Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Введение в численные методы. Учебное пособие-1
.pdf
m
f
f
x
f
f
Pt a t b t
mkk
ll
11
a tf t dt b tf t dt k m
kk
ll ll
kk
cos ( ) , sin ( ) , 0, 1, ..., .
ll
2
1
k
a
0
() cos sin
kk
ll
2.8. СРЕДНЕКВАДРАТИЧНАЯ АППРОКСИМАЦИЯ
НА ДИСКРЕТНОМ МНОЖЕСТВЕ ТОЧЕК
Рассмотрим случай, когда функция задана таблично:
() , 0,
xfin. (2.46)
ii
,
Требуется найти такой обобщенный многочлен ()
() ... ()
cx c x , чтобы при фиксированном m коэффициен-
00
c
ты
обеспечивали минимальное среднеквадратичное отклонение
i
(, )
P на дискретном множестве заданных точек ,
m
mm
определяемое
i
Px
m
как
n
(, () ( ( )) .
fP x f P x
mimi
0
i
1/ 2
2
(2.47)
Эти коэффициенты определятся из условия
(, )() (
cc
kk
2
PfxPx
mimi
i
n
.
0
Отсюда следует
n
(() () 0, , .)0,
xPx k m
i
0
(2.48)
imik
x
Равенства (2.48) образуют систему линейных алгебраических урав-
нений
31
nn n
x
x
cc c
0 0() () 1 1() () () ()
xkx xkx n nxkx
ii ii ii
ii i
00 0
n
f
, k = 0, …, m. (2.49)
ikx
()
i
0
i
Если аппроксимирующий многочлен является степенным
1
,
,
то для нахождения коэффициентов аппроксимирую-
m
m
...
1,
0
щего многочлена система уравнений (2.49) примет вид
nn n n
kk kmk
cxcx cx fx
01
ii i i
00 0 0
ii i i
1
...,
ni
0, , .km
(2.50)
Следует отметить, что при аппроксимации функции, заданной на
непрерывном множестве точек, степень
аппроксимирующего сте-
m
пенного многочлена может быть любой. При аппроксимации функции,
заданной на дискретном множестве точек, степень многочлена должна
удовлетворять условию .mn
ной многочлен становится интерполяционным, а при
При mn аппроксимирующий степен-
mn
система
(2.50) имеет неединственное решение.
32
x
3. ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ
При решении практических задач, связанных с вычислением определенных интегралов, в большинстве случаев вычислить точно интеграл
не представляется возможным. В этом разделе рассматриваются некоторые способы приближенного вычисления определенных интегралов.
Задача численного интегрирования заключается в замене (аппроксимации) интеграла более простой формулой.
3.1. ФОРМУЛЫ ПРЯМОУГОЛЬНИКОВ И ТРАПЕЦИЙ
b
Определенный интеграл
Ifxdx
a
сумму определенных интегралов на элементарных отрезках
x
i
где
Ifxdx
i
()
x
i
1
.
Вычислим приближенно интеграл
ный площади криволинейной трапеции. Пола-
гая
i
, из геометрических сообра-
2
x
1
ii
*
x
жений (рис. 3.1) видим, что площадь криволинейной трапеции можно
приближенно представить как площадь прямоугольника (3.1) или трапеции (3.2):
можно рассматривать как
()
,iI
рав-
Рис. 3.1
n
II
i
i
1
,
33
IfxhR (3.1)
f
x
iiii
fx fx
IhT
iii
*
() ( )
ii
2
;
1
.
(3.2)
При этом интеграл по всей области интегрирования будет иметь вид
IRR
, (3.3)
i
или
n
При max
hh и 0h
i
ITT
IR
IT
. (3.4)
i
i
1
lim ,
0
h
lim .
0
h
Возникает вопрос о скорости сходимости каждого из этих представлений к точному значению интеграла.
Разложим ()
x в ряд Тейлора в окрестности *:
**
fx xx
() ( )
fx fx
**2 (5)**5
()( ) ()( )
fx xx f x xx
ii ii
(3.5)
*
i
()( )
ii
1!
i
...
2! 5!
Вычислим интеграл вида
x
i
Sxxdxp
pi
(), 0,1,...
x
i
1
p
*
Получим
1
p
h
P
(1)2
S
p
0, нечетное.
