Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Комплексная оценка недвижимости. Учебное пособие
.pdf
эффек тивная процентная ставка i за период; Кпер – число периодов n; Пс – приведенная стоимость, для множителя возмещения
полагается Пс = 0; Бс – требуемая для возмещения сумма
(Бс = – FV); Тип – 0 для обычного аннуитета (может быть опущен) или 1 для полагающегося.
ПРИМЕР 4. Пусть для какихто целей через 5 лет понадобится сумма
в 500 тыс. дол. Для накопления этой суммы создается фонд возмещения,
куда в конце каждого года будет инвестироваться под 5% эффективных
годовых равный определенный платеж. Необходимо определить сумму
этого платежа и составить расписание, показывающее рост фонда возмещения, обычно называемое расписанием возмещения.
Сумму ежегодного платежа найдем, используя формулу (4.31):
ПЛТ(5%;5;;–500000) = 90487,399 дол.
Составим расписание возмещения, последовательно описывая
в таблице Microsoft Excel на конец каждого года годовой платеж
(он постоянен и определен выше), процент фонда возмещения,
который начисляется на сумму фонда в конце предыдущего года,
увеличение фонда возмещения, слагающееся из регулярного платежа и процента фонда, и, наконец, итоговую сумму фонда возмещения, слагающуюся из суммы предыдущего года и увеличения этого:
Конец
года
1 90487,399 0 90487,399 90487,399
2 90487,399 4524,370 95011,769 185499,168
3 90487,399 9274,958 99762,357 285261,526
4 90487,399 14263,076 104750,475 390012,001
5 90487,399 19500,600 109987,999 500000,000
Всего 452436,995 47563,005 500000,000
Платеж,
дол.
Процент,
дол.
Возмещение,
дол.
Сумма
фонда, дол.
Как обычно, суммирование по столбцам проводится с целью
проверки. Отметим, что в конце пятого года в фонде возмещения
накопится требуемая сумма в 500 тыс. дол., которая в свою очередь может быть рассмотрена как сумма годовых увеличений
фонда, или же как сумма всех платежей и процентов на них.
131
Теперь у нас есть необходимый аппарат для обобщения понятия аннуитета. Но прежде уточним ранее изученные понятия.
Если период начисления процентов совпадает с периодом между
платежами, то такой аннуитет называется простым. До сих пор
мы рассматривали обыкновенные и полагающиеся простые аннуитеты и соответственно обыкновенные и полагающиеся множители ренты, итога, амортизации и возмещения. Если период
начисления процентов отличается от периода между аннуитетными платежами, то такой аннуитет называется общим.
Рассчитать текущую стоимость общего аннуитета можно со
ставлением соответствующего расписания, подобно тому как это
делалось выше. Но можно попытаться решить эту задачу и аналитически, заменой общего аннуитета на простой с эквивалентной нормой процента, начисляемой с требуемой частотой. Сделаем это для обыкновенного общего аннуитета.
Пусть есть обыкновенный общий аннуитет с платежами PMT,
по которым начисляют проценты р раз в году, причем платежи
идут m раз в году по ставке процента за период начисления, равной j = i
(p)
/p. Обозначим через pmt платежи обыкновенного простого аннуитета, проходящие р раз в году. Их величину и следует
определить.
При эквивалентности аннуитетов их стоимости должны быть
в любой момент времени одинаковы, а их процентные ставки эквивалентны в смысле формулы (4.6). Если j ′ – ставка процента
общего аннуитета за период платежа, то можно записать уравнение доходностей за год:
m
(1 + j ′)
= (1 + j)p. (4.34)
-
Приравнивая между собой итоги обыкновенных простого и
общего аннуитетов в конце года, получим
pmt · S(p; j) = PMT · S(m; j ′),
откуда с использованием выражения (4.34) следует искомое полезное равенство, связывающее размер платежа обыкновенного
общего аннуитета с размером платежа эквивалентного ему обыкновенного простого аннуитета:
pmt = PMT · s(p / m; j). (4.35)
132
4.6. ШЕСТЬ ФИНАНСОВЫХ МНОЖИТЕЛЕЙ
Этот параграф предназначен для подведения промежуточного
итога по теме финансовых множителей. Для этого попробуем записать все вышерасcмотренные финансовые множители в одну
таблицу с двумя столбцами и тремя строками, т.е. с шестью ячейками, по числу финансовых множителей. В левый столбец будем
помещать финансовые множители, связанные с текущей (приведенной) стоимостью, а в правый – с будущей (накопленной).
