Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Введение в численные методы. Учебное пособие-1
.pdf
следовательно, функции близки и по второй норме. В обратную сторо-
f
x
ну неверно, т. е. если функции близки по второй норме, то они могут
не быть близки по первой норме.
Пусть функции ()
x и ()gx определены на отрезке [0, 1]x
сле-
дующим образом:
()
fx
10sin(1000 ), 0 0.001,
0, 0.001,
() 0gx
и представлены на рис. 1.1.
y
10
0
0.001
0.0005
Рис. 1.1
Тогда расстояние по второй норме будет
0.001
( , ) 10sin(1000 )
fg x dx
1
10sin ( ) 0.05,
0
II
0
11001
2
ydy
1/ 2
1000 1000 2
xx
x
1
2
1/2
х
1/2
а по первой
( , ) 10.fg
I
Линейная независимость и полнота последовательности функций.
Система функций ( ) ( 1, 2, ..., )
зависимой
, если равенство
i
можно только в случае, когда
in
называется линейно не-
() () ... () 0
xx x
воз-
11 2 2
. Необходимым и
12
11
... 0
n
nn
достаточным условием линейной независимости функций
x
x
x
f
x
x
f
g
()
i
явля-
ется неравенство нулю определителя Грама
()( )...( )
11 12 1
()( )...( )
21 22 2
... ... ... ...
()( )...( )
12
nn nn
определяется как
где ()
ik
( ) () ()
ik i k
Последовательность линейно независимых функций
1, ..., ,i
называется полной в классе функций D, если любая функ-
ция ()
линейной комбинацией функции ()
что для любого
постоянных
xD может быть представлена с любой степенью точности
i
можно подобрать такое целое число n и набор
0
, при которых выполнится условие
i
n
() ()
fx x
ii
i
1
n
n
b
a
, где ()
.
0,
.
xdx
D
. Это означает,
i
(),
i
Приближенные решения задач и их точные решения можно рассматривать как элементы некоторого нормированного пространства.
В этом случае погрешность измеряется нормой разности точного и
приближенного решения.
n
Если ()
x – точное решение, а 1() ()
xx
i
– приближенное
ii
решение задачи, то расстояние между этими функциями по первой
норме означает максимальное уклонение между f и g, а по второй норме – среднеквадратичное уклонение.
12
f
x
f
x
f
x
x
2. АППРОКСИМАЦИЯ ФУНКЦИЙ
Постановка задачи. Пусть величина
является функцией аргу-
мента х, при этом возможны два варианта. Первый – значения функции
известны только в дискретных точках
()
xf , второй – значения функции можно определить на непре-
ii
области ее определения
i
рывном множестве точек, но функция имеет сложный для вычисления
вид. Задача заключается в построении приближенной (аппроксимирующей) функции (),
близкой к табличной или непрерывной функции.
При этом мерой близости будет величина расстояния, определенная по
одной из норм, введенных в первом разделе. В качестве аппроксимирующих функций будем рассматривать степенные многочлены.
2.1. МНОГОЧЛЕНЫ ТЕЙЛОРА
() [, ].
xC ab
Пусть
1
n
Функцию ()fx в окрестности точки
0
принадлежащей отрезку [, ]ab, можно представить в виде ряда Тейлора:
'( )( ) ''( )( )
() ( ) ...
fx fx
(1)
n
()
где
Rx x x
– некоторая точка, лежащая между х и
[, ]ab
f
() ( )
(1)!
n
fx xx fx xx
0
fxxx
0
00 00
1! 2!
nn
()( )
n
00
!
n
1
– остаточный член в форме Лагранжа,
(),
Rx
2
.
0
,
13
Многочленом Тейлора степени n называется многочлен
f
x
x
f
x
f
f
x
n
ii
()
()( )
xxx
()
Fx
n
i
0
00
!
i
.
Многочлен Тейлора дает хорошее приближение функции при
близких к
. При этом функция ()fx и все ее производные до поряд-
0
ка n включительно совпадают в этой точке со значениями многочлена
Тейлора и всех его производных:
()
()
k
() ()
xFx .
00
k
n
Остаточный член позволяет определить максимальное значение
погрешности аппроксимирования с использованием первой нормы:
M
1
n
1
n
() () max ()
fx F x Rx t
max , ), max ( ) .(
txabxM fx
где
n
001
(1,)!
n
n
(1)
n
2.2. МНОГОЧЛЕНЫ ЛАГРАНЖА
Полагаем, что известны значения некоторой функции f в различных точках
чим как
Для приближенного восстановления функции
точке можно построить степенной многочлен
(0,1,,)
in. Значения функции в этих точках обозна-
i
().
fx
ii
в произвольной
()
Lx
степени n , удо-
n
влетворяющий условиям:
,
Многочлен ()
Lx f i n
ni i
Lx, удовлетворяющий условиям (2.1), называется
n
, (,)01,,
. (2.1)
интерполяционным. Условия (2.1) называются условиями интерполяции, а точки
– узлами интерполяции.
i
Теорема. Существует единственный интерполяционный многочлен
n
степени
, удовлетворяющий условиям (2.1).
