Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Введение в численные методы. Учебное пособие-1
.pdf
После определения
x
H
x
() 1, ()Px Px x
01
из (3.22) остальные многочле-
ны Лежандра могут быть вычислены с помощью рекуррентного соотношения
21
kk
() () ()
Px Pxx Px
11
kkk
11
() (3 1), () (5 1)
Px x Px x
23
32
11
kk
23
,
и т. д.
3.5. ВЫЧИСЛЕНИЕ НЕСОБСТВЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ
С БЕСКОНЕЧНЫМИ ПРЕДЕЛАМИ
Для вычисления интеграла
Ifxedx
()
2
x
по формуле наивыс-
шей алгебраической степени точности необходимо найти многочлены,
ортогональные в области (,)
с весовой функцией
2
e. Такими
многочленами являются многочлены Эрмита
n
d
22
Hx e e
() (1) ,
n
nx x
dx
n
которые также можно найти по рекуррентной формуле
() 2 () ()
Hx tHxkHx
kkk
Коэффициенты
1
n
2!
A
k
(
H
n
,
11
A в формуле (3.18) определятся как
k
n
,
– корни многочлена Эрмита.
k
2
x
)
k
() 1, () 2.
tHtt
01
Погрешности интегрирования оцениваются величиной
!
n
n
2!2
Rfxx
max , ( , ).
n
n
(2 )
n
()
41
x
Ifxedx
I
x
x
x
R
Для вычисления интеграла
шей алгебраической степени точности
n
Afx
kk
0
k
()
0
()
по формуле наивыс-
,
узлы
Эти многочлены ортогональны в области (0, )
Коэффициенты
выбирают в корнях многочлена Лагерра
k
n
A определятся по формуле
k
n
A
k
nLx
(1) ()
1
() ( ).
Lx e xe
n
d
nx
n
!
dx
x
k
2
2
k
1
n
с весовой функцией
.
(3.24)
e
.
Величина погрешности интегрирования оценивается как
!
n
, (0, )x
n
n
(2 )!
(2 )
n
fx
max ( )
.
Многочлены Лагерра можно также определять по рекуррентной
формуле
(2 1 ) () ()
kxLxkLx
() , 1, ()1, ()1 .
Lx k Lx Lx x
k
101
kk
(1)
k
1
3.6. ВЫЧИСЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛА ПО ПЛОЩАДИ
ПРЯМОУГОЛЬНОГО ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКА
Применим формулу Гаусса для вычисления интеграла вида
bd
I f x y dxdy a x b c y d
(, ) , , .
ac
42
(3.25)
Введем новые переменные
ba ba d c dc
xy
,
.
22 2 2
В новых переменных (3.25) примет вид
()()
badc
Idd
4
11
11
(, )
,
(, ) () ()fx y .
Применяя к каждому интегралу формулу Гаусса, получаем
bd
I f x y dxdy A B
AB определяются по формуле (3.23):
,
ki
и i – корни многочленов Лежандра степеней n и m соответ-
т. е.
k
(, ) ( , )
ac
A
k
()()
badc
2(1 )
k
2
2
nP x
()
1
n
4
2
,
k
B
i
nm
11
ki
2(1 )
2
2
mP
m
ki k i
2
i
,
()
i
1
ственно.
3.7. ВЫЧИСЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛА ПО ПЛОЩАДИ
ПРОИЗВОЛЬНОГО ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКА
,
Вычислим интеграл по площади четырехугольника (рис. 3.3)
Ifxydxdy
S
ABCD
(, )
. (3.26)
Отобразим четырехугольник ABCD на канонический квадрат
рис. 3.4.
Отображение построим таким образом, чтобы '( 1, 1),AA
(1, 1)BB
, (1, 1)CC
(, )C,
33
, ( 1, 1)DD
(, )D.
44
,
43
(, )A
11
,
(, ),B
22
),(33yxC
A
D
B
x
x
f
x
J
),(44yxD
1
C
),(11yxA
),(22yxB
Рис. 3.3 Рис. 3.4
–1
–1
Это можно сделать с помощью преобразования
44
(, ) , (, )
xN y yN
rr rr
11
rr
, (3.27)
где
1
N
,
y – координаты узлов прямоугольника ABCD; ,
rr
(1 )(1 ),
rrr
4
rr
– координа-
ты узлов канонического квадрата.
