Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Введение в численные методы. Учебное пособие-1
.pdf
Министерство образования и науки Российской Федерации
НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
И.П. ОЛЕГИН
Д.А. КРАСНОРУЦКИЙ
ВВЕДЕНИЕ
В ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ
Утверждено
Редакционно-издательским советом университета
в качестве учебного пособия
НОВОСИБИРСК
2018
УДК 519.61(075.8)
О-531
Рецензенты:
д-р физ.-мат. наук С.Н. Коробейников
д-р техн. наук, доцент В.Е. Левин
Олегин И.П
О-531 Введение в численные методы: учебное пособие / И.П. Оле-
гин, Д.А. Красноруцкий. – Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2018. –
115 с.
ISBN 978-5-7782-3632-5
В настоящем учебном пособии приводятся теоретические основы численных методов, используемых при решении прикладных задач, и задания для выполнения лабораторных работ, реализующих эти методы. Целью лабораторных
работ является приобретение практических навыков использования изученных
численных методов, необходимых при решении краевых задач математической
физики, а также задач, связанных с проведением численного эксперимента
анализа полученных результатов. При выполнении лабораторных работ используется пакет MathCAD. Несмотря на большое количество стандартных
программ, содержащихся в этом пакете, необходимо понимать принципы построения алгоритмов, лежащих в их основе, что поможет исключить возможную неоднозначность результатов при формальном применении этих программ. Предполагается, что студенты, выполняющие предложенные задания,
знакомы с основами данного пакета из курса информатики, изучаемого в первом семестре обучения. Тем не менее некоторые основные сведения, необходимые для решения задач, приводятся в разделе «Приложение». Данное учебное
пособие является составной частью курса «Вычислительная механика» для студентов третьего курса, обучающихся по направлению «Прикладная механика».
УДК 519.61(075.8)
ISBN 978-5-7782-3632-5 Олегин И.П., Красноруцкий Д.А., 2018
Новосибирский государственный
технический университет, 2018
и
ОГЛАВЛЕНИЕ
1. ОСНОВНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ ............................................. 5
2. АППРОКСИМАЦИЯ ФУНКЦИЙ .................................................................... 13
2.1. Многочлены Тейлора ................................................................................ 13
2.2. Многочлены Лагранжа ............................................................................. 14
2.3. Погрешность интерполяции ..................................................................... 16
2.4. Минимизация погрешности ..................................................................... 18
2.5. Интерполяционный многочлен Ньютона ................................................ 21
2.6. Кубические сплайны ................................................................................. 23
2.7. Среднеквадратичная аппроксимация на непрерывном множе-
стве точек .................................................................................................. 26
2.8. Среднеквадратичная аппроксимация на дискретном множестве
точек .......................................................................................................... 31
3. ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ ............................................................... 32
3.1. Формулы прямоугольников и трапеций .................................................. 33
3.2. Формула Симпсона ................................................................................... 36
3.3. Квадратурные интерполяционные формулы .......................................... 37
3.4. Формула Гаусса ......................................................................................... 39
3.5. Вычисление несобственных интегралов с бесконечными
пределами .................................................................................................. 41
3.6. Вычисление интеграла по площади прямоугольного четырех-
угольника .................................................................................................. 42
3.7. Вычисление интеграла по площади произвольного четырех-
угольника .................................................................................................. 43
3.8. Метод Монте-Карло .................................................................................. 46
4. ЧИСЛЕННЫЕ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ
АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ (СЛАУ) ................................................ 48
4.1. Общие сведения ......................................................................................... 48
4.2. Число обусловленности матрицы ............................................................ 52
3
4.3. Классификация методов решений СЛАУ ............................................... 54
4.4. Метод последовательных исключений (Метод Гаусса) ........................ 55
4.5. Связь метода Гаусса с разложением матрицы на множители ............... 58
4.6. Метод прогонки ......................................................................................... 60
4.7. Метод квадратного корня ......................................................................... 62
4.8. Метод простых итераций .......................................................................... 64
4.9. Метод Зейделя ........................................................................................... 66
5. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ................................................... 67
5.1. Вводные замечания ................................................................................... 67
5.2. Метод половинного деления .................................................................... 68
5.3. Метод хорд ................................................................................................. 69
5.4. Метод Ньютона (Метод касательных) .................................................... 70
5.5. Метод простых итераций
5.6. Системы нелинейных уравнений ............................................................. 75
ЗАДАНИЯ К ЛАБОРАТОРНЫМ РАБОТАМ ..................................................... 78
Работа 1. Приближение функции с помощью многочлена Тейлора ................. 78
Работа 2. Интерполяционный многочлен ............................................................ 80
Работа 3. Кубический сплайн ............................................................................... 82
Работа 4. Аппроксимация по методу наименьших квадратов. .......................... 84
Работа 5. Приближенное вычисление интеграла по формуле Гаусса ............... 88
Работа 6. Приближенное вычисление несобственного интеграла
с бесконечными пределами .................................................................. 91
Работа 7. Приближенное вычисление интеграла по площади четырех-
угольника ............................................................................................... 93
Работа
8. Вычисление определенного интеграла по методу Монте-
Карло ...................................................................................................... 96
Работа 9. Решение СЛАУ методами прогонки и простых итераций ................. 98
Работа 10. Исследование устойчивости решения системы линейных
алгебраических уравнений. ................................................................ 100
Работа 11. Решение нелинейного уравнения ..................................................... 102
ПРИЛОЖЕНИЕ .................................................................................................... 105
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК ................................................................ 113
.......................................................................... 72
4
f
x
x
1. ОСНОВНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ
При описании методов решения задач будет использован ряд поня-
тий и определений математического и функционального анализа.