В каждую ячейку поместим основные формулы, определяющие
этот финансовый множитель, а также реализующую его финансовую функцию Microsoft Excel:
4. Множитель приведения
v(t) = [А(t)]
–1
при δ(t) = δ
t
v(t) = v
= e
–δt
= [1 + i
(p)
/ p]
–tp
при p =1 v(t) = (1 – d)t = 1 / (1 + i)
PV = FV · v(t)
PV = ПС(i;t;0;–FV)
5. Множитель ренты
a
= (1 – vn) / i
n
при p ≠ 1
(p)
–np
a
= p[1 – (1 + i
n
PV = pmt · a
/ p)
n
] / i
(p)
PV = ПС(i;n;–pmt;0;Тип)
6. Множитель амортизации
r
= 1 / an = i / (1 – vn)
n
pmt = PV · r
n
pmt = ПЛТ(i;n;–PV;0;Тип)
1. Множитель накопления
t
At xdx
() ()=
при δ(t) = δ А(t) = At = eδt = [1 + i
t
при p = 1 А(t) = (1 + i)
exp δ
∫
0
t
FV = PV · A(t)
FV = БС(i;t;0;–PV)
2. Множитель итога
S
= (An – 1) / i
n
при p ≠ 1
S
= p[(1 + i
n
FV = pmt · S
(p)
/ p)np – 1] / i
n
(p)
FV = БС(i;n;–pmt;0;Тип)
3. Множитель возмещения
s
= 1 / Sn = i / (An – 1)
n
pmt = FV · s
n
pmt = ПЛТ(i;n;0;–FV;Тип)
(p)
tp
/ p]
В первой ячейке таблицы разместим множитель накопления
(справа) и обратный ему множитель приведения (слева). Ниже –
соответственно множители итога и ренты, наконец, внизу – обратные к последним множители возмещения и амортизации.
Таким образом, в левом столбце таблицы будут собраны финансовые множители, относящиеся к текущей стоимости PV, а в
правом – финансовые множители, связанные с будущей стоимостью FV.
133
Ячейки таблицы (и финансовые множители) перенумеруем.
Порядок нумерации финансовых множителей выберем в соответствии с принятым в таблицах их численным значением. До появления персональной вычислительной техники такие таблицы имели важное значение в оценочной деятельности, утраченное ныне.
Из таблицы видно, в частности, что в Microsoft Excel множители первых двух строк таблицы в случае обоих столбцов реализуются одинаковыми финансовыми функциями. Например, множители приведения и ренты рассчитываются с помощью финансовой функции ПС, причем аргументы в ней в случае равенства
ставки и числа периодов взаимно дополняют друг друга. (При
расчете множителя приведения на месте –pmt стоит 0, а при расчете множителя ренты 0 замещает –FV.)
Это обстоятельство позволяет одной финансовой функцией
реализовывать потоки, состоящие из аннуитетных платежей и
конечного (или начального) платежа.
Напомним также, что для нахождения численного значения
того или иного финансового множителя проще всего использовать
взятые из приведенной таблицы их выражения через финансовые
функции, в которых в качестве аргументов заданы требуемые значения i, n и Тип, а денежный аргумент положен равным –1.
Вопросы и задания
1. Дом может быть куплен за 20 тыс. дол. наличными и последующей уплатой по 700 дол. ежемесячно в течение 20 лет. Какова стоимость
дома наличными, если процентная ставка равна 15% в год?
2. Долг в сумме 10 тыс. р. будет амортизирован 12 ежемесячными
платежами. Найти величину платежей при эффективной процентной
ставке 18%. Сделать амортизационное расписание.