34
p
, четное,
p
p
(3.6)
Проинтегрировав левые и правые части выражения (3.5), получим
f
xx
x
f
f
x
i
( ) ...
fxdx f x h
x
i
1
*
ii
fxh f xh
35
ii
IV
ii
(3.7)
24 1920
Из (3.7) следует, что интеграл .
IR Следовательно, главная
ii
часть погрешности в формуле прямоугольников (3.1) равна
и
В равенстве (3.5) положим
fx f x
()
ii
i
**2
fxh f xh
*
ii i i
224
*3 IV*4
fxh f xh
ii ii
; (3.8)
x , тогда
1i
...
48 384
**2
fxh f xh
fx f x
()
1
ii
*
*3 IV*4
fxh f xh
ii ii
ii i i
224
(3.9)
...
48 384
Из (3.8) и (3.9) следует
*2 IV*4
fx fx
() ( )
*
fx
i
ii
. (3.10)
28384
fxh f xh
1
ii ii
Подставив (3.10) в (3.7) получим
35
*IV*
xh f xh
fx fx
x
i
fxdx h
()
x
i
1
() ( )
ii
1
2 12 480
ii
i
ii
*
xh
i
24
...
. (3.11)
3
i
.
Первое слагаемое в правой части (3.11) совпадает с формулой
трапеций (3.2). Следовательно,
IT с главной частью погрешности,
ii
равной
1
12
3
*
xh
().
i
i
35
(3.12)
Таким образом, при одинаковом порядке погрешностей формул
E
прямоугольников и трапеций формула прямоугольников для гладких
функций примерно в два раза точнее. Если количество шагов на [, ]ab
увеличить за счет уменьшения каждого отрезка
[, ]
xxв два раза, то
1
ii
главная часть погрешности в формулах трапеции и прямоугольника
уменьшится в восемь раз, но общее количество отрезков удвоится и
погрешность на всем отрезке уменьшится примерно в четыре раза.
3.2. ФОРМУЛА СИМПСОНА
Введем обозначения:
nn
11
24 1920
fxh F f xh
ii
11
35
*IV*
,
ii
ii
. (3.13)
Тогда, используя (3.7), (3.11) и (3.13), получим:
n
IIREF
(3.14)
i
i
1
(3.15)
24...IT E F
...;
Из (3.14) и (3.15) следует
221
IRFT
333
...
(3.16)
Получили формулу приближенного вычисления интеграла в виде
nn
21 21
I fxh h f xh
ii
11
*IV*
ii i i
3 3 2 3 1920
()()
fx fx
ii
1
5
,
...
i
или
11
IS RT fx fx fx h
(2 ) ( ) 4 ( )
36
i
n
iiii
1
1
36
*
. (3.17)
Выражение (3.17) – формула Симпсона, или формула парабол с
f
x
x
x
x
x
x
x
p
n
главной частью погрешности
21
3 1920
i
1
IV *
5
xh
.
i
i
Введем новую нумерацию узловых точек (рис. 3.2). Формула
Симпсона примет вид
**
*
1
*
()4(() ()...
fx fx fx
013
( )) 2( ( ) ( ) ...
fx fx fx
n
21 2 4
,
())()
fx fx
nn
22 2
где
()4 () ()4 ()...
fx f x fx fx f x fx
011122
h
S
6
()4 ()
fx f x fx
nnn
h
3
*
2hh .
2
1
3
Рис. 3.2
12 n
nx2
x
*
x
x
n
1n
n
0
1
*
x
0
1
Главная часть погрешности в новых обозначениях будет
1
90
5*
IV
hf x
()
i
.
3.3. КВАДРАТУРНЫЕ ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЕ ФОРМУЛЫ
Приближенное равенство вида
b
() () ( ) ( ) ... ( )
I pxfxdx Afx Afx Afx
a
11 2 2
nn
(3.18)
называется квадратурной формулой. Пределы интегрирования могут
быть конечными или бесконечными, ( )
37
x характеризует особенность
подынтегральных функций, ( )fx – гладкая функция. Если пределы
p
x
x
x
f
x
f
x
f
x
x
f
бесконечны, то ()
подынтегральной функции при
входит 2n параметров: n узлов
этим возникает задача нахождения таких узлов
x характеризует скорость стремления к нулю
.
