Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Введение в численные методы. Учебное пособие-1
.pdf
Из первого уравнения системы (4.34) и выразим
x
x
x
cx d
bx cx d x
. (4.36)
11 1 2 1 1
1i
Из уравнения (4.35) при
Ax B . (4.37)
1121
Из (4.36) и (4.37) получим
cd
11
AB
11
,
.
bb
11
Запишем второе уравнение системы (4.34):
12 1
b
1
:
1
ax bx cx d
21 22 23 2
. (4.38)
Подставив (4.37) в (4.38), получим
Из (4.39) и (4.35) при 2i
cdaB
xx
23
2221
aA b aA b
21 2 21 2
следует
AB
22
aA b aA b
21 2 21 2
. (4.39)
cdaB
2221
,
В общем случае прогоночные коэффициенты определятся равенствами
eaA b
.
где
1iii i
Если положить, что
cdaB
AB
iiii
, (4.40)
ii
,
ee
ii
00
0AB
1
, то равенства (4.40), (4.12) справед-
ливы и для 1, 1in.
Переходим к обратному ходу.
Запишем уравнение (4.35) для 1in
и последнее уравнение в си-
стеме (4.34):
Ax B
.
11 1nnnn
.
61
ax bx d
g
Из этих уравнений находим
1nn nn n
.
daB
x
n
baA
nnn
nnn
1
.
1
Все остальные неизвестные находятся по общей рекуррентной
формуле (4.35).
Отметим, в каждой строке, кроме первой и n-й, содержится три
элемента
,,
abc. Если выполняется условие
iii
bac для всех
iii
1,in и хотя бы для одного значения i имеет место строгое неравен-
ство, то система линейных алгебраических уравнений (4.34) устойчива
относительно погрешности правых частей (достаточное условие
устойчивости). Метод прогонки эффективен при решении систем высокого порядка.
4.7. МЕТОД КВАДРАТНОГО КОРНЯ
Метод квадратного корня используется в тех случаях, когда матрица системы симметрична. Полагаем, что в системе уравнений
матрица A симметричная, т. е.
Ax f (4.41)
T
AA. Если симметричная матрица не
вырожденная, то такую матрицу A можно представить в виде
T
AGG , (4.42)
где
gg g
0...
GG
... ... ... ...
00...
...
11 12 1
gg
21 2
g
nn
n
n
T
,
*
0...0
g
11
**
gg
21 22
... 0
... ... ... ...
** *
gg g
nn nn
...
12
*
gg
21 12
*
,
nn
11
*
gg
ij ji
,
g
,
.
62
Элементы матрицы A в (4.42) представим в виде
g
f
n
agg
ij ik ki
*
1
k
. (4.43)
Отсюда следует, что любой диагональный элемент матрицы A можно
определить как
agg g , (4.44)
22 2
ii
12
ii
ii
а недиагональный как
agg gg gg
ij i j i j ii ij
. (4.45)
11 2 2
...
Из (4.44) и (4.45) найдем элементы матрицы G:
11i
agg
g
ij
ij ki kj
k
g
ii
. (4.46)
i
1
ag
,
ii ii
2
ki
1
k
После нахождения элементов матрицы G из (4.46) система (4.41)
заменится эквивалентной системой
T
()
GGx f. (4.47)
Система (4.47) распадается на две системы с нижней и верхней
треугольными матрицами:
T
Gz f
Gx z
Из первой системы в (4.48) находим последовательно
11i
gz
iikk
z
i
k
g
ii
,
(4.48)
.
zz
, i = 1, …, n.
,, :
1
n
63
Из второй системы определяются последовательно 1,,:
x
g
g
x
x
B
g
x
x
x
x
x
x
n
zgz
iikk
x
i
ki
g
1
ii
, i = n, …, 1.
x
n
Отметим, что если матрица A положительно определенная (все
определители на диагонали больше нуля), то 0
будут вещественными числами. Если матрица не будет положи-
ij
тельно определенной, то
все
x будут вещественными, так как система уравнений с сим-
1 n
могут быть комплексными числами, но
ij
g
и все элементы
ii
метричной матрицей имеет только вещественное решение.
