Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Введение в численные методы. Учебное пособие-1
.pdf
2.5. ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЙ МНОГОЧЛЕН НЬЮТОНА
x
f
f
x
f
N
x
x
x
x
N
x
N
Введем понятие конечных разностей. Полагаем, что функция ()fx
задана в узлах
0, 1, , .in
Выражения
вого порядка в точках
. Значения функции в этих узлах –() ,
i
ff
называются конечными разностями пер-
1ii i
.
i
По аналогии с этим определением можно вычислить конечные разности любого порядка:
2
() ( )
ffff
iiii
1
xf
ii
ff fff ff
21 1 2 1
ii iii ii
323
iiiiiii
...............................................................................
kk
fffkf
i i ki ki
(1)
kk
2!
Построим интерполяционный многочлен ()
определенной в равноотстоящих узлах
() ()()()...Nx a a x x a x x x x
() 2,
() 3 3 ,
ffffff
321
(2.15)
1
()
ff
ki i
... ( 1) .
2
k
1
x для функции ()fx ,
,
,…
,
xh
0
1
n
ii
01 0 2 0 1
()( ).
axx xx
(2.16)
nn
01
в виде
1
Этот многочлен должен удовлетворять условиям интерполяции
()
xf. (2.17)
Найдем коэффициенты многочлена
(2.17)
x :
i
()
xfa
000
,
ii
a из условий (2.17), полагая в
i
,
21
f
ff
f
x
Nx f a a x x a ah a
() ( )
1 10110 01 1
() ()()()
Nx faaxx axxxx
22012022021
2
fff f
210 0
a
2
22
22
hh
2
.
10 0
hh
,
В результате получим интерполяционный многочлен Ньютона в виде
ff
() ( ) ( )( ) ...
Nx f x x x x x x
00
00 01
h
n
f
0
()( ).
xx xx
n
!
nh
2
2
2!
h
(2.18)
01
n
Многочлен Ньютона может быть записан в другом виде:
( ) ( ) ( )( ) ...
Nx a a x x a x x x x
01 2 1
nnn
()().
axx xx
(2.19)
nn
1
Из условий интерполяции (2.17) после подстановки их в (2.19)
получим
2
120
afa a a
,,
01 2
nn
nn
h
ff
2
2!
hnh
n
.
n
В этом случае интерполяционный многочлен Ньютона имеет вид
ff
nn
() () ()( )...
Nx f x x x x x x
nn nn
12
h
n
f
0
(2.20)
n
!
nh
2
2
2!
h
()().
xxx
n
1
1
Интерполяционный многочлен (2.18) целесообразно использовать
для вычисления значения функции в точках левой половины рассматриваемого отрезка, а многочлен (2.20) – в правой половине. Многочлен
(2.18) называется интерполяционным многочленом для интерполиро-
22
вания вперед, а (2.20) – интерполяционным многочленом для интерпо-
f
x
x
x
x
x
x
xx
лирования назад.
Многочлен Ньютона отличается от многочлена Лагранжа только
алгоритмом построения и формой записи. При интерполировании
функции по одним и тем же узлам эти многочлены совпадают. Это
следует из теоремы о единственности интерполяционного многочлена.
В отличие от интерполяционного многочлена Лагранжа увеличить
степень интерполяционного многочлена
только одного слагаемого, не пересчитывая все коэффициенты
Ньютона можно добавлением
.
2.6. КУБИЧЕСКИЕ СПЛАЙНЫ
Пусть функция (), [,]
x . Шаг
, ...,
in
xx ab определена в узлах
xh
, i = 1,…, n.
1ii i
,
,
0
1
,
1i
Сплайном называется функция, определенная на отрезке [, ]ab,
удовлетворяющая условиям интерполирования в узлах и имеющая
непрерывные производные до некоторого порядка включительно.
[, ]
На каждом элементе отрезка
xx эта функция является много-
1
ii
членом. Максимальная степень многочлена на всех отрезках называется степенью сплайна, а разность между степенью сплайна и максимальным порядком непрерывной производной называется дефектом
сплайна. Ограничимся рассмотрением только кубического сплайна.
Полагаем, что на каждом отрезке с номером
задан многочлен третьей
степени в виде
() ()()
Sx a b x x c x x
ii i i i
( ) , 1,..., .
dx x i n
(2.21)
ii
11
3
1
2
В равенстве (2.21) содержится 4n неизвестных коэффициентов
abcd, подлежащих определению из дополнительных условий.
,,,
iii i
Положим
x и
1i
Sx f a bh ch dh
, получим 2n уравнений:
i
() , 1...