В интеграле I (3.26), перейдя к новым координатам, получаем
IfxyJdd
S
ABCD
11
11
((,),(,))
(, ), (, ) .
xy Jdd
(3.28)
1
Здесь учитывалось, что
dS dxdy J d d
, где J – матрица Якоби
x
J
– ее определитель – якобиан.
а
44
, (3.29)
yy
Вычислим элементы якобиана:
x
j
x
x
j
44
NN
xx
yy
NN
rr r r
rr
xx
rr
11
44
yy
rr
11
44
,,
rr
NN
rr
,,
rr
(1 ) , (1 ).
rr
После подстановки (3.30) в (3.29) получим
(3.30)
(1)(1)()()()()
(1)(1)()()()()
1
J
16
(1 )(1 ) ( ) ( ) ( )( )
xxyy yyxx
2141 2141
xxyy yyxx
343 2 3432
.
yyxx xxyy
3221 3221
(1 )(1 ) ( )( ) ( )( )
Учитывая, что площадь треугольника с вершинами
(, )
(, ),
y
j
y
kk
равна
xxy y yyxx
3441 3441
(, ),
y
ii
1
xy
ii
Sxy
1
(3.31)
ijk
2
xy
kk
1,
j
1
равенство (3.31) можно представить в виде
(1 )(1 ) 2 (1 )(1 ) 2
1
J
16
(1 )(1 ) 2 (1 ) (1 ) 2
Необходимо учитывать, что знак
SS
124 234
SS
123 134
S
будет положительным при
ijk
.
обходе узлов ijk против часовой стрелки. В противном случае
знак будет отрицательным.
45
После нахождения якобиана вычисляем интеграл (3.28):
M
11
IfxyJdd AB
((,)(, )) ( , )
11
nm
ij
11
ij i j
,
где
(,) ((,)(,))(,)
Ф fx y J
,
ij ij ij ij
,
– корни многочленов Лежандра степеней n и m соответственно;
ij
2
2(1 )
AB
ij
nP mP
i
22
22
nm
,
() ( )
ij
11
2
2(1 )
j
.
3.8. МЕТОД МОНТЕ-КАРЛО
Во многих задачах исходные данные носят случайный характер,
поэтому для их решения применяется статистико-вероятностный подход. Одним из методов, реализующих этот подход, является метод статистических испытаний – метод Монте-Карло. Этот метод применим
при решении ряда задач вычислительной математики, в том числе для
вычисления интегралов. В основе оценки искомого интеграла
лежит
известное соотношение, основанное на теореме о среднем:
где
y – значение подынтегральной функции в некоторой «средней»
ср
,Iy (3.32)
ср
точке области интегрирования; – (многомерный) объем области интегрирования. При этом предполагается, что подынтегральная функция f
непрерывна в области интегрирования. Выберем в этой области N случайных точек
. Тогда при достаточно большом N приближенно
i
можно считать:
N
1
yfM
ср
N
1
i
().
i
46
Точность оценки значения интеграла (3.32) определяется величи-
x
N
f
x
s
N
s
1/ 2
()ON
и не зависит от кратности интеграла. Поэтому этот ме-
ной
тод эффективен при вычислении интегралов высокой кратности.
В случае вычисления одномерного интеграла
b
Ifxdx
a
(3.33)
()
равенство (3.32) примет вид
N
ba
(1,,)
где
i
iN
Ifx
N
N
– случайные точки, лежащие в интервале [, ]ab ,
i
1
(),
i
II .
Можно предложить другой путь к вычислению интеграла (3.33),
проиллюстрировав его следующим примером. Положим, что кривая,
описываемая функцией ()
высотой H и длиной
x , полностью заключена в прямоугольник
. Сгенерируем N пар случайных чисел, рав-
ba
номерно распределенных в данном прямоугольнике:
ax b y H
Тогда доля точек с координатами
()
yfx , является оценкой отношения интеграла (3.33) (площади
ii
, 0 .
ii
(),,
y
удовлетворяющих условию
ii
криволинейной трапеции) к площади рассматриваемого прямоугольника. Следовательно, оценка интеграла может быть получена из соотношения
IA
n – число точек, лежащих под кривой ()fx и удовлетворяющих
где
условию ();
yfx N – общее количество сгенерированных точек;
ii
n
N
,
A – площадь прямоугольника.