14
Доказательство
x
x
x
x
Существование. Представим многочлен степени n в виде
n
() ,
Lpfx
nnii
i
0
(2.2)
где
( )....( )( )( ) ( )
xx xx xx xx xx
p
ni
( )....( )( )( ) ( )
0111
xxxxxxx xx
0111
iiiiiiiin
iii n
0, 1 .in
При 0i и in равенства (2.3) примут вид
()()()()()
xx xx xx xx xx
p
0
n
( ) .( )( )( ) ( )
p
nn
()()()()( )
xx xx xx xx xx
n ninini nn
1111
xxxxxxx xx
01 0 10 10 1 0
()( )( )( )( )
xx xx xx xx xx
0111 1
0111 1
iii n
iii n
iii n
,
(2.3)
,
.
Очевидно, что числитель в выражении (2.3) для всех
гочленом степени n и при
x
i
1
p
, а при ()
ni
будет мно-
xji
j
0,
p
ni
что свидетельствует о том, что построенный многочлен в форме (2.2)
удовлетворяет условиям интерполяции (2.1) и является интерполяционным. Таким образом, существование интерполяционного многочлена доказано.
()
Единственность. Пусть существует многочлен
Pxстепени ,n
n
удовлетворяющий условиям (2.1):
()
Px f
00
n
.................
()
Px f
nn n
. (2.4)
Запишем выражение
~
() () ()
Lx Lx Px. (2.5)
n
nn
15
Разностью двух многочленов n-й степени является многочлен степе-
x
f
f
f
R
R
ни n .
Так как
Lx и ()
n
Px удовлетворяют условиям интерполяции
n
()
(2.1) и (2.4), то
~
( ) 0 ( 0,..... )
Lx i n .
n
i
n
Получили, что многочлен степени меньшей или равной
в нуль в (1)n точке, т. е. имеет (1)n
корень, чего быть не может.
обращается
Следовательно,
() ()
Px Lx
nn
.
Замечание. Если в узлах
торого многочлена
следует () ()
Lx Qx , так как ()
nk
Q степени kn, то из доказанной теоремы
k
удовлетворяющий условиям (2.1). Так, например, если все
() () 1.
Lx Qx
n
0
Отсюда следует тождество
в качестве
i
Qx – многочлен степени не выше n,
k
берутся значения неко-
i
1,
f
i
n
1.
i
p
ni
0
то
2.3. ПОГРЕШНОСТЬ ИНТЕРПОЛЯЦИИ
Условие интерполяции функции имеет вид (2.1), т. е. в узлах интерполяции погрешности равны нулю. Задача состоит в вычислении
погрешности в точках, не совпадающих с узлами интерполяции. Если
функция ()
x задана таблично и другой информации об этой функции
нет, то невозможно судить о погрешности интерполяции вне узловых
точек.
() [,]
Предположим
()
где
x
n
– погрешность интерполяции.
xC ab
1
n
() () (),
xfxLx
nn
. Введем функцию
(2.6)
16
Представим эту функцию в виде
R
x
x
R
x
xxrx
() () ()
nnn
, (2.7)
где
( ) ( )( )...( )
xx xx xx
. (2.8)
nn
01
В узловых точках ()0
x , следовательно, ( ) 0.
ni
Rx
ni
Построим функцию
() () () () ( )
где
x – произвольная фиксированная точка на отрезке [, ]ab, со-
i
tftLt trx
, (2.9)
nnn
держащем все узлы интерполяции. Эта функция на основании (2.6),
(2.8) и (2.9) обращается в нуль при , 0 ,
мум в
1n точке на [, ],ab
2n точках на [, ].ab По теореме Ролля () 0t
() 0t
тельно, найдется хотя бы одна точка [;],tab
(1)
nt
() 0
. Учитывая, что
(1) (1)
nn
следует
() () ( 1) () 0,
отсюда
fnrx
() .
rx
n
txi n
и ,tx т. е. мини-
i
минимум в
минимум в n точках и т. д. Следова-
в которой
(1) (1)
nn
Ln
0, ( 1)!,() ()
n
(1)
n
()
f
(1)!
n
из (2.9)
И в соответствии с (2.7)
(1)
n
()
f
(1)!
n
(2.10)
где () [; ]
ab – некоторая неизвестная точка, зависящая от x.
() (),
xx
nn
Равенство (2.10) позволяет оценить максимальную погрешность
интерполяции на всем отрезке [, ]:ab
M
1
n
() () max () () max ()
Lx fx Lx fx x
nn n
17
(1)!
n
, (2.11)
где
M
x
x
x
x
(1)
n
max ( ) , [ , ]
.