3. Фермер покупает товары стоимостью 10 тыс. р. Он заплатил
2 тыс. р. сразу и заплатит на 5 тыс. р. больше через три месяца. Если
процент начисляется на сумму неоплаченного долга по ставке 15% годовых с ежемесячным накоплением, то какой должна быть заключительная выплата по окончании шести месяцев со дня покупки?
4. Усадьба стоимостью 250 тыс. дол. покупается за 20 тыс. дол. наличными, а ежеквартальные платежи по 5 тыс. дол. производятся так
долго, сколько необходимо. Если процентная ставка 9% годовых с ежеквартальным накоплением, то какими должны быть необходимое количество полных платежей и величина заключительного частичного платежа?
134
ФИНАНСОВАЯ МАТЕМАТИКА
5
Одним из важнейших понятий финансовой математики и экономики вообще является понятие вечной ренты. Изучение вечной ренты позволяет перейти к понятию капитализации – основному методу реализации доходного подхода к оценке. Вечная
рента имеет и многочисленные самостоятельные приложения.
Естественным образом понятие вечной ренты возникает в результате обобщения множителя ренты на случай бесконечного
количества платежей. Вечной рентой называется текущая стоимость аннуитета, платежи которого продолжаются неограниченно долго. Иногда термином «вечная рента» называют и сам бесконечно длящийся аннуитет.
Существует много примеров вечных рент. По-видимому, простейшим из них будут регулярные платежи по процентам от сделанных инвестиции, например, в некоторое доходное предприятие. Другой пример – проценты от долгосрочных государственных ценных бумаг, особенно наиболее надежных, таких как, например, 30-летние облигации правительства США.
Уточняющие определения аннуитета, такие как обыкновенный и полагающийся, простой и общий, по отношению к вечной
ренте применяются в том же значении, какое они имели в описаниях аннуитетов. Так, обыкновенная простая вечная рента является текущей стоимостью потока равных периодических платежей, выплачиваемых в конце последовательных периодов начисления процентов, которая продолжается вечно.
Ясно, что найти будущую стоимость такого вечного аннуитета,
т.е. ввести для него понятие множителя итога, невозможно. Аннуитетные платежи продолжаются неограниченно долго, и, как
следствие, их сумма будет бесконечно большой. Но их текущая
стоимость, т.е. вечная рента (любого типа), является конечной
В ОЦЕНКЕ
5.1. ВЕЧНАЯ РЕНТА И КАПИТАЛИЗАЦИЯ
135
величиной, которая может быть рассчитана при наличии необходимой исходной информации. Именно она и будет подлежать
изучению в дальнейшем.
В соответствии с традицией, сложившейся в оценке, для вечной ренты будем употреблять обозначение V (а не PV, как ранее
для текущей стоимости).
Итак, пусть V – обыкновенная простая вечная рента, i – став-
ка процента за период, по которой инвестируется (вкладывается)
денежная сумма V; pmt – периодический платеж ренты (на эту
инвестицию). Тогда денежная сумма V должна быть эквивалентна
потоку платежей pmt, что отражено в таблице платежей:
Время 0 1 2 3 4 5 …
Сумма –V pmt pmt pmt pmt pmt …
Эту таблицу можно интерпретировать следующим образом.
Начальная инвестиция V будет порождать платеж процентов по
ставке i в размере V · i в конце каждого периода начисления до тех
пор, пока будет оставаться инвестированной, т.е., по нашему
усло вию, бесконечно долго.
Записав в явном виде сказанное выше, т.е. pmt = V · i, получим
фундаментальное соотношение для вечной ренты:
V = pmt / i. (5.1)
Понятно, что если две из трех величин, входящие в (5.1), известны, то третья также может быть определена.
Выражение (5.1) возможно также получить с помощью выражения для множителя ренты как предельный случай текущей стоимости конечного аннуитета (4.22). Подставляя в (4.22) формулу
(4.20), для ограниченных n получаем соотношение
–n
V = pmt · (1 – (1 + i)
) / i,
которое при больших n и сводится к соотношению для вечной
ренты (5.1), так как (1 + i)–n → 0.