Погрешность вычислений. На разных этапах решения задач на
ЭВМ в результате вычислений могут возникать погрешности, искажающие результат. Выделим четыре основных источника погрешности
вычислений.
1. Несоответствие математической модели физическому явлению
(например, неправильно записанные граничные
задачи).
2. Погрешность исходных данных.
3. Погрешность метода, связанная с заменой более сложной задачи
менее сложной.
4. Погрешность, связанная с округлениями чисел.
Первые два вида погрешностей принято считать неустранимыми,
последние два – устранимые, и их можно корректировать. Например,
возникающую погрешность при замене интеграла суммой можно регулировать с помощью выбора шага
:ih
условия решаемой
b
() ( )
xdx f x h
a
n
.
ii
1
Устойчивость и корректность задач. Рассмотрим погрешности исходных данных, являющихся неустранимыми. Пусть X – исходные данные; Y – функция, вычисленная по исходным данным. Предположим,
что исходные данные определены с абсолютной погрешностью
y
торая повлечет погрешность
. Важно знать, как влияет
5
на y.
, ко-
Задача называется устойчивой относительно исходных данных X,
x
x
x
x
x
если решение
соответствуют малые приращения y
Y непрерывно от него зависит, т. е. малым величинам
.
Примеры неустойчивых задач
1. Определение корней многочлена. Рассмотрим многочлен вида
( ) ( 20)( 19)...( 1) 210 ...px x x x x x
Корнями этого многочлена являются
Предположим, что второй коэффициент при
грешностью:
относительно
начиная с
12
(210 10 )
с точностью до 11 значащих цифр, то корни уравнения
до
7
. Если будем решать нелинейное уравнение
будут комплексными.
19
20 19
1, 2,..., 20.xx x
12 20
19
вычислен с малой по-
2. Решение системы уравнений. Рассмотрим систему двух линей-
ных уравнений:
Решение этой системы
0.99 1.99xx
1 2
0.99 0.98 1.97.xx
1 2
12
;
(1.1)
1.xx
Положим, что правые части уравнений были определены с погрешностями –0.000097 и 0.000106 и будут равны 1.989903 и 1.970106
вместо 1.99 и 1.97. В этом случае решение системы будет
2.97 0.99.xx
12
В результате видим, что малые погрешности исходных данных повлекли за собой существенные погрешности решения.
Задача называется поставленной
корректно, если для любых ис-
ходных данных ее решение существует, единственно и устойчиво относительно этих данных.
Приведенные выше примеры неустойчивых задач являются некорректно поставленными. Их решение, как правило, требует специальных методов.
6
Устойчивость метода. Рассмотрим интегралы
1
Ixedxn
n
0
nx
1
, 1,2,3...
Вычислим эти интегралы по частям
11 1
11111
xxxxx
Ixedxxde xe edx e
1
Ixedxxde xe xedx I
21
II
32
InI
nn
00 0
11 1
21 2 1 21 1
xxxx
00 0
13,
1.
1
() 1 11,
11
00
()2 12,
1
0
1
e
Получили рекуррентную формулу вычисления интеграла. Определим
I с точностью
1
муле показывает, что
7
10. Вычисление интеграла по полученной фор-
0I
, чего быть не может, так как подынте-
9
гральные функции положительные. Это связано с тем, что на k-м шаге
начальная погрешность умножается на
емое в рекуррентной формуле, равное
!k , и при 9kполучим слага-
I
1
1
e
10
. Это пример не-
9!
