Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Введение в численные методы. Учебное пособие-1
.pdf
6. Составить программу вычисления интерполяционного много-
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
члена Ньютона (см. (2.18), с. 22) для равноотстоящих узлов и показать,
что для одинаковых функций с одинаковыми узлами интерполяции эти
многочлены совпадают.
Варианты заданий
№
п/п
1
2
3
4
5
6
f(x) a b
32
sin (5 )xx
sin (5 ) cos( )xx
2
sin( )xx
4
sin(2 )xx
sin (5 )cos ( )
sin ( )xx
0.5 1.2 16
–0.3 2 18
xx
2
0.3 2. 17
–0.2 2.1 19
0.5 3.1 20
0.3 4.2 21
№
п/п
f(x) a b
22
cos sin (2 )xx
23
cos sin ( )xx
2
cos sin( )xx
cos (5 ) sin (2 )xx
3
cos (3 )
cos(2 ) sin ( )xx
–0.5 2
0 2
–0.2 2
2
0 1.5
0.3 3
–0.2 3.4
7
cos(2)sin(6)
2
x
8
9
10
11
12
13
14
15
sin (7 )
ex
2
cos ( ) sin ( )
cos ( ) ln ( )
cos (3 )
x
cos (3 )
ex
cos sin (2 )xx
32
/(2 cos( ))xx
cos ( 1)xx
xe
xx
xx
xe
2
22
2
0.3 2.1 22
–0.4 1.3 23
2 4 24
1 5 25
1 4 26
–2 1 27
–0.5 2 28
0 3 29
–1 2 30
cos(2) sin(6)xx
cos (8 ) sin (6 )xx
cos (3 )sin (2 )xx
32
sin(4 )xx
22
/(2 sin( ))xx
x
sin(5 )
ex
sin ( ) / (1 )
2
sin( ) cos( )
cos sin ( )xx
2
xx
xx
2
0.2 1.9
–0.2 1.2
–0.4 1.2
–0.2 1.2
0 2.5
–1 1
2 4
–1 2
–1 2
81
РАБОТА 3. КУБИЧЕСКИЙ СПЛАЙН
f
x
N
N
x
F
N
Основные соотношения
Общий вид кубического сплайна
() ()()(),1,...,
Sx a bxx cxx dxx i N
где
функции
Если
ii i i i i i
– количество интервалов на отрезке интерполирования
N
()
x
; длина каждого интервала
, то коэффициенты
hh
i
11 1
23
1ii i
.
xh
определятся из решения системы
c
i
уравнений
, (1)
[, ]
ab
с F
22
с F
33
..
..
..
..
cF
N
kkkk
, (2)
3
fff
(2 ),
21
2
h
где
( 2, ..., ).kN
Положив
h
ba
410...0
1410. .0
01410 . 0
.......
.......
00 . .141
00 . . 14
,
aih
i
и
0c
1
c
( 0, ..., ),
iN
,
после решения системы (2) остальные
0,
1
коэффициенты в (1) определятся соотношениями
cc ff hcc
111
ii ii ii
db af
ii ii
,,.
33
hh
(2 )
1
Задание
1. Для заданной функции
()fx
на отрезке
[, ]ab
построить кубиче-
ский сплайн с равноотстоящими узлами, выбрав число разбиений таким образом, чтобы выполнялось условие близости по первой норме:
3
() () () 10
Rx fx Sx
n
.
82
2. Коэффициенты
x
x
x
x
x
определить с помощью оператора lsolve из
c
i
решения системы (2). После определения всех коэффициентов
,,,
abcd
iii i
(см. раздел 3) для вычисления сплайна использовать про-
граммный блок, приведенный в приложении.
3. Привести графическое представление
()Sx
и
()fx
.
