Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Введение в численные методы. Учебное пособие-1
.pdf
РАБОТА 10. ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ
f
РЕШЕНИЯ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ
АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
А) Дана система линейных алгебраических уравнений Ax b
1 1 11111
1011111
1001111
bA
,.
1000111
1000011
1 000001
Задание
1. Сформировать матрицу A и вектор b произвольной размерности n.
2. Найти значение x c помощью встроенных программ.
3. В компоненту
b вектора b внести погрешность
n
(n = 2;
n
10
6
6; 10,100). Найти решение системы с новой правой частью. Определить
погрешность по первой норме для каждого n.
4. Найти число обусловленности матрицы A для каждого n.
Б) Задана последовательность функций
[0, 1]x .
На этом же отрезке задана функция () sin()
i
i
() ,
xx i = 1, 2, … n;
xx
.
Задание
Для n = 2, 6 и 8:
1) образовать систему уравнений Ax = b, где элементы матрицы
1
Axxdx
ij i j
() ()
0
, а компоненты вектора
1
bxfxdx
ii
() ()
0
;
2) найти значение x c помощью встроенных программ;
3) найти решение для случая, когда последняя компонента
6
определена с погрешностью
. Определить погрешность решения
10
b
n
по первой норме для каждого n;
4) найти число обусловленности матрицы A для каждого n.
101
В) Дана система линейных алгебраических уравнений
A
xb
Матрица A определена в лабораторной работе 3 (сплайны). Век-
тор
взять из задания I этой работы и выполнить пункты 2–4 этого
b
задания.
г) Провести анализ устойчивости решений систем уравнений в за-
висимости от числа обусловленности матрицы.
.
102
РАБОТА 11. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ
x
f
x
f
f
f
f
x
Задание
1. Определить графически области существования n корней урав-
нения, при этом значения функции на границах каждой области
[, ]
ab
делить корень уравнения () 0fx
где
качестве начального приближения
должны иметь разные знаки; 1, , .in
ii
2. Задав начальное приближение
из выделенной области, опре-
0
методом хорд:
bx
i
xxfx
1
kk k
b – правая граница области существования корня уравнения, а в
i
() ,
()–()
взять значение левой границы;
0
k
xfb
i
k
3. Определить корни методом Ньютона, проверив предварительно
условия для заданных функций:
Выбрав начальное приближение
()
x
алгоритм
xx
1
kk
k
()
x
k
.
()fxC.
2
, использовать итерационный
Итерационный процесс осуществлять до выполнения условия
xx
1
kk
, 10
4
.
4. Вычислить корни с помощью встроенных программ
root ( ), ,
xx
root ( ), ,
xab и Given-Find (см. приложение).
Варианты заданий
№ п/п f(x) № п/п f(x)
4
3ln ( ) 3
1
2
x
ex
ln 1 / (1 )xx
2sin()3xx
xx
(2 ) 0.5
16
2
17
x
–arcco ( )s
ex
2
32
arccos( )xx
2
3sin ( ) 1xx
0.5
2si ( 1)nxx
103
№ п/п f(x) № п/п f(x)
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
–
x
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
1/
xe
sin ( 2) 5
432
13 – ln ( )
cos( ) 5
2
arccos ( )xx
ln() 2sin()xx
11()( 1)xxx
3
15cos( ) 1xx
2
sin 6 1xx
sin ( ) 6 1
3
x
ex
4
22xx
xe
11cos ( ) 4 9xx
32
arccos ( )xx
ln() 2sin()xx
arcos ( 1)x
6
23
ln ( )xx
x
5sin
ex
arccos ( )xx
5sin 5 3xx
x
4sin (6 )
ex
2
10 5sin 2 1xx
3
cos3 0.5xx
ln
ex
2
xx
xx x
e
2
2
xx
cos
sin ( )xx
24
2
2
e
2
2
2
x
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
arcos ( 1) 2x
6
e
2
ln 1/xx
2
x
– arccos
ex
xe
arccos
x
(2 )
ex
1/(1))(
2
x
(2 )
ex
sin 5
arccos ( )
sin 6 1xx
sin ( ) 3xx
24
22xx
23
x
0.5
xe
2sin ( ) 1xx
0.5
2
xe
2
2
ln 1 / (1 )xx
23
sin ( )xx
11()( 1)xxx
4ln sin 5xx
sin 2
ln ( ) 3xx
ex
3
15cos( ) 1xx
33
3sin 3xx
2
x
ex
2
sin (2 ) 1xx
22
sin ( ) 3xx
22
23
cos ( ) 2xx
sin( )
x
2
0.5
x
2
2
104
ПРИЛОЖЕНИЕ
f
I. Вектор-функция
Примеры операций с вектор-функцией
1. Найти максимальное и минимальное значений функции
[, ]ab
отрезке
, заданной в равноотстоящих узлах
(): : 2 :1 : 3
fx x a b N
3
: 0, ..., :
iN xa
График функции
точках
,ix показан на рис. П1, а график функции
всех точках на отрезке
i
()
x
, построенной по ее значениям в заданных
i
[, ],ab
на рис. П2.