7
устойчивого метода.
Характеристика точности приближенного решения. При оценке
точности приближенного решения характеризуемой функцией ()
зависящей от некоторого параметра
ния этой функции к 0 при 0
h .
Пусть некоторая функция ()
h , важно знать скорость стремле-
h
определена для 0h и может при-
h
,
нимать сколь угодно малые значения. Предположим, что существуют
h ,
c
такие три числа
0),
k
тогда говорят, что ()h есть O большое от
() ,
hch
h и пишут ()h
, k , что при всех
0
= ( )
k
Oh . Величина ()
hh
выполняется условие
0
k
h (при
k
Oh определяет скорость
7
стремления к нулю функции (),h а k определяет порядок малости
f
f
f
f
f
f
()
h при
0.h
Непосредственно из определения следует:
1) если () ( )
2) если () ( ),
m
Oh
().
hOh и () ( )
hOh () ( )
k
k
hOh , то () () ( )
hOh и ,km то () ( )
Классы функций. Функция (),
принадлежит классу
ная производная функции ()
C , если на этом отрезке существует непрерыв-
k
x до k-го порядка включительно, а
k
m
hhOh ;
Oh Oh
k
km
x определенная на отрезке [, ],ab
уже не является непрерывной функцией.
Пример
5/2
() , [0,1].
fx x x
51515
() , () , () .
fx x f x x f x x
3/2 1/2 1/2
24 8
1k
Таким образом,
. Функция (),fx определенная на отрезке [,]ab , при-
() (0,1]fx C
надлежит классу
()fxC на отрезке [0, 1]. На отрезке (0, 1]
2
kL , если существует интеграл
b
a
k
()
xdx
.
Линейные пространства. Множество объектов произвольной
природы называется линейным пространством, если для любых двух
элементов этого множества выполняются условия:
,,aMbM
()abM
.
,ab – объекты; , – вещественные числа.
Скалярное произведение функций. Скалярным произведением
двух функций ()
число (,)
g , которое определяется как интеграл:
x и (),gx определенных на отрезке [, ],ab является
8
b
f
f
f
f
M
fM
f
f
f
f
f
(, ) ()()
gfxgxdx
a
.
Если функции (, )
xy, ( , )gxy определены в области D, то
(,) (,)(,)
gfxygxydxdy
D
.
Скалярное произведение определено для функций, интегрируемых
() [, ]
в квадрате, т. е.
xLab таких, что
2
b
2
()
fxdx
a
.
Нормированные и метрические пространства. Множество
называется
этого множества
мое нормой
1)
2)
3)
различным способом. Например, в классе непрерывных функций нор-
нормированным пространством, если каждому элементу
ставится в соответствие число ,f называе-
. При этом должны выполняться условия:
0f ; 0f
только при 0;f
f , – const;
gfg , , .
gM
Для одного и того же класса функций норма может быть введена
му можно задать двумя способами:
() max ();
xfx
1)
() ( ) () .
fx f f f xdx
2)
II
I
[,]
xab
(1.2)
b
2
a
1/ 2
В дальнейшем эти нормы будем называть первой и второй соответственно.
9
Множество элементов M произвольной природы образует метри-
f
f
x
f
f
x
f
f
ческое пространство
неотрицательное число (, ),
, если любой его паре поставлено в соответствие
g называемое метрикой или расстояни-
ем между элементами f и g. Метрику можно ввести, используя введенное в (1.2) понятие нормы
(,g)ffg
следующим образом:
(, ) max ,
1)
2)
gfg [, ];
b
(, ) ( ) .
fg f g dx
a
2
ab
1/ 2
Расстояние по первой норме определяет максимальное по абсолютной величине отклонение функции ()
x от ()gx на [, ]ab, а рас-
стояние по второй норме определяет среднеквадратичное отклонение
между этими функциями.
Если функции ()
то среднеквадратичное отклонение
0, , ,in
x и ()gx заданы на дискретном множестве ,
i
от g определяется
как
n
(, ) ( ) .
fg f g
ii
0
i
1/2
2
Следует отметить, что если функции близки по первой норме, то они
близки и по второй норме.
Пусть
– малое число и функции близки по первой норме, т. е.
(,) max ,fg f g
I
тогда
b
(, ) ( ) ( )
gfgdx ba ba
II
a
1/ 2
22
10
1/2
,
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]