoft Office, обычно используемого оценщиками, в частности
Microsoft Excel. Для обозначения множителя накопления используется заглавная буква A (англ. accumulation – накопление).
Множитель накопления А(t1, t2) – это сумма денег в момент t2,
накопленная денежной единицей с момента t1. Иными словами,
1 р. (или 1 дол.) в момент t1 эквивалентен, т.е. может быть обменен
на А(t1, t2) р. (или долларов) в момент t2 > t1. Обозначим это следующим образом:
1 в t
~ А(t1, t2) в t2.
1
Соответственно, если в момент t1 у нас есть не 1 р., а С р., с тем
же множителем накопления в момент t2 накопится денежная сумма в С · А(t1, t2). Сумма же С · (А(t1, t2) – 1) называется процентом
за пользование капиталом величины С за время t
– t1.
2
Для того чтобы понять, как может выглядеть математическое
выражение для множителя накопления А(t1, t2), опишем его свойства – рациональность и состоятельность.
Примем, что А(t, t) = 1. Это свойство называется рационально-
стью. Не все рынки рациональны. Например, нельзя вернуть без
потерь только что купленный в специализированном магазине
автомобиль. Другой пример – некоторые валютные менялы используют при обмене не только курс, а берут фиксированную
сумму. Но для нужд применения в оценочной деятельности множители накопления должны быть рациональны – нужно, чтобы
стоимость капитала в один и тот же момент была постоянна.
102
Свойство состоятельности связывает накопление в нескольких
моментах времени. Пусть t1 < t2 < t3 и
~ А(t1, t2) в t2,
1 в t
1
1 в t
~ А(t2, t3) в t3,
2
1 в t
~ А(t1, t3) в t3.
1
Свойство состоятельности выполняется, если
, t3) = А(t1, t2) · А(t2, t3).
А(t
1
В реальном мире банки обычно не позволяют снимать и возвращать вклады, не теряя при этом, но для нужд оценки свойство
состоятельности существенно. Нам необходима состоятельная
модель изменения стоимости капиталов.
ПРИМЕР 1. Рассмотрим различные возможные математические вы-
ражения для множителя накопления и проверим их на рациональность
и состоятельность.
1. А(t1, t2) = t1 · t2. Это выражение нерационально, несостоя-
тельно.
2. А(t
, t2) = t1/t2. Это выражение рационально, состоятельно.
1
3. А(t
, t2) = 1 + i · (t2 – t1), где i – постоянная. Это выражение
1
рационально, но так как 1 + i · (t3 – t1) ≠ [1 + i · (t2 – t1)] ×
× [1 + i · (t3 – t2)], то оно несостоятельно. Данное выражение на-
зывается моделью простого процента.
t2 – t
4. А(t1, t2) = (1 + i)(1 + i)
1
, где i – постоянная. Это выражение
рационально и состоятельно. Оно называется моделью постоян-
ного сложного процента и наиболее часто используется в оценке.
Для состоятельного выражения множителя накопления можно
ввести начало отсчета времени:
А(0, t) = А(t).
В дальнейшем будем использовать это более простое выраже-
ние для множителя накопления А(t).
Далее от множителя накопления следует перейти к соответствующей ему процентной ставке. Процент на одну денежную
единицу, инвестированную в момент 0, за время (t, t + h) составит
ih(t) = [А(t + h) – А(t)] / [h · А(t)]. (4.1)
103
Здесь время (t) измеряется в годах, а h характеризует период
между последовательными выплатами процентов. Если проценты
выплачиваются ежемесячно, то h = 1/12, если ежегодно, то h = 1.
Соответствующая функция накопления будет ступенчатой,
увеличиваясь на постоянную величину при каждом начислении
процентов. Но в оценке стоимость капитала изменяется непрерывно, поэтому полезно ввести это и в нашу модель.
Определим интенсивность процентов как предел процентной
ставки при h → 0:
δ(t) = lim i
(t) = lim[А(t+h) – А(t)] / [h · А(t)].
h
Таким образом, интенсивность процентов δ(t) связана с производной множителя накопления по времени dA(t) / dt:
δ(t) = [1/A(t)] · [dA(t) / dt] = dlnA(t) / dt. (4.2)
Если множитель накопления состоятелен и непрерывен, то
t
A(t) = exp[∫δ(x)dx]. (4.3)
0
Видно, что не всякое выражение подходит для множителя накопления А(t).
ПРИМЕР 2. Не всякое выражение подходит для множителя накопле-
ния А(t), задаваемой формулой (4.3).
1. А(t) = exp(t) – подходит.
2. А(t) = (1+ i)
t
– подходит (i – постоянная).
3. А(t) = 1+ i · t – не подходит (i – постоянная).
Чаще всего используется модель с постоянной интенсивностью
процентов δ(t) = δ. Тогда из (4.3) следует, что
А(t) = e
δt.
(4.4)
Подставляя это выражение в формулу (4.1), получим
i
(t) = (eδh – 1) / h.
h
Поскольку это выражение не зависит от t, записывают просто i
h
Удобно также вместо обычно нецелого h ввести целое p = 1 / h. То гда
постоянная процентная ставка запишется следующим образом:
104
i
= i
h
(p)
= p · (e
δ/p
– 1),
.
