Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Введение в численные методы. Учебное пособие-1
.pdf
3)
X
X
X
X
X
YXY .
Норму вектора можно ввести различными способами. Наиболее
распространенные нормы векторов, удовлетворяющие условиям 1–3,
имеют вид
max
X – кубическая норма, 1 i n;
I
II
III
i
n
X
i
– октаэдрическая норма;
i
1
22 2
xx x – сферическая норма.
12
...
n
Норма матрицы. Будем говорить, что норма матрицы A , согласо-
ванная с нормой вектора
,
является числом A и определяется не-
равенством
AX A X . (4.5)
0X
Из (4.5) следует, что для любого
имеет место
AX
max
AX . (4.6)
Каждой норме вектора соответствует своя норма матрицы, которая
определяется как
n
max
Aa
II
Aa
I
i
1
jn
1,
n
max
1
j
1,
in
Aa
III
51
ij
ij
n
ij
,1
, 1 i n,
, 1 i n,
2
.
,
ij
4.2. ЧИСЛО ОБУСЛОВЛЕННОСТИ МАТРИЦЫ
X
X
X
X
Рассмотрим систему линейных алгебраических уравнений
Предположим, что вектор правых частей
грешностью
,b тогда b повлечет погрешность точного решения
AX b. (4.7)
b определен с некоторой по-
и в результате вместо уравнения (4.7) будет:
()AX X b b
AX A X b b A X b
Если решить уравнение (4.9) относительно
1
Ab
. Приравниваем нормы правой и левой части этого равен-
. (4.8)
. (4.9)
, то получим
ства и, используя неравенство (4.5), получим
11
Ab A b
. (4.10)
Эту же операцию произведем с равенством (4.7):
bAX AX. (4.11)
После перемножения левых и правых частей (4.10) и (4.11)
получим
1
Xb A A bX
XX
bb
/
AA A
1
(),
(4.12)
/
здесь ()A – число обусловленности матрицы.
52
В (4.12)
XX
X
Xb
X
XX
X
X
B
B
B
bb
– относительная погрешность исходных данных в
системе уравнений (4.7);
– относительная погрешность решения
этой системы уравнений, вызванная погрешностью исходных данных.
Связь между этими величинами зависит от числа обусловленности ():
a
b
A
()
. (4.13)
Чем меньше ()
ношению к погрешности правых частей. При малых ()
A , тем решение системы более устойчиво по от-
A
говорят, что
матрица хорошо обусловлена.
в (4.7) определены с неко-
A
A
торыми погрешностями
решения
. Система (4.7) в этом случае примет вид
Разрешим (4.14) относительно
Здесь учли, что
() ()
XAAb X AA Ab
Ab
. Используем тождество
, которые повлекут за собой погрешность
()( )AAX X b
. (4.14)
()
:
111
1
111 1
AAABB
.
. (4.15)
()
Полагаем в нем
11
()
AA
,
XA A A AA Ab
11
()()
AA
. Тогда из (4.15) следует
111
AAAAbAAXX
()( ) ( ).
53
Приравнивая нормы левых и правых частей в последнем равенстве,
X
X
получаем:
11
()XAAXXAAXX
1
(4.16)
,AAXX
здесь использовано свойство
Из (4.16) следует
AB A B .
1
AAA
XX
, откуда
A
X
XX
()
A
A
, (4.17)
A
A
где
– относительная погрешность исходных данных;
A
относительная погрешность решения; ( )
A
– число обусловленности.
X
–
X
Число обусловленности при решении системы уравнений – более
важная величина, чем величина определителя. В разделе 1 приведена
система уравнений (1.1) с плохо обусловленной матрицей, повлекшей
за собой большие погрешности решения системы при малых погрешностях правых частей. Это связано с очень большим числом обуслов-
ленности матрицы, порядка
10
4
.
4.3. КЛАССИФИКАЦИЯ МЕТОДОВ РЕШЕНИЙ СЛАУ
Методы численных решений СЛАУ можно разделить на два типа:
1)
прямые методы;
2)
итерационные методы.
Прямые методы позволяют получить решения в результате заранее
известного количества арифметических операций. Итерационные
54
методы заключаются в построении сходящегося процесса в зависимо-
D
D
сти от требуемой точности решения.
Метод Крамера. Простейшим прямым методом является метод
Крамера, проиллюстрированный ниже на примере системы двух уравнений:
aa x b
11 12 1 1
aa x b
21 22 2 2
.
12
xx
12
,
D
,
D
Для решения системы
aa ba ab
11 12 1 12 11 1
DDD
aa ba ab
21 22 2 22 21 2
,,
12
n уравнений необходимо вычислить (1)n
.
определитель по правилу
nn n
Daaaa
12
11 1
n
В каждом слагаемом выполняется (1)
Слагаемых всего !
!( 1)
nn . Количество арифметических операций при вычислении од-
n , следовательно, всего операций умножения будет
(1)
k
12 3
123
,
k .
n
n
n
12
операция умножения.
...
n
ного определителя:
!( 1) !1 ! ! !1 !
nn n nn n n nn
.
Большое количество арифметических операций в методе Крамера
затрудняет его применение даже при решении систем линейных алгебраических уравнений небольшого порядка.
4.4. МЕТОД ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ ИСКЛЮЧЕНИЙ
(МЕТОД ГАУССА)
Пусть дана СЛАУ AX f или
n
ax f
ij j i
1
j
, 1, .in (4.18)
55
Перепишем систему (4.18) в виде
fa
f
xbx bx
baaj n ,
где
1111
jj
/, 2,,
1122 1 1nn
Умножим (4.19) на
in :
2, ,
()
a
1
i
xbx bx
1122 1 1
n
2
j
(1) (1)
aaab f f a
где
1
j
11 1 1
ij i j i i
,
i
, (4.19)
n
ax f i n
j
1
ij j i
и сложим каждое из уравнений (4.20) для
...