Варианты заданий
№
п/п
32
1
2
sin ( )xx
2
3
4
cos sin ( )xx
sin ( ) cos( )
5
6
sin ( )xx
cos (5 ) sin (2 )xx
7
8
sin ( )xx
23
9
10
11
12
13
14
15
sin (2 )xx
sin (3 ) cos ( )xx
32
cos sin (2 )xx
cos sin ( )xx
sin (ln )
f(x) a b
sin (5 )xx
sin (2 )xx
2
2
2
xx
–2.5 4.5
3
cos ( )xx
2
cos (4 )xx
2
22
23
–2 1
–1 5
0. 4
–4 5
–3 8
–4 7
–1 10
–2 6
–1 14
–1 8
–2 2
–4 2
1 5
1 8
№
п/п
16
cos ( )sin ( )xx
cos (5 ) sin (2 )xx
17
18
cos ( ) sin ( )xx
19
cos(2 ) sin ( )xx
cos(2) sin(6)xx
20
cos (8 ) sin (6 )xx
21
cos (3 )sin (2 )xx
22
32
23
24
sin (4 )xx
25
22
26
27
cos sin ( )xx
28
29
sin (2 ) cos ( )xx
sin ( )
30
e
sin ( ) cos( )
sin ( )cos ( )
f(x) a b
2
3
2
sin (3 )xx
22
sin (2 )xx
xx
2
23
2
xx
2
–1 5
–2 6
–3 5
0 6
0 8
0 8
–1 9
0 4
–1 4
–3 2
1 5
1 6
–2 2
0 4
0 6
83
РАБОТА 4. АППРОКСИМАЦИЯ
x
ПО МЕТОДУ НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ
Задание
1. Аппроксимировать таблично заданную в равноотстоящих узлах
функцию
i
( 0, ..., )in
y
i
многочленами степени m = 3; 5; 10 по ме-
тоду наименьших квадратов, составив программу для использования
()
Px
многочлена
Коэффициенты
произвольной степени m.
m
искомого многочлена 0()
c
k
m
k
k
опреде-
Px cx
mk
ляются из системы уравнений
mn n
kj j
cx yxj m
ki
ii
ki i
00 0
( 0, , )
.
Результаты представить в графической форме.
:m
2. Вычислить среднеквадратичное отклонение для каждого
n
i
()
Px y
mi i
0
Какое максимальное значение может принимать величина
n
заданном значении
?
2
.
m
при
Исходные данные
()
Значения
i
Вариант 1 Вариант 2 Вариант 3 Вариант 4 Вариант 5 Вариант 6
x [–2, –1] x [–1, 2] x [1, 3] x [0, 2] x [–2, 0] x [–1, 1]
0 2.01 2.02 2.00 1.96 2.10 2.01
1 2.05 2.09 2.02 1.98 2.21 2.07
2 1.94 2.05 1.98 2.10 2.28 2.17
3 1.92 2.19 1.67 2.20 2.27 2.25
4 1.77 2.18 1.64 2.39 2.62 2.31
5 1.89 2.16 1.57 2.19 2.72 2.10
yyx
ii
84
()
Значения
i
Вариант 1 Вариант 2 Вариант 3 Вариант 4 Вариант 5 Вариант 6
x [–2, –1] x [–1, 2] x [1, 3] x [0, 2] x [–2, 0] x [–1, 1]
6 1.87 2.27 1.42 2.61 2.82 2.05
7 1.71 2.58 1.50 2.35 3.13 2.13
8 1.60 2.73 1.07 2.60 3.49 1.63
9 1.56 2.82 0.85 2.55 3.82 1.78
10 1.40 3.04 0.48 2.49 3.95 1.52
11 1.50 3.01 0.35 2.50 4.22 1.16
12 1.26 3.45 –0.30 2.52 4.48 1.07
13 0.99 3.62 –0.61 2.44 5.06 0.85
14 0.96 3.85 –1.20 2.35 5.51 0.56
15 0.90 4.19 –1.39 2.190 5.68 0.10
16 0.71 4.45 –1.76 2.24 6.19 –0.25
17 0.43 4.89 2.28 2.30 6.42 –0.65
18 0.54 5.06 –2.20 1.95 7.04 –1.04
19 0.19 5.63 –3.52 2.19 7.57 –1.66
20 0.01 5.91 4.05 2.27 8.10 –2.01
yyx
ii
()
Значения
i
Вариант 7 Вариант 8 Вариант 9 Вариант 10 Вариант 11 Вариант 12
x [–2, 1] x [0, 2] x [–2, 1] x [0, 3] x [–1, 2] x [–3, –1]
