Введение в численные методы. Учебное пособие-1

РАБОТА 6. ПРИБЛИЖЕННОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ









H



x

A

НЕСОБСТВЕННОГО ИНТЕГРАЛА 

С БЕСКОНЕЧНЫМИ ПРЕДЕЛАМИ

Задание

1. Вычислить несобственный интеграл вида



Ifxedx

()









2

x

по

квадратурной интерполяционной формуле наивысшей алгебраической степени точности для 4, 8, 12 узлов, предварительно приведя его к

стандартному виду

n

IAft





k

kk

1



()



Iftedt







, где

A



()

2!

k

Ht

2

t

с помощью замены переменной;

1

n



n



()

nk

,

– корни многочлена

t

2

 

k

Эрмита

Ht e e

() ( 1)

n

nx x

 , (1)

dx

n

d

22

который можно вычислять по формуле (1) или рекуррентной формуле

() 2 () ()

Ht tHtkHt

 ,

11

kkk





() 1, () 2.

tHtt

01



Производная многочлена Эрмита удовлетворяет соотношению





() 2 ()

Ht nH t

nn

2. Вычислить несобственный интеграл вида

.

1





Ifxedx





0

()



по

квадратурной интерполяционной формуле наивысшей алгебраической степени точности для для 4, 8, 12 узлов.

Коэффициенты

определяются, как в разделе 3, по формуле (3.24):

k

x

A



k

nLx

(1) ()

k

2



n

91

,

k

1



где

x







x



x



x

– корни многочлена Лагерра степени n, определяемого по ре-

k

куррентной формуле

() (2 1 ) () () ( 1),

Lx n xLxnLxn

11

nnn



  

1, ( ) 1, ( ) 1 .

nLx Lx x



01



3. Объяснить, на основании какого свойства многочленов Эрмита и Лагерра используются корни этих многочленов при вычислении интегралов, рассматриваемых в этой работе.

Варианты заданий

№

п/п

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

f(x)

sin

e

2

sin( )

cos

1/(1 )

ln(2 cos )

1/(1 )

cos(sin )

cos

2sin

cos

e

24

ln (1 )xx

sin( )

e

sh (cos ( ))

x

2



2





e



4

0.5 22

3

2 24

sin



/(1 )xx

2

2 16

0.5 17

0.5 18

0.5 19

0.5 20

3 21

2 23

2.5 25

2 26

2 27

1 28

2 29

1 30

№

п/п

arctg ( 1)x

arctg ( )xe

22

(sin ) / (1 )xx

4

sin( )

cos( )

1/(1 )

1/(2 cos )

sh ( )

sin (cos ( ))

cos (sh ( ))

sin ( ) / )xx

sin( ) /xx

sin ( )

f(x)

1.5

/(1 )

ch x

2

4

2

0.5

e

2



2

0.5

1.5

22

1

2



e

2

1.5

3

1.5

2

1

92

РАБОТА 7. ПРИБЛИЖЕННОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛА 

A



j





x



x

xy



ПО ПЛОЩАДИ ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКА

Задание

1. Вычислить интеграл

I f x y dxdy

S

ABCD

(, )



(1)

по площади четырехугольника ABCD с заданными координатами вершин

( , ), ( , ), ( , ), ( , ),

xy Bx y Cxy Dx y

11 22 33 44

используя результаты

лабораторной работы 5 при n = m = 4, 8, 12 и формулу

где

A



i

2(1 )



2

nP



1

n

2

i

()



i

nm

IAB



11



ij

2(1 )

,

B



j

2

mP

2

m



1



(, )

 

ij i j

2

j

, ,

()

ij

, (2)

 – корни многочлена Ле-

жандра степени n.

Координаты

44

где

r

,



rr

(, ) , (, ) ,

 

,

– координаты узлов четырехугольника ABCD,

y

r

– координаты канонического квадрата.

xN y yN



rr rr

11

rr



1

N

(1 )(1 )

rrr

 

4

,

Функция

y

  

(,) (,),(,)

fx y





.



93

При вычислении определителя использовать аналитические выра-



x







f

x

f







y

x



x

жения входящих в него производных.

Проверить условие: при

(, ) 1fxy

интеграл (1) равен площади че-

тырехугольника ABCD.

Площадь четырехугольника ABCD можно определить как сумму

площадей треугольников ABC и CDA:

11

yxy



11 33

11

SSSS xyS xy

  

ABCD ABC CDA ABC CDA

,1,1



22 44



22



11

yxy

33 11



 

.

 

2. Вычислить интегралы от той же подынтегральной функции

(, )

xy

, что и в задании 1, по площадям треугольников ABC и CDA.