ПРИМЕР 1. Необходимо определить сумму денег, которую потребует-
ся депонировать в банке, для того чтобы на проценты выдавать постоянную премию лучшему ученику в размере 300 евро в конце каждого
года, при условии, что банк устанавливает ставку на этот депозит 7%
эффективных годовых.
136
Понятно, что премиальные платежи будут образовывать обык-
новенную простую вечную ренту с параметрами pmt = 300 и
i = 0,07. Тогда в соответствии с выражением (5.1)
V = pmt / i = 300 / 0,07 = 4285,71 евро.
Возможно, как и в случае с аннуитетами, период платежа будет
отличаться от периода начисления процентов. В этом случае говорят об общей вечной ренте. Для расчетов общую ренту, так же
как ранее это было сделано для общего аннуитета, удобно заменить эквивалентной простой вечной рентой.
Равенство (4.34), связывающее параметры обыкновенных общего и простого эквивалентных аннуитетов, не зависит от числа
рассматриваемых периодов начисления или выплаты процентов,
поэтому справедливо и для вечных рент. Таким образом, чтобы
найти величину обыкновенной общей вечной ренты, сначала с
помощью выражения (4.34) ее следует преобразовать в обыкновенную простую ренту, после чего использовать формулу (5.1), в
которой ставка i начисления процентов за период принимает значение j = i
ПРИМЕР 2. Для оплаты обслуживания моста через реку требуется
1 тыс. р. в конце каждого месяца. Какую сумму денег необходимо определить, которую следует инвестировать дорожной службе, чтобы на полученные проценты поддерживать обслуживание моста. Деньги стоят
10% эффективных годовых.
(p)
/ p.
Платежи в 1 тыс. р. в конце каждого месяца образуют обыкновенную общую вечную ренту. Если pmt – платеж эквивалентной
обыкновенной простой ренты, то из (4.34)
pmt = 1 · s(1/12;10%) = ПЛТ(0,1;1/12;;–1) = 12,54053661 тыс. р.
Тогда из выражения (5.1) получим
V = 12,54053661 / 0,1 = 125,405366 тыс. р.
Когда платежи вечной ренты поступают (или уплачиваются) в
начале каждого периода платежей, то такая вечная рента по аналогии с финансовыми множителями называется полагающейся
вечной рентой. В силу того что любая полагающаяся вечная рента
(простая или общая) может рассматриваться как комбинация
137
немедленного (произведенного в момент 0) платежа pmt (или со-
ответственно PMT) и обыкновенной вечной ренты с такими же
платежами, ясно, что полагающаяся вечная рента на pmt (или
PMT) больше той, что дается формулой (5.1) или формулами
(4.34), (4.35). Поэтому полагающаяся простая вечная рента с платежом pmt вычисляется по формуле
–1
V = pmt · (1 + j
).
Так, если в примере 2 оплата обслуживания моста должна производиться авансом в начале каждого месяца, то искомая сумма
инвестиций дорожной службе образует полагающуюся простую
вечную ренту с рассчитанным ранее платежом:
V = 12,54053661(1 + 1 / 0,1) = 137,945903 тыс. р.
Подобным образом полагающаяся общая вечная рента с платежом PMT находится из выражения
V = PMT + pmt / j,
в котором платеж эквивалентной простой ренты pmt и ее процент
определяются формулой эквивалентности (4.34).
Наконец, рассмотрим понятие капитализации. Оно имеет несколько значений. В узком смысле под капитализацией понимается нахождение соответствующей вечной ренты. Капитализировать поток платежей pmt при данной ставке процента, которая
в этом случае часто называется ставкой капитализации, – это
значит, согласно формуле (5.1), найти величину соответствующей
вечной ренты, обеспечивающей эти платежи.
В общем смысле капитализация – это связь доходов (или расходов) и порождающей их инвестиции. Понятие капитализации
лежит в основе доходного подхода к оценке, оно – важный инструмент оценки инвестиций, активов и обязательств.