x
i
()
bai
N
()fx
()fx
на
, заданной во
Рис. П1 Рис. П2
()fx
– вектор-функция определяет вектор-столбец F из значений
()fx
функции
в точках
x
i
, где
()
Ffx
ii
:()Ffx
T
FF
8101
105
8
1
0
1
Максимальное и минимальное алгебраические значения элементов
F
F
F
F
FF
FF
F
F
FF
A
вектора
определяются операторами max и min:
max( ) 1, min( ) 8FF
Максимальное по абсолютному значению:
2. Вычислить модуль вектора
max 8.F
2
:
(П1)
8.124.FF (П2)
(П1) – определяет максимальный по модулю элемент вектора ,
(П2) – определяет модуль вектора
.
Для вычисления модуля вектора можно использовать также
calculator
8.124.F
(П3)
Модуль вектора определяется по формуле
3
2
mod : ( ) .
FF
0
i
(П4)
i
Результаты (2), (3) и (4) совпадают.
3. Выполнить операции перемножения векторов.
Выражения
тора ;
TT
F
– не определено;
и
T
– число, равное квадрату модуля век-
T
– матрица.
Нумерация элементов массива по умолчанию начинается с нулево-
го элемента:
8, 1.FF
03
Если задать
ORIGIN:=1
, то получим
8, 1.FF
14
II. Операции с двумерными массивами
Примеры формирования матриц
1. Из матрицы
сформировать трехдиагональную матрицу, поло-
жив нулю элементы, не лежащие на главной и побочной диагоналях:
106
а) Первый способ
B
:4
M
:1.. 1 :
kM A A
1: 2.. 1: 1.. 1
kMmM
1: 1 :
AA A A
1, 1 1 1, 1 1 1, 1 1 1, 1 1
kk kk mm mm
42 00
3510
1:
A
02 41
00 13
ORIGIN:=1
42 31
3512
:.
A
1241
2113
,,
kk kk
1A – искомая матрица
б) Второй способ
for 1..
iM
sA
,,
ii ii
for 2..
jM
:
B
sA
,1 ,1
jj jj
for 1.. 1
kM
sA
,1 ,1
kk kk
42 00
3510
:
B
02 41
00 13
107
– искомая матрица
в) Третий способ
A
s
A
A
for 1..
iM
for ..
jiM
sAji
,,
ij ij
:
D
sAji
,,
ji ji
jj
s
D – искомая матрица
2. Из матрицы
for 1, ...,
iM
for , ...,
ji M
:
DsA
,,
ij ij
(0)if
,
ij
сформировать верхнюю треугольную матрицу
ij
s
if 2
if 2
1
42 31
0512
:
C
00 41
00 03
42 00
3510
:
D
02 41
00 13
C – искомая матрица
3. Определить максимальный и минимальный элементы второго
столбца матрицы
4231
3512
1:
A
1241
2113
2
max 2
min 5.
AA
2
4. Определить максимальный и минимальный элементы матрицы
max( ) 4, min( ) 5.AA
108
5. Определить скалярное произведение векторов, соответствующих
A
A
A
первому и второму столбцу матрицы
24
53
21 2 1
AA A A
7.
21
12
6. Создать единичную матрицу
1000
0100
identity 4 .
0010
0001
III. Решение систем линейных алгебраических уравнений
Решить систему линейных алгебраических уравнений
b
1
0
2
1
Матрица
42 31
3512
:
A
1241
2113
невырожденная, так как ее определитель не равен
xb
.
нулю:
133.A
а) Системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) неболь-
шого порядка можно решать, используя обратную матрицу
1T 3
: ( 7.519 10 0.534 0.977 0.835).xA b x
б) В общем случае следует использовать оператор lsolve
: lsolve( , ) ( 7.519 10 0.534 0.977 0.835).xAbx
T3
109
IV. Вычисление собственных чисел
A
A
f
A
и собственных векторов матрицы
Собственные числа матрицы A из предыдущего примера можно
найти с помощью оператора eigenvals
4.928
6.856
:eigenvals() .
LAL
1.579
2.494
Элементы вектора
L – собственные числа матрицы
0.16 0.783 0.274 0.713
0.949 0.203 0.398 0.146
: eigenvecs .
VAV
0.213 0.515 0.673 0.242
0.167 0.284 0.56 0.642
Столбцы матрицы V – собственные векторы матрицы .
Вычислим собственный вектор матрицы ,A соответствующий вы-
бранному собственному значению
():L
33
0.274
eigenvec( , ) .
AL
3
0.673
0.56
0.398
V. Вычисление производных функции f(x)
n
С помощью оператора дифференцирования ()
d
tdt можно вы-
n
числить производную функции только до пятого порядка включительно. Если порядок дифференцирования больше пяти, то следует вычис-
110
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]