В квадратурную формулу (3.18)
и n коэффициентов
k
и коэффициентовkA
к
A
. В связи с
k
, при которых формула (3.18) будет точной для алгебраических многочленов максимальной степени.
Представим функцию ()
Лагранжа степени (1)n
( )...( ) ( )...( )
()
Lxf f
11
nn
xx xx xx xx
( )...( ) ( )...( )
xx xx xx xx
12 1 1 1
x в виде интерполяционного многочлена
с узлами интерполирования
211
nn
nnnn
,xx
, …,
12
:
n
n
где
() ( ) ( )
xx xx .
1
Если вместо ()
то найдем коэффициенты :
bb
() ()
IpxLdx px f A
aa
i
1
n
x подставить в (3.18) многочлен Лагранжа (3.19),
A
k
n
nkk
1
k
1
b
() .
px
a
()
x
()()
xx x
ii
()()
xx x
()
xdx
xx
()()
kk
,
(3.19)
i
()
xdx
kk
(3.20)
Квадратурная формула (3.18) называется интерполяционной, если
коэффициентыkA определяются равенством (3.20).
Относительно интерполяционных квадратурных формул справедливы следующие утверждения:
1) при произвольном распределении узлов
на отрезке [, ]ab ин-
k
терполяционная формула с коэффициентами (3.20) является точной
для всех многочленов степени меньше n . Это значит, что если ()
x –
38
многочлен степени меньше n, то приближенное равенство (3.18) пере-
x
p
x
x
x
ходит в точное;
2) для того чтобы квадратурная формула (3.18) была точной для
всех многочленов степени меньше 2,n необходимо и достаточно вы-
полнение условий, при которых коэффициенты
формулами (3.20), а многочлен ()
вой функцией ()
x любому многочлену ()Qx степени
b
() ()() 0
pxQ x xdx
a
был ортогонален на [, ]ab с весо-
m
A определялись бы
k
mn
, т. е.
. (3.21)
В этом случае формула (3.18) называется квадратурной формулой
наивысшей алгебраической степени точности.
Выполнение условия (3.21) возможно за счет выбора корней
, , ...,
xx многочлена ()
12
многочлена ()
n
обладающего свойством (3.21).
и сводится к проблеме существования
3.4. ФОРМУЛА ГАУССА
Применим формулу наивысшей алгебраической степени точности к
1
вычислению интеграла
1
() 1.px В этом случае узлы ин-
() ,Ifxdx
терполирования надо выбрать так, чтобы
1
() () 0
Qx xdx
m
1
.
На отрезке [–1, 1] ортогональными многочленами с весовой функцией, равной единице, являются многочлены Лежандра. Эти многочлены имеют вид
n
1
d
2
() ( 1)
Px x
. (3.22)
n
nn
2!
ndx
39
n
Следовательно, узлы интерполирования следует выбирать в корнях
x
R
многочлена Лежандра () 0
Px, 1, 2, , .in
ni
1
IfxdxAfx Afx
( ) ( ) ... ( )
1
11
Тогда
nn
.
Коэффициенты
A определяются из равенства (3.20) и после ряда
k
преобразований с использованием свойств многочленов Лежандра
принимают вид
2
n
2
x
k
()
k
1
где
2(1 )
A
, (3.23)
k
2
nP x
– корни многочлена Лежандра степени n .
k
Если требуется вычислить интеграл с произвольными конечными
пределами, то, введя в (3.18) следующую замену переменной
ba ba
xt
,
22
получим
1
ba ba
IfxtdtAftAft
22
где по-прежнему
() ( ) ... ( )
1
t – корни многочлена Лежандра степени n, а kA
k
11
nn
,
определяются равенством (3.23).
Если подынтегральная функция достаточно гладкая, то формула
Гаусса обеспечивает высокую точность при небольшом количестве
узлов. Так, при n узлах для погрешности формулы Гаусса
спра-
n
ведлива оценка
2
ba ba
Rfx
n
2.5
n
n
n
3
40
(2 )
max ( )
n
[, ]
ab
.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]