0 2.10 –0.12 –0.18 2.08 2.12 0.12
1 2.18 –0.10 –0.16 2.09 2.15 0.10
2 2.43 –0.21 0.01 2.31 2.41 –0.01
3 2.40 0.01 0.1 2.72 2.57 –0.19
4 2.45 0.07 0.16 2.78 2.84 –0.11
5 2.65 –0.13 0.02 2.77 3.28 –0.1
6 2.75 –0.23 0.35 2.97 3.46 –0.78
7 2.67 –0.20 0.19 3.01 4.02 –0.64
8 2.66 –0.44 0.51 3.54 4.11 –0.85
9 2.70 –0.43 0.74 3.43 4.64 –1.18
10 2.75 –0.44 1.03 3.58 5.09 –1.39
11 2.41 –0.57 1.06 3.58 5.40 –1.79
12 2.24 –0.83 1.48 3.51 5.86 –2.02
13 2.12 –0.78 1.79 3.82 6.33 –2.50
14 1.74 –0.81 2.03 3.94 6.81 –2.93
yyx
ii
85
()
Значения
i
Вариант 7 Вариант 8 Вариант 9 Вариант 10 Вариант 11 Вариант 12
yyx
ii
x [–2, 1] x [0, 2] x [–2, 1] x [0, 3] x [–1, 2] x [–3, –1]
15 1.56 –1.06 2.22 3.77 7.21 –3.26
16 1.15 –1.41 2.50 3.81 7.67 –3.91
17 0.96 –1.40 2.90 4.02 8.23 –4.41
18 0.25 –1.70 3.24 3.97 8.68 –4.93
19 0.05 –1.96 3.63 4.08 9.34 –5.30
20 0.12 –1.91 3.92 4.08 9.93 –6.06
()
Значения
i
Вариант 13 Вариант 14 Вариант 15 Вариант 16 Вариант 17 Вариант 18
x [–2, –1] x [–2, 2] x [1, 3] x [0, 2] x [–2, 0] x [–1, 1]
0 2.01 2.02 2.00 1.96 2.10 2.01
1 2.05 2.09 2.02 1.98 2.21 2.07
2 1.94 2.05 1.98 2.10 2.28 2.17
3 1.92 2.19 1.67 2.20 2.27 2.25
4 1.77 2.18 1.64 2.39 2.62 2.31
5 1.89 2.16 1.57 2.19 2.72 2.10
6 1.87 2.27 1.42 2.61 2.82 2.05
7 1.71 2.58 1.50 2.35 3.13 2.13
8 1.60 2.73 1.07 2.60 3.49 1.63
9 1.56 2.82 0.85 2.55 3.82 1.78
10 1.40 3.04 0.48 2.49 3.95 1.52
11 1.50 3.01 0.35 2.50 4.22 1.16
12 1.26 3.45 –0.30 2.52 4.48 1.07
13 0.99 3.62 –0.61 2.44 5.06 0.85
14 0.96 3.85 –1.20 2.35 5.51 0.56
15 0.90 4.19 –1.39 2.42.190 5.68 0.10
16 0.71 4.45 –1.76 2.24 6.19 –0.25
17 0.43 4.89 2.28 2.30 6.42 –0.65
18 0.54 5.06 –2.20 1.95 7.04 –1.04
19 0.19 5.63 –3.52 2.19 7.57 –1.66
20 0.01 5.91 4.05 2.27 8.10 –2.01
yyx
ii
86
()
Значения
Вариант 19 Вариант 20 Вариант 21 Вариант 22 Вариант 23 Вариант 24
i
x [–2, 1] x [0, 2] x [–2, 1] x [0, 3]
0 2.10 –0.12 –0.18 2.08 2.12 0.12
1 2.18 –0.10 –0.16 2.09 2.15 0.10
2 2.43 –0.21 0.01 2.31 2.41 –0.01
3 2.40 0.01 0.1 2.72 2.57 –0.19
4 2.45 0.07 0.16 2.78 2.84 –0.11
5 2.65 –0.13 0.02 2.77 3.28 –0.1
6 2.75 –0.23 0.35 2.97 3.46 –0.78
7 2.67 –0.20 0.19 3.01 4.02 –0.64
8 2.66 –0.44 0.51 3.54 4.11 –0.85
9 2.70 –0.43 0.74 3.43 4.64 –1.18
10 2.75 –0.44 1.03 3.58 5.09 –1.39
11 2.41 –0.57 1.06 3.58 5.40 –1.79
12 2.24 –0.83 1.48 3.51 5.86 –2.02
13 2.12 –0.78 1.79 3.82 6.33 –2.50
14 1.74 –0.81 2.03 3.94 6.81 –2.93
15 1.56 –1.06 2.22 3.77 7.21 –3.26
16 1.15 –1.41 2.50 3.81 7.67 –3.91
17 0.96 –1.40 2.90 4.02 8.23 –4.41
18 0.25 –1.70 3.24 3.97 8.68 –4.93
19 0.05 –1.96 3.63 4.08 9.34 –5.30