Вычисление интегралов проводить по тому же алгоритму, что и в пункте 1, рассматривая каждый треугольник как вырожденный четырехугольник, у которого одна из вершин лежит посередине диагонали четырехугольника ABCD. При этом координаты этой вершины будут

x

и

yy

13

.

2

13

2

Показать, что сумма интегралов по площадям треугольников ABC и

CDA равна интегралу по площади четырехугольника ABCD, вычислен-

ного в пункте 1.

Варианты заданий

№

п/п

1 0 0 3 0 4 3 0 4

2 5 5 –3 3 0 0 3 0

3 4 4 0 3 0 –2 3 0

4 –1 –1 3 0 3 3 –2 4

5 –1 0 0 4 0 6 –4 1

6 0.2 –4 0.2 6 –4 1 –4 0

y

1

2

2y3x3y4

y (, )

4

2

yx



(sin ( ) 1)

exy

yx



/sin() 1

ex

*cos( ) /(1 )

xy x

(*sin)/(1 )

(*)sin( )

xy

4

sin( )

xy

2

yxy

xy

2



4

2

94

№

x

f

x







y









s

x





s



x

п/п

7 0 –4 0 6 –4 1 –4 0

8 0 –5 0 6 –4 1 –3 0

9 0 –4 0 3 –4 1 –3 0

10 0.2 0.2 4 0 4 2 0 3

11 0 0 4 0 4 2 0 4

12 0 0 4 0 4 2 0 4

13 0.1 0.1 2 0 3 2 0 4

14 0 0 2 0 3 2 0 4

y

1

2

2y3x3y4

y (, )

4

(*)cos( )

exy

eyxy

exxy

exxy

exxy

cos( ) sin( )

15 0 –0.3 2 0 3 2 0.2 3

16 0 0.5 2 0 3 2 0 4

17 0.5 0.5 2 0 3 2 0 4

18 0 0.5 2 0 3 2 0 4

19 0.3 0.3 2 0 2 2 0 3

20 –1 –1 3 –3 4 3 0 4

21 0 0 4 0 0 3 –1 1

exy

22 0 0 –1 –1 3 –3 2 0

23 4 0 3 3 0 2 0 0

24 –1 0 0 –1 3 0 2 2

sin( )

cos(sin )yx

25 0 2 3 3 –1 1 0 0

26 3 0 4 2 0 3 0 1

27 –2 0 0 0 1 1 –3 3

28 –1 1 0 0 3 3 0 4

29 2 0 4 1 3 2 0 1

cos( sin( ) )xy

sin( cos( ) )xy

ey

30 0 0 0 –2 3 –4 4 2

xy

3

yxy

x

sin( )

cos( )

yx



sin( ) / ( 1)

yx



sin( ) / ( 1)

x

sin( ) / ( 2)

y

sin( ) / ( 4)

xy



sin( ) / 1

yx

22

xy

4

*sin(*)

xxy

*

yx

sin( )

yx



cos( )

x



sin( )

yx



sin( * )

yx



sin( )

yx



sin( )

2

()

hx y

22



22

4



yx



2

()

hx y

()ch sh x y

x

/(1 )

sin( )

22

xy





95

РАБОТА 8. ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА

ПО МЕТОДУ МОНТЕ-КАРЛО

b

1. Вычислить приближенное значение интеграла ()

методу Монте-Карло при

6

10N  и сравнить со значением интеграла,

Ifxdx



a

вычисленного по встроенной формуле.

2. Построить график заданной функции.

3. Определить границы прямоугольной области, ограничивающей кривую

()из условия 0 ()fx fx H, при [, ]xab .



4. Используя обращение к генератору случайных чисел

: runif ( , , ),xNab : runif ( , 0, ),yNH определить координаты слу-

чайных чисел.

5. Определить количество точек таний из условия

()

yfx .

ii

 под кривой (х) после N испы-

6. Вычислить интеграл двумя способами:

1

N

ns b a

IA I fx



и ( ),

NN





0

i



i

по

где A – площадь прямоугольника, заключающего в себя функцию ().fx

96

Варианты заданий

x



x

xex





x



x



x

№

п/п

1

2

sin(2 1)x 

(1.9)sin(/3)xx

3

1

4

5

6

2.6 lnxx

7

(1)sin(0.5)xx

8

3lnxx

9

10

3tgxx

11

12

ex

13

ex

14

2cos()ln( 1)xx

15

f(x)

2

1cos



ln( 2)xx

tg

2

cos (0.25 )xx

2

x

(cos (3 ))

x

(sin (2 ))

(cos ( )) ln ( )

e

3

2

xx

 

0 3 16

0 1 17

1 2 18

2 3 19

№

п/п

(6 7 )