а соответствующий множитель накопления примет вид
A(t) = [1 + i
(p)
/ p]tp. (4.5)
Следует отметить, что эта запись справедлива для любого p,
в том числе p < 1.
Процентная ставка i
(p)
называется номинальной процентной
ставкой, выплачиваемой (конвертируемой) p раз в году. Вводится
также понятие соответствующей ей эффективной процентной
ставки i, которая обеспечивает такие же проценты, как и номи-
(p)
нальная i
, выплачиваемые 1 раз в году.
Легко найти связь между какой-либо номинальной и соответствующей эффективной ставками процента. Для этого надо приравнять суммы, накопленные денежной единицей по этим ставкам за год:
(p)
1 + i = [1 + i
/ p]p. (4.6)
Из формулы (4.6) также легко может быть получена полезная
связь между номинальными ставками с различными p, дающими
одинаковый результат за год. Любые две ставки процента, номинальные или эффективные, обеспечивающие в результате накопления одну и ту же итоговую сумму в конце года, называются
эквивалентными ставками.
Работа оценщика невозможна без персонального компьютера
и соответствующего программного обеспечения. Для автоматизации расчетов, связанных с финансовой математикой, применяется пакет программ Microsoft Excel, среди встроенных функций которого есть и финансовые.
На основе формулы (4.6) работает финансовая функция ЭФФЕКТ, связывающая номинальную i
(p)
и эквивалентную ей эф-
фективную i процентные ставки.
Финансовая функция ЭФФЕКТ имеет вид
ЭФФЕКТ(номинальная_ставка;кол_пер),
где номинальная_ставка – значение исходной номинальной процентной ставки i
(p)
; кол_пер – количество p периодов в году, за
которые начисляются сложные проценты.
105
Подведем итог. Множитель накопления в модели постоянного
сложного процента имеет вид (4.5). В частном случае эффективной процентной ставки p = 1 переходит в
А(t) = (1 + i)
t
. (4.7)
При этом часто говорят собственно о множителе накопления
(за год) А = 1 + i, тогда формула (4.7) примет вид
А(t) = А
t
. (4.8)
Наконец, в пределе бесконечно частого начисления процентов
p → ∞ (обычно используется при p > 52, но может использоваться
уже при p > 12) получим выражение (4.4).
С помощью множителя накопления можно находить стоимость в конце процедуры накопления – в будущем. При этом
стоимость в конце накопления часто называется будущей стоимо-
стью и обозначается FV (англ. future value – будущая стоимость),
а стоимость в начале накопления называется текущей стоимо-
стью и обозначается PV (англ. present value – текущая стоимость).
Тогда можно записать
FV = PV · A(t). (4.9)
В пакете Microsoft Excel множитель накопления (4.7), а вернее,
расчеты с его помощью по формуле (4.9), реализуются финансовой функцией «Будущая стоимость» (БС), возвращающей будущую стоимость инвестиции на основе эффективной постоянной
процентной ставки. Преобразуя входящие в функцию аргументы,
несложно подсчитать и множитель накопления в виде (4.5).
Финансовая функция БС имеет вид
БС(Ставка;Кпер;Плт;Пс;Тип),
где Ставка – эффективная процентная ставка i за период; Кпер –
число периодов t; Плт – платеж в каждый период (для множителя
накопления Плт = 0 и может быть опущен); Пс – накапливаемая
сумма в начальный момент времени; Тип – 0 или 1 (для множителя накопления несущественен и может быть опущен).
Таким образом, задавая значения аргументов, получаем значение, которое накопит начальная сумма Пс через время Кпер по
эффективной ставке Ставка.
106
ПРИМЕР 3. Определить, какая сумма накопится на депозите в
1 тыс. дол. через 1 год при 10% годовых и ежемесячном накоплении.
БС(10%/12;1*12;;–1000) = 1104,71 дол.
Примечание. Знак «минус» перед значением депозита должен появиться для
того, чтобы функция БС считала данный платеж исходящим, а накопленную
сумму – входящей.
4.2. МНОЖИТЕЛЬ ПРИВЕДЕНИЯ
Множитель накопления (см. раздел 4.1) дает сумму, накопленную в будущем при инвестировании денежной единицы сейчас.
Но в оценке чаще необходимо решить противоположную задачу:
узнать, сколько нужно вложить сейчас, чтобы через некоторое
время получить накопленный 1 р.
В определенном смысле эта процедура обратна накоплению и
называется приведением, а соответствующий финансовый множитель – множителем приведения. Для обозначения множителя
приведения используется строчная буква v (англ. value – стоимость). Это обстоятельство связано с тем, что на английском языке множитель приведения иногда называют приведенной стоимостью. Соответственно для каждого множителя накопления A(t)
можно ввести обратный ему множитель приведения v(t).
Чтобы найти математическое выражение множителя приведения, вспомним про эквивалентность денежных выражений во
времени, введенную при рассмотрении множителя накопления.