20 0.12 –1.91 3.92 4.08 9.93 –6.06
yyx
ii
x
[–1, –
2]
[–3, –1]
x
()
Значения
i
Вариант 25 Вариант 26 Вариант 27 Вариант 28 Вариант 29 Вариант 30
x [–2, 1] x [0, 2] x [–2, 1] x [0, 3] x [–1, 2] x [–3, –1]
0 2.01 2.02 2.00 1.96 2.10 2.01
1 2.05 2.09 2.02 1.98 2.21 2.07
2 1.94 2.05 1.98 2.10 2.28 2.17
3 1.92 2.19 1.67 2.20 2.27 2.25
4 1.77 2.18 1.64 2.39 2.62 2.31
5 1.89 2.16 1.57 2.19 2.72 2.10
6 1.87 2.27 1.42 2.61 2.82 2.05
7 1.71 2.58 1.50 2.35 3.13 2.13
yyx
ii
87
()
Значения
i
Вариант 25 Вариант 26 Вариант 27 Вариант 28 Вариант 29 Вариант 30
x [–2, 1] x [0, 2] x [–2, 1] x [0, 3] x [–1, 2] x [–3, –1]
8 1.60 2.73 1.07 2.60 3.49 1.63
9 1.56 2.82 0.85 2.55 3.82 1.78
10 1.40 3.04 0.48 2.49 3.95 1.52
11 1.50 3.01 0.35 2.50 4.22 1.16
12 1.26 3.45 –0.30 2.52 4.48 1.07
13 0.99 3.62 –0.61 2.44 5.06 0.85
14 0.96 3.85 –1.20 2.35 5.51 0.56
15 0.90 4.19 –1.39 2.190 5.68 0.10
16 0.71 4.45 –1.76 2.24 6.19 –0.25
17 0.43 4.89 2.28 2.30 6.42 –0.65
18 0.54 5.06 –2.20 1.95 7.04 –1.04
19 0.19 5.63 –3.52 2.19 7.57 –1.66
20 0.01 5.91 4.05 2.27 8.10 –2.01
yyx
ii
88
РАБОТА 5. ПРИБЛИЖЕННОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛА
x
A
x
x
x
x
x
x
x
x
x
ПО ФОРМУЛЕ ГАУССА
Задание
b
1. Вычислить интеграл
ле наивысшей алгебраической степени точности
для 4, 8, 12 и 14 узлов, где
Ifxdx
a
A
k
2(1 )
2
nP t
по интерполяционной форму-
n
ba
IAfx
2
n
1
2
t
k
()
k
ab ba
,
kk
22
1
k
kk
2
t
()
;
t
k
–
корни полинома Лежандра – вычислить с помощью оператора polyroots
(см. приложение, разд. VI). При нахождении многочлена Лежандра сле-
21
k
дует использовать рекуррентную формулу
k
Pt
k
()
,
1
k
1
() 1, ()Pt Pt t .
01
() ()
Pt Ptt
1
kk
1
k
2. Дать определение квадратурной интерполяционной формулы
наивысшей алгебраической степени точности.
3. Объяснить, почему при нахождении коэффициентов
исполь-
k
зуются многочлены Лежандра.
№
п/п
1
2
e
1/ln(1 )x
3
4
22
5
()
6
e
7
(cos ) / 1xx
f(x) a b
/xex
0.2 5 16
–5 2 17
22
e
e
0.1 7 20
22
x
2
1 6 18
0.1 4 19
0.5 4 21
–1 5 22
89
№
п/п
f(x) a b
/(1 )
x
/(1 )
/1
x
2
2
2
–1 1
2
2
0 3.1
x
ex
(sin ) / (1 )xx
(cos ) / (1 )xx
ex
x
ex
ex
()/(1 )
cos( 1)xx
0 1.5
2 4
3 5
0.1 2
1 2
№
x
x
x
x
п/п
8
9
10
11
12
13
14
15
f(x)
(sin ) / (1 )xx
(cos )/(1 )
xx
(sin2)/(1 )
xx
x
ex
/(1 )
2
(cos ) / (1 )xx
cos
x
ex
2
(1 )/x
ex
x
/1
ex
2
3
a b
2
0 8 23
–1 9 24
2
0 5 25
–1 3 26
0 6 27
0
/2
–1 1 29
0 5 30
№
п/п
sin( 1)xx
cos( )ln( )xx
ex
(sin 2 ) / (1 )xx
28
(sin ) / (2 sin( ))xx
ex
2
3/2
e
cos
x
/ln(1 )xx
x
/12
f(x)
cos(sin )
2
a b
0.2 3
1.1 3
1 4
2 5
–5 0
1 4
–1 3
–2 4
90
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]