Sx f a i n
31 1
iii
()
3
i i iiii i
. (2.22)
2
ii
3
. (2.23)
23
Потребуем, чтобы на границе двух соседних отрезков в узлах
x
x
xx
f
x
x
x
x
x
x
первая и вторая производные были бы непрерывны. Запишем выражения для сплайна на двух соседних участках с общим узлом
(1,, 1)in
:
i
i
() ()()(),[,],
Sx a bxx cxx dxx x x x
ii i i i i i i i
() () () (),[,].
Sx a b xx c xx d xx x xx
ii ii i i i ii
11 1 1 1
11 11
23
23
Первые и вторые производные от этих выражений имеют вид:
() 2 ( ) 3 ( ), [ , ];
Sx b cx x dx x x x x
(2.24)
ii i i i ii
() 2 ( ) 3 ( ), [ , ];
Sx b c x x d x x x x x
(2.25)
ii ii i ii
11 1 1
() 2 6 ( ), [ , ];
Sx c dxx x x x
() 2 6 ( ), [ , ]
Sx c d x x x xx
Подставив в (2.24)–(2.27)
111
(2.26)
ii i ii
. (2.27)
11 1
ii i ii
11
и приравняв между собой произ-
i
2
2
водные одного порядка, получим:
23 ,1,,1;
bchdhb i n
iiii i
26 2, 1,,1
cdhc i n
iiii
Условия (2.22), (2.23), (2.28), (2.29) образуют систему
нейных уравнений относительно
2
. (2.29)
1
i
1
(2.28)
42n
коэффициентов , , ,
4n
abcd
iii i
ли-
(1,,).in Недостающие два уравнения определяются из условий
поведения функции ()
x в узлах
.
и
0
Если такая информация от-
n
сутствует, то в качестве дополнительных условий можно принять ра-
и
венство нулю вторых производных сплайна в точках
()0, ()0
Sx Sx
30 3
, (2.30)
n
0
что соответствует минимальной кривизне сплайна в точках
:
n
и
0
n
Из условий (2.30) получаются недостающие два уравнения:
.
0, 3 0.
cchd
1
(2.31)
nnn
24
Запишем полученную систему 4n уравнений:
af
abhch dh f
iiii i i
bchdhb
iiii i
23
3
cdhc
iiii
cd
, 1, , ,in
1ii
2
ii
2
i
, 1, , 1.in
1
0,
.
1
3
, 1, , ,in
, 1, , 1,in (2.32)
1
c
n
n
3
h
n
После ряда преобразований система (2.32) может быть приведена к
виду
ch h hc ch
11 1 11
ii i ii ii
ff f f
ii i i
3 , 2, ...,
2( )
112
hh
ii
1
in
. (2.33)
Система (2.33) в матричной форме:
2( ) 0 0 0
hh h
21 2
2( ) 0 0
hhhh
3234
02()0
hhhh
4455
... ... ... ... ...
0 0 ... 2( )
hhh
nnn
11
c
2
c
3
c
4
...
c
n
hh
3
ff
nn
hh
nn
0
1
21
...
...
. (2.34)
...
12
1
f
f
Матрица в (2.34) является трехдиагональной, поэтому полученную
систему уравнений целесообразно решать методом прогонки. После
25
нахождения коэффициентов
f
p
f
p
x
p
x
f
определятся равенствами
c
из (2.34) остальные коэффициенты
i
af i n
ii
cc
1
ii
dinc
in
3
h
i
1
bfachdh
iiiii
h
i
, 1, ...,
,
1
,1,...,, 0
, (2.35)
2
ii
1
3
.
2.7. СРЕДНЕКВАДРАТИЧНАЯ АППРОКСИМАЦИЯ
НА НЕПРЕРЫВНОМ МНОЖЕСТВЕ ТОЧЕК
Будем считать, что () [, ].
()
x , близкую к ()fx в целом и не копирующую случайные отклоне-
f(x)
y
p(x)
x
xCab
ния функции ()
близость функции ()
Требуется построить функцию
x (см. рисунок). В этом случае
x к ()fx характеризу-
ется величиной среднеквадратичного отклонения, которое определяется с использованием
второй нормы
(, ) () ()
fp f p fx px dx
b
a
1/2
2
. (2.36)
Пусть существует последовательность линейно независимых
функций {()}, [,]
i
xab. Аппроксимирующую функцию предста-
вим в виде
() () () ... ()
xc xc x c x
mmm
Формула (2.37) – обобщенный многочлен по системе функций (),
0, , .im
Задача заключается в нахождении таких коэффициентов
при заданном m расстояние (2.36) между
. (2.37)
00 11
i
c , чтобы
i
и p было минимальным.
Эта задача решается минимизацией выражения (2.36).
26
Результат решения задачи не изменится, если будем минимизиро-
f
f
вать выражение
2
(, ) () ()
Sfp fxpxdx
b
mm
a
2
.