С понятием капитализации тесно связано понятие капитализированной стоимости. Понятие капитализированной стоимости
учитывает то, что объекты оценки (активы) нуждаются в регулярном возмещении (возобновлении, восстановлении). Полагается,
что после окончания жизненного цикла и обесценивания объекта для продолжения процесса получения дохода требуется возмещение (возобновление, восстановление) первоначального объек-
138
та, например путем покупки нового. В бухгалтерском учете основных средств это явление обеспечивается амортизацией. При
этом, если рассматривать объект оценки не как физический объект, а как некоторый идеальный инвестиционный, для постоянного получения дохода подобные возмещения должны продолжаться сколь угодно долго.
Капитализированная стоимость актива – это сумма на дату
оценки первоначальной стоимости актива и текущей стоимости
неограниченного числа возмещений этого актива. В качестве
первоначальной стоимости С актива может выступать (в зависимости от условий задачи) любая стоимость актива, описанная
ранее в разделе 1.5 «Виды стоимости», или его покупная цена.
Введя обозначения К для капитализированной стоимости и V для
вечной ренты, необходимой для постоянного возмещения актива, получим
К = С + V. (5.2)
Удобно также представить это выражение в виде
К = С + pmt / j. (5.3)
Если вечная рента простая, то pmt представляет собой ее платеж, необходимый для возобновления актива. В случае, если платежи возобновления образуют общую ренту, используют эквивалентную ей простую ренту.
ПРИМЕР 3. Завод заплатил за покупку сверл 20 тыс. р., после чего в
конце каждого месяца он тратит по 2 тыс. р. на возобновление сверл из
за их износа и поломок. Необходимо определить капитализированную
стоимость сверл, если деньги стоят 20% эффективных годовых.
Платежи по 2 тыс. р. образуют обыкновенную общую вечную
ренту. Если pmt – платеж эквивалентной обыкновенной простой
ренты, то из формулы (4.34) имеем:
pmt = 2 · s(1/12;20%) = ПЛТ(0,2;1/12;;–2) = 26,1276182 тыс. р.;
К = С + pmt / j = 20 + 26,1276182/0,2 = 150,63809 тыс. р.,
что существенно больше стоимости первоначальной покупки.
Иногда вместо капитализированной стоимости удобно использовать другую, связанную с ней, величину – периодическую
139
стоимость использования, которую называют также периодической стоимостью владения или периодической инвестиционной
стоимостью.
Периодическая стоимость использования – это денежная величина процента, выплачиваемого на капитализированную стоимость актива за определенный период. Например, если капитализированная стоимость какого-то актива составляет 100 тыс. р.,
а стоимость денег i
(12)
= 12%, то помесячная стоимость использо-
вания такого актива будет равной 1 тыс. р.
Формализуя вышесказанное и обозначив периодическую стоимость владения через H
(p)
, где верхний индекс p, как обычно,
определяет период выплаты процентов (период расчета стоимости), можно записать
(p)
H
= К · j, (5.4)
а подставляя определение капитализированной стоимости (5.2),
получим выражение, связывающее периодическую стоимость
владения с первоначальной стоимостью С и платежами pmt вечной ренты возобновления:
H
ПРИМЕР 4. Найти поквартальную стоимость владения котла, покупа-
емого за 2 тыс. дол., который надо заменять каждые 10 лет, продавая
старый за 200 дол. Деньги стоят 8% номинальных квартальных (i
(p)
= С · j + pmt. (5.5)
(4)
= 8%).
Сначала определим стоимость замены старого котла на новый,
которая образует общую вечную ренту с платежами:
PMT = 2000 – 200 = 1800 дол.
Преобразуем общую вечную ренту возобновления в эквива-
лентную простую с платежами pmt по формуле (4.34):
pmt = 1800 · s(4/(1/10);8%/4) = ПЛТ(0,02;40;;–1800) =
= 29,80034604 дол.
Рассчитаем первое слагаемое в выражении (5.5):
С · j = 2000 · 0,02 = 40.
Получим искомую поквартальную стоимость владения:
(4)
= 40 + 29,80034604 = 69,80 дол.
H
140
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]