, (4.21)
(1)
ax f i n
j
ij
Система уравнений (4.22) – это система
(1) (1) (1) (1)
ax ax ax f
23
22 23 2 2
....................................................
(1) (1) (1) (1)
ax ax ax f
23
nn
23
/,
,2,
(1)
,2,
. (4.20)
nn
. (4.22)
.
1n
-го порядка
... ,
... .
n
n
nn n n
Разделим первое уравнение на
xbx bx
2
j
(1) (1)
/, 3
222
j
где
baa j n ,
2233 2 2
Уравнение (4.23) умножим на
n
нениями
(1) (1)
ax f i n
j
ij i
3
j
,3,,
(1)
a , получим
22
...
, (4.23)
2
nn
(1) (1)
/
a .
222
(1)
a и результат сложим с урав-
i
2
.
56
В результате система уравнений (4.18) примет вид
f
B
xbx bx
1122 1 1
xbx b
2233 2 2
n
(2) (2)
ax f i n
ij i
j
3
... ,
nn
... ,
j
,3,,,
где
(2) (1) (1)
aaab
ij ij
(2) (1) (1)
fa
ii
Через (1)
n шаг мы получим
(1) (1) (1) (1)
nn nn
axf xf a
nnnn nn nn n
.
В итоге приходим к системе уравнений:
xbx bx
112211
xbx b
2233 2 2
... ,
... ,
.........................................
x
.
nn
n
i
2
2
nn
n
,
ij
.
i
2
/
(4.24)
В матричном виде эта система будет иметь следующий вид:
BX ,
где
– верхняя треугольная матрица,
1 ...
bb
12 1
0 1 ...
B
... ... ... ...
0 0 ... 1
57
n
b
2
n
.
Построение матрицы B – прямой ход решения. Обратный ход ре-
X
X
X
X
B
шения заключается в последовательном определении неизвестных из
уравнений (4.24).
В результате обратного хода получается решение СЛАУ:
n
xx xbin
,,1,,1.
nnii jij
ji
1
Метод Гаусса считается самым экономным относительно количества арифметических операций и используется при решении систем
линейных алгебраических уравнений с матрицами общего вида.
При решении исходной системы уравнений
AX f возникают по-
грешности округления, и в результате точного решения получаем приближенное
. Близость приближенного решения
к точному
можно оценить по величине невязки r , которая определяется равенством
*
.AX AX f f r
Между погрешностью решения
*
X и невязкой r существу-
ет связь. Если – малая величина, то и r – малая величина, но обратное в общем случае неверно, т. е. малость невязки r не обязательно
влечет за собой малость погрешности решения. Малая погрешность
решения при малой невязке будет в том случае, если матрица хорошо
обусловлена, т
. е. устойчива к погрешности исходных данных.
4.5. СВЯЗЬ МЕТОДА ГАУССА
С РАЗЛОЖЕНИЕМ МАТРИЦЫ НА МНОЖИТЕЛИ
Требуется решить систему линейных алгебраических уравнений
AX f. (4.25)
Воспользуемся теоремой о разложении любой невырожденной
матрицы на произведение нижней треугольной матрицы
и верхней
треугольной матрицы С:
58
(4.26)
B
B
0 ... 0
b
11
Bbb
bb
... 0
21 22
... ...
1
nnn
;ABC
cc c
,
Ccc
...
11 12 1
0...
22 2
0 ... ...
n
, (4.27)
n
c
nn
b , 0
где 1
b , ( )ji ; 0
ii
ij
c
ij
, ( )ij .
Элементы матрицы A определяются как
n
abc
ij ik kj
1
k
. (4.28)
Равенство (4.28) представим двумя способами:
1
in
abcbc bc
ij ik kj ii ij ik kj
11
kki
1
j
abcbc bc
ij ik kj ij jj ik kj
kkj
11
n
Из (4.29) и (4.30) следует:
j
abc
Построив матрицы
1
i
ca bc
ij ij ik kj
k
C и
,
1
, исходное уравнение перепишем в виде
b
ij
ij ik kj
k
c
()AX B CX f ,
;
. (4.29)
. (4.30)
1
1
jj
.
(4.31)
zf, (4.32)
CX z
. (4.33)
Решение системы (4.32) соответствует прямому ходу метода Гаусса, а (4.33) – обратному ходу.
59
Алгоритм прямого и обратного хода представлен ниже.
x
x
x
B
x
Прямой ход
11i
zf bz
ii ijj
j
, i = 1, …, n.
Обратный ход
1
ii ijj
c
ii
n
–
zcx
ji
, i = n ,…, 1.
1
Нетрудно заметить, что этот алгоритм аналогичен методу Гаусса.
4.6. МЕТОД ПРОГОНКИ
Метод прогонки, являющийся модификацией метода Гаусса, применим к системе уравнений с трехдиагональной матрицей. Такие системы встречаются при решении ряда инженерных задач, а также при
численном решении краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений.
Общий вид системы уравнений такого типа:
bc x d
ab c x d
00
0 ... ... ...
0 0 ...
0 ... 0
11 1 1
22 2 2 2
ab c x d
33 3 3 3
... 0
abc
111
nnn
ab x d
nn n n
. (4.34)
Метод состоит из двух этапов – прямой и обратной прогонки.
В ходе прямой прогонки каждое неизвестное
с помощью прогоночных коэффициентов
выражается через
i
A и
:
i
i
1i
Ax B i n
iii i
, 1, ..., 1
. (4.35)
1
60
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]