В терминах эквивалентности можно записать
1 в 0 ~ А(t) в t.
Но отсюда при делении обеих частей на А(t), следует
–1
[А(t)]
в 0 ~ 1 в t,
что отражает связь обеих финансовых множителей:
v(t) = [А(t)]
–1
. (4.10)
Формулу (4.10) можно рассматривать и как определение множителя приведения.
107
С помощью множителя приведения можно находить стоимость в начале процедуры накопления, за которое обычно принимается текущий момент времени. Исходя из (4.9), можно записать
PV = FV · v(t). (4.11)
Иногда нужно оперировать множителем приведения при изменяющейся интенсивности процента. Пусть есть два момента
времени t1 и t2, интенсивность процента в которых различна. Тогда из состоятельности множителя накопления
) = A(0, t1) · А(t1, t2)
A(0, t
2
следует
, t2) = v(t2) / v(t1).
v(t
1
ПРИМЕР 1. Пусть интенсивность процентов δ(t) в зависимости от
времени t (в годах) дается выражением
0,10 при 0 ≤ t < 10,
δ(t) =
0,05 при t ≤ 10.
Найдем соответствующий множитель приведения путем использования формулы (4.10) с подстановкой явного выражения
множителя накопления (4.3). Интегрирование показывает, что
–0,10t
е
v(t) =
е
при 0 ≤ t < 10,
–0,05 – 0,05t
при t ≤ 10.
Тогда текущая стоимость, например, инвестиции в 100 в момент 15 равна
100exp(–0,5 – 0,05 · 15) = 44,93,
а стоимость этой инвестиции в момент 5 будет равна
100exp(–0,5 – 0,05 · 15) / exp(–0,10 · 5) = 74,08.
Введя понятие интенсивности приведения аналогично интенсивности процентов, можно математически показать, что эти ве-
108
личины совпадут. Поэтому для модели с постоянной интенсивностью процента используется общий символ δ(t) = δ и
–δt
v(t) = e
. (4.12)
Ранее были введены понятия множителя накопления и соответствующей ему процентной ставки. Множитель накопления
отвечал на вопрос о будущей отдаче на нынешнее вложение.
Именно этот вопрос является наиболее типичным на рынке, поэтому в финансовых расчетах обычно используются процентные
ставки.
Но возможен и противоположный вопрос: «Сколько надо вложить сейчас, чтобы получить в будущем заданный доход?» На
этот вопрос отвечает множитель приведения, и иногда для удобства его использования применяют не процентную ставку, а учет-
ную ставку, которую в банковской практике называют также
авансовым процентом.
Для модели с постоянной интенсивностью процента номинальная учетная ставка обозначается буквой d (англ. discount) и
вводится через множитель приведения (4.12) аналогично процентной ставке следующим образом:
(p)
d
= – [e
–δ(t+1/p)
– e
–δt
] / [(1/p) · e
–δt
].
Знак «минус» в определении использован для того, чтобы
учетная ставка была положительной, ведь функция приведения
является убывающей. Применив сокращения, получим выражение для годовой номинальной учетной ставки, конвертируемой
через интервалы 1/p:
d
(p)
= p · (1 – e
–δ/p
). (4.13)
При p = 1 из (4.13) получаем выражение для эффективной
учетной ставки:
–δ
d = 1 – e
. (4.14)
Исходя из определений (4.10) и (4.12), выражение множителя
приведения через эффективную учетную ставку имеет вид
t
v(t) = (1 – d)
,
109
а выражение множителя приведения через номинальную учетную
ставку имеет вид
(p)
pt
/p]
v(t) = [1 – d
.
Применяется и сокращенное выражение v = 1 – d, тогда множитель приведения v на один период называют собственно множителем приведения или просто множителем приведения. Используя это обозначение, запишем
t
v(t) = v
. (4.15)
Видно, что с введением учетной ставки выражения для множителя приведения стали подобны выражениям для множителя
накопления через процентную ставку.
Множитель приведения выражается и через процентную ставку:
(p)
v(t) = [1 + i
–pt
/p]
. (4.16)
Различные применяемые соотношения, в которые входят эффективные процентные и учетные ставки на одном и том же рынке, удобно свести в следующую таблицу:
δ
δ
i ln(1 + i) (1 + i)
v –lnv v
i v d
δ
e
– 1 e
–1
– 1 1 – v
δ
–
–1
i / (1 + i)
1 – e
δ
–
d –ln(1 – d) d / (1 – d) 1 – d
Подобные выражения можно записать и для номинальных
процентных и учетных ставок:
(p)
i
(p)
d
δ
pln(1 + i
–pln(1 – d
(p)
/p) (1 + i
(p)
/p) (1 – d
i v d
(p)
/p)p – 1 (1 + i
(p)
/p)–p – 1 (1 – d
(p)
–p
/p)
(p)
/p)
p
1– (1 + i
1– (1 – d
(p)
–p
/p)
(p)
p
/p)
Отметим, что при p = 1 из последней таблицы получаются выражения четных строк предыдущей таблицы, а при p = ∞ первые
строки обеих таблиц совпадут.
110
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]