8(3 4)x



15(2 )x



9(5 7)x

0 0.5 20

1

cos

1.2 2.2 21

0.5 1.5 22

2 3 23

0 9 24

–0.5 0.5 25

0.1 1.1 26

–1 0.9 27

0 2 28

2 4.5 29

1 4.5 30



ex

cos( 1)xx

sin( 1)xx

cos ( )ln ( )xx

3/2

e

2sin()ln( 1)xx

1sin(cos)



(sin (cos ))xx

x

(cos (sin ))

ex

x

(sin (cos ))

ex

f(x)

2

–2 0

2

3



2

x

cos (sin )

2



2

 

0 1

3 5

2 3

0.1 2

1 2

0 3.1

0.2 3

1.1 3

1 4

0 5

1.5 4

1.5 4.5

97

РАБОТА 9. РЕШЕНИЕ СЛАУ МЕТОДАМИ ПРОГОНКИ 

F

A

B











И ПРОСТЫХ ИТЕРАЦИЙ

Задание

1. Решить методом прогонки СЛАУ, полученную в лабораторной работе 3, используя исходные данные этой работы

с F

 

22

 

с F

33

 

..

   



..,

 

..

 

..

   

cF

nn

 

2,

21

(1)

где a = c = 1, b = 4,

bc

0. . .0

 

abc

     

 

kkkk

0. .0

abc

00.0

.......

00 . . 00 . .

 k = 2,… n.

abc

ab

3

fff





2

h

Прямой ход метода прогонки. Рекуррентная формула метода про-

гонки для определения прогоночных коэффициентов

и

k

следующий вид:

ccABk n

kkk k

ABA

  

22

Bkn

k

1



11

,, ,

44 4

FB

kk

A

1

k



, 2 1;

 (2)

F

2

k

1



, 3, ..., 1.

4





A



k

1

(3)

Обратный ход. После нахождения всех прогоночных коэффициен-

тов из последнего уравнения системы (1) и уравнения (2) при определить

, а затем все остальные неизвестные по формуле (2) для

c

n

k = n – 1, n – 2, …, 2.

После нахождения всех прогоночных коэффициентов опреде-

лить

а затем все остальные неизвестные по формуле (2).

,nc

имеет

k

1kn

98

2. Решить СЛАУ систему уравнений (1) методом простых ите-

x

B



x





x



x

раций. Систему преобразовать к виду

Bx g где ,

ErA

 E –

,

единичная матрица; A – матрица системы (1). Определить r таким образом, чтобы собственные числа матрицы B были меньше единицы. Собственные числа определяются стандартной функцией eigenvals(B), а единичная матрица – функцией identity(n).

Алгоритм метода простых итераций

(1) ()

kk



Bx g

 .

Итерационный процесс продолжать до выполнения условия

(1) ()

kk



(,)

xx

,

 вычислить по первой норме.

Сформулировать необходимое и достаточное условие сходимости

и достаточные условия сходимости метода простых итераций.

Варианты заданий

№

п/п

1

2

3

4

5

f(x) a b с

32

sin (5 )xx

sin ( )xx

2

sin(2 )xx

cos sin ( )xx

sin ( ) cos( )

2

2.5 4.5 1.5 19

xx

–2 3 1 16

–1 5 3 17

04 3 18

–4 5 0.9 20

№

п/п

cos ( ) sin ( )xx

cos (5 )sin (2 )xx

cos ( ) sin ( )xx

cos(2 ) sin ( )xx

cos (2 )



f(x) a b с

2

3

2

4 6 0.1

sin(6 )

1 5 –3

2 6 3

3 5 1

1 8 6

6

7

8

2

sin ( )xx

cos (5 )



sin (2 )

3

sin ( )xx

–3 8 –4 21



–4 7 2 22

–1 10 8 23

99

cos (8 ) sin (6 )xx

cos (3 ) sin (2 )xx

32

sin (3 )xx

3 5 1.8

4 8 3

3 4 –0.5

№

xxx



x

п/п

23

9

10

sin (2 )xx

11

sin (3 ) cos ( )xx

32

12

cos

13



14

cos sin ( )xx

sin (ln )

15

   

f(x)

cos ( )xx

2

cos(4 )xx

2

xx

2

sin (2 )

23

a b с

2 6 4 24

№

п/п

22

sin (4 )xx

sin ( )

1 3 1.5 25

cos( )



3 4 1.5 26

2 3 –0.5 27

4 5 0.4 28

1 5 3.9 29

2 4 1 30

22

sin (2 )xx

23

cos sin ( )xx

sin( ) cos( )

xx

sin (2 ) cos ( )xx

sin( )

e

f(x)

a b с

–1 4 2.5

2

–3 3.3 0.1

153.5

164.8

2

242

142

560.5

100