1
n
fxxab
В (2.11) для оценки погрешности используется первая норма.
2.4. МИНИМИЗАЦИЯ ПОГРЕШНОСТИ
Поставим задачу минимизации погрешности интерполяции (2.11),
( ) ( )( )...( ).
xx xx xx
зависящей от многочлена
можно решить путем выбора узлов интерполяции
ким способом, чтобы величина
Эту задачу
nn
max ( )
01
, 0, , ,
in
i
принимала минимальное
n
та-
значение.
Решим задачу для отрезка [1,1]
() cos arccos()
Tx n x [0, 1],x
n
. Введем многочлен Чебышёва:
(2.12)
() , () .Т xfТ xx
01
Исследуем свойства функции ().
Tx Прежде всего покажем, что ()
n
Tx –
n
действительно многочлен степени n . Воспользуемся соотношением
2cos cos cos( ) cos( ).AB AB AB
Полагая , , arccos ,ABn x получим в соответствии с (2.12)
() 2 () ()
Tx xTxTx
11
nnn
. (2.13)
Приведем некоторые свойства многочленов Чебышёва, используемые при выборе оптимальных узлов интерполирования.
1. Коэффициент при старшей степени
2. Корни многочлена ()
Tx находятся в точках
n
n
равен
a
n
2.
x
k
n
1
cos
(2 1)
k
2
n
0,..., 1kn.
3. Максимальные по модулю значения ()
m
cos
x
m
, 0, ...,mn , где ()(1).
n
Tx
nm
18
Tx принимает в точках
n
m
,
Введем новый многочлен
x
x
x
x
x
x
f
x
()
Tx a a
()
Txx
n
nn
x
n
2
( )( )...( ).
xx xx xx
nn
1
(2.14)
01 1
10
1
aa
...
nn
n
Корни этого многочлена совпадают с корнями многочлена Чебышёва,
максимальные по модулю значения находятся в тех же точках
1
n
max ( ) 2
Tx
nm
равен единице (2.14).
()
Tx
n
и коэффициент при старшей степени многочлена
m
, где
На основании этих свойств может быть доказана следующая
Теорема. Среди всех многочленов степени
при старшей степени многочлен
T
на отрезке [–1,1] имеет наимень-
n
с коэффициентом 1
n
шее отклонение от нуля, или минимальный максимум.
1
n
Ранее было показано (2.11), что
nn
( ) ( )...( ) ...
.
nnn
xx xx x ax a
00
Если узлы интерполирования
max ( ) max ( )
1
,,
xx выбрать в корнях много-
01
Rx x
nn
n
M
(1)!
, где
n
члена Чебышёва степени (n + 1), равных
(2 1)
k
cos , 0, ..., ,
k
то
() (),
и в соответствии с приведенной выше теоремой
будет иметь наименьшее отклонение от нуля, которое равно
()
n
max ( ) 2 .
грешности
Tx
nn
Tx
n
1
1
max ( ) 2
n
Rx
Таким образом получили оценку максимальной по-
M
n
n
(1)!
n
2( 1)
n
1
n
kn
при оптимальном выборе узлов
интерполирования.
Полагаем, что ()
Требуется выбрать узлы интерполирования
x определена на произвольном отрезке [, ]ab .
, ,...,
xx на этом
01
19
n
отрезке таким образом, чтобы погрешность интерполирования
R
f
x
x
x
M
1
n
() ()
xx
nn
(1)!
n
принимала минимальное по абсолютной вели-
чине значение.
Введем новую переменную
ba ba
xt
,
[1,1].t В этом
22
ba ba
случае
() ()
xf t Ft
22
и задача сводится к предыду-
щей. Поэтому оптимальные узлы интерполирования следует выбирать
21
k
ba ba
xt
в точках
Поскольку
ba
2
kk
22
()
1
n
( )...( ),
tt tt
в новых переменных примет вид
n
0
,
где
оценка погрешности интерполирования
n
cos
t
k
2( 1)
n
(k = 0, 1,…, n).
()nxt
при оптимальных узлах будет
1
M
n
Rx
() .
n
1
n
(1)!
n
ba
()
21
n
2
Построение единого интерполяционного многочлена высокой степени (глобальная интерполяция), не всегда целесообразно. В отдельных случаях предпочтительнее использовать локальную интерполяцию
с небольшим количеством узлов. Глобальная интерполяция при равноотстоящих узлах не всегда может обеспечить требуемую точность интерполирования даже при большом количестве узлов интерполирова-
ния. Так, например, для функции
() ,
fx
125
определенной на
2
1
отрезке [1,1]x , при увеличении степени интерполяционного мно-
гочлена погрешность интерполирования возрастает для любой фиксированной точки
в области 0.7 1.x Если узлы интерполяции вы-
брать в корнях многочлена Чебышёва, то этого не произойдет.
20
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]