Будем искать
c из условия минимума функции
k
Sc
. (2.38)
0
k
( , , ..., )
Sc c c
01
m
Получим
S
cc
kk
2 ( ) ... ( ) 0.
b
() () ... ()
xc x c xdx
a
b
fx c c x dx
a
00
00
mm k
mm
2
Отсюда
bb b
cdxcdxc dx
00 11
kkmmk
aa a
b
() () , 0, .
xxdxkm
a
k
...
(2.39)
Формула (2.39) – система линейных алгебраических уравнений относительно
c
.
k
В матричной форме эта система имеет вид
(,)(,)...(,) (,)
00 10 0 0 0
(,)(,)...(,) (,)
01 11 1 1 1
... ... ... ... ... ...
(,)(,)...(,) (,)
01
mmmmm m
n
m
27
cf
cf
cf
. (2.40)
Из решения системы (2.40) находим коэффициенты
p
x
x
c
, которые
k
обеспечивают минимальное среднеквадратичное отклонение аппроксимирующей функции ()
x от ()fx при фиксированном
m
m
. Опре-
делитель матрицы системы (2.40) – определитель Грама. По условию
{}
– линейно независимая последовательность функций, следова-
i
тельно, этот определитель не равен нулю и система (2.40) имеет единственное решение. Пример линейно независимых функций: ,
kx cos( ),kx ()
sin( ),
Tx – многочлены Чебышёва.
k
k
Если последовательность функций является ортогональной, то все
недиагональные элементы в матрице системы (2.40) равны нулю.
(, )
f
В этом случае
с , 0, , .
k
Примером ортогональных функций на отрезке
тригонометрические функции sin( )
k
(, )
kk
km
0,2
kx и cos( ),kx для которых спра-
являются
ведливы условия ортогональности:
0, ,
ik
2
cos ( ) cos( ) 2 , 0,
xi kx dx i k
0
2
sin ( )sin( )
0
ix kx
,0,
ik
0, ,
ik
,0,
ik
2
sin ( )cos( ) 0.ix kx
0
Многочлены Чебышёва ортогональны на отрезке [1,1]
функцией
1
:
2
1
0, ,
km
1
() ()
TxTx
mk
1
x
1
dx k m
2
28
/2, 0,
,0.
km
с весовой
(2.41)
Аппроксимирующий обобщенный многочлен
x
f
x
f
x
x
x
ставить на отрезке
Px cTx cT x cT x .
mmm
() () () ()
в виде
1,1
01
01
()
Px
можно пред-
m
Коэффициенты
c
определяются из условия
k
d
d
с
fP
(, ) 0,
k
m
где
b
(, ) () ()
fP P x fx
mm
a
dx
2
1
.
2
С учетом равенства (2.41) получим
1
xdx
1
c
0
1
1
c
,
2
1
() ()
1
xT xdx
k
2
1
x
1, 2, , .km
,
2
k
Аппроксимация с помощью степенных многочленов. Пусть ()fx
[, ]
Ca b и
1, ,
01
Px c cx cx (2.42)
mm
и система уравнений (2.40) для определения
bb b b
1...
dx xdx x dx fdx
aa a a
bb b b
dx x dx x dx fxdx
aa a a
... ... ... ... ...
bb b b
mm m m
dx x dx x dx fx dx
aa a a
m
x . Тогда
m
( ) ...
01
c , …, mc примет вид
0
m
c
0
21
12
...
...
m
...
...
c
m
m
. (2.43)
29
Аппроксимация тригонометрическими многочленами. Рассмотрим
f
x
случай, когда аппроксимируемая функция является периодической.
Пусть () ( 2)fx fx – периодическая функция с периодом 2.
Для
аппроксимации периодических функций целесообразно использовать
тригонометрические многочлены вида
m
() [ cos sin ]
Px a kxb kx
. (2.44)
mkk
Из теории рядов Фурье известно, что коэффициенты
k
0
,
ab
опре-
kk
деляются из условия наилучшего среднеквадратичного приближения
непрерывной периодической функции с периодом 2
многочле-
ном (2.44). Это условие заключается в минимизации функции от коэф-
,:
фициентов
ab
kk
2
(, ) () ()
fP fx P x dx
mm
0
1/2
2
.
В результате коэффициенты ,
ab
kk
ab найдутся из уравнений
kk
(, ) 0, (, ).
PfP
mm
Используя условия ортогональности тригонометрических функций,
получаем
22
11
afxdxafxkxdx
0
2
() , ()cos( ) ,
00
1
bfxkxdx
k
k
2
()sin( ) .
0
(2.45)
Если аппроксимируемая функция периодическая с периодом L = 2l,
l
то, введя новую переменную
t
в равенства (2.44)–(2.45), получим
2
30
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]