47
j
xbx
xb
4. ЧИСЛЕННЫЕ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ
ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
(СЛАУ)
4.1. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ
Приведем предварительно некоторые понятия линейной алгебры,
используемые при численном решении систем линейных алгебраических уравнений.
Система линейных алгебраических уравнений в матричном виде
имеет вид
где
... ...
aaa
11 1 1
... ...
aaa
1
iijin
A
... ... ... ... ...
... ... ...
aa
1
nnn
n
– квадратная матрица,
Ax b, (4.1)
11
22
xb
,
... ...
b
–
nn
векторы.
Матрица называется невырожденной, если определитель не равен
нулю.
Минором матрицы A к элементу
a называется определитель этой
ij
матрицы, полученный вычеркиванием i-й строки и j-го столбца, а
алгебраическое дополнение к элементу
48
a – минор этого элемента,
ij
умноженный на (1)
B
B
D
D
D
D
j
B
ij
. Произведение матриц некоммутативно, т. е.
AB BA . Если матрица невырожденная, т. е. определитель не равен
нулю, то всегда существует обратная матрица
11
AA A A E
; E – единичная матрица. Матрицы называются ор-
TT
тогональными, если для них справедливо
BBBE
A
.
1
такая, что
Правила вычисления обратной матрицы:
A
1
n
...
DD
A
2
n
...
DD
, (4.2)
...
DD
A – алгебраическое дополнение
i
где
A – определитель матрицы;
к элементу
Определение.
a .
ij
AA
11 21
AA
12 22
1
A
... ... ... ...
AA A
12
nn nn
называется нижней треугольной матрицей, C –
верхней треугольной матрицей:
0 ... 0
B
11
BBB
21 22
BB
nnn
1
... 0
... ...
,
CC C
11 12 1
0 ...
CCC
0 ... ...
...
22 2
C
n
. (4.3)
n
nn
Теорема. Если A – невырожденная матрица, такая, у которой все
определители, лежащие на главной диагонали, не равны нулю, то существует единственное представление этой матрицы в виде произведения нижней и верхней треугольных матриц:
ABC
Квадратичная форма – это функция от
, при этом 1
B
. (4.4)
ii
n
переменных, состоящая
из квадратов этих переменных и их попарных произведений:
49
( , ..., ) ... ...
X
x
X
X
X
X
F x x a x a xx a xx a xx a x
111121211211222
nnn
22
12
axx axx ax
22 11
nnn n nnn
При этом считается, что
aa, и каждой квадратичной форме мож-
ij ji
но поставить в соответствие матрицу
... .
AA .
2
T
Квадратичная форма называется положительно определенной, если
( , , ..., ) 0
Fx x x при любых значениях переменных и равна нулю
12
только в том случае, если
n
xx x
12
... 0
.
n
Необходимое и достаточное условие положительности квадратичной формы заключается в выполнении одного из двух условий:
1) выполнение критерия Сильвестра, т. е. все определители, стоя-
щие на главной диагонали, должны быть больше нуля;
2) все собственные числа матрицы A положительны.
Последовательности векторов и матриц. Полагаем, что
()
k
() () ()
( , , ..., ), , ,..., , 1, 2, ...,
xx x X x x x k n – n-мерные век-
12
nn
торы. Тогда если существует предел
последовательность векторов
()
lim
k
k
.
X
Пусть матрица A состоит из элементов
().k
элементов
a Тогда если выполняется условие ()lim
ij
следовательность матриц
Норма вектора. Будем говорить, что вектору
kk k
12
()k
A сходится к матрице A и
()
k
lim
i
k
()k
сходится к вектору ,X т. е.
a , а матрица
ij
k
x
, то говорят, что
i
()k
A – из
k
aa
ij
lim
k
, то по-
ij
()
k
AA
соответствует
.
число, называемое нормой
1)
2)
0X ;
,XXR ;
, если выполняются условия:
50
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]