4.8. МЕТОД ПРОСТЫХ ИТЕРАЦИЙ
Итерационные методы, в отличие от прямых, дают возможность
найти решение системы как предел бесконечного вычислительного
процесса, позволяющего по уже найденным приближениям к решению
получить более точное приближение. Во всех итерационных методах
систему
Ax f с невырожденной матрицей надо преобразовать к виду
где
EA, E – единичная матрица;
Bx g , (4.49)
f .
Метод простых итераций заключается в выборе произвольного
вектора начального приближения
следовательности векторов
()k
() ( 1)
kk
В правой части – решение системы на (1)-мk
решение на k-м шаге, 1, 2..k
Покажем, что если последовательность векторов
вектору
(*)
при k , то
(*)
(0)
и построении итерационной по-
по формуле
Bx g
. (4.50)
шаге, а в левом –
.
– решение системы Ax f.
64
()k
сходится к
Устремим k , тогда в пределе в (4.50) получим
B
x
x
B
x
x
x
x
() () () ()
xgEAxgxAxg
Отсюда следует, что
()
Надо отметить, что не при любом
() .
.Ax g f
(0)
итерационный процесс
()
x
(4.50) будет сходящимся.
Необходимое и достаточное условие сходимости итерационного
процесса, при котором
нии состоит в том, что все собственные числа матрицы
быть по модулю меньше единицы
() (*)k
x , при любом начальном приближе-
1
.
i
должны
Однако сформулированное условие сопряжено с проблемой
нахождения собственных чисел матрицы, что само по себе является
отдельной задачей. Значительно проще определить сходимость исходя
из достаточных условий.
Достаточным условием единственности решения
() (*)k
x , т. е.
норма матрицы и норма векторов
() ()
xx
k
является условие 1B
0,
()k
должны быть согласованы, и в
()
и сходимости
, при этом
соответствии с этим должно выполняться одно из условий:
n
1)
2)
3)
j
n
i
1
nn
11
ij
1, 1, ;
bin
ij
1
1, 1, ;
bjn
ij
2
1.
b
ij
В качестве завершения итерационного процесса на практике можно
(1) () ()kkk
принять выполнение условия
ближенное значение решения полагаем равным
xxx
()k
.
, где 0
.При-
65
4.9. МЕТОД ЗЕЙДЕЛЯ
x
x
B
x
x
Этот метод можно рассматривать как модификацию метода простых итераций. Пусть дана система линейных уравнений
Ax f, (4.51)
где диагональные элементы матрицы A отличны от нуля, т. е.
0,1, 2, , .
an
ii
Разделив i -е уравнение системы (4.51) на
неся все неизвестные, кроме ,
вправо, придем к системе вида
i
Bx g, где элементами вектора g будут /,
матрицы
определятся как
b
ij
/, ,
aa ji
ij ii
0, .
li
a (1,2,,)in
ii
gfa а элементы
iiii
и пере-
Применительно к полученной системе метод Зейделя реализуется
формулой
1
in
() () ( 1)
где
kk k
ij j
(0)
– начальное приближение ( 1,2, , ; 1,2,...).ink
i
bx bx g
ij ij i
11
jji
,
(4.52)
Отличие метода Зейделя (4.52) от метода простых итераций (4.50) в
том, что при нахождении i-й компоненты k-го приближения используются уже найденные компоненты k-го приближения с меньшими номерами. В ряде случаев сходимость метода Зейделя быстрее, чем простых итераций.
Для существования единственного решения системы (4.51) и сходимости метода
Зейделя достаточно выполнения хотя бы одного из
двух условий:
aai n
1)
ij ii
ji
,1,2,,;
2) A – симметричная, положительно определенная матрица (все ее
собственные числа положительны).
66
f
f
5. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
5.1. ВВОДНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ
Общий вид нелинейного уравнения с одним неизвестным
где функция ()
x определена и непрерывна на конечном или беско-
() 0fx
, (5.1)
нечном интервале [, ].ab
Всякое число [, ],ab
уравнения (5.1). Число
x вместе с функцией ()
рядка (1)k включительно
при котором () 0,f называется корнем
называется корнем кратности k, если при
x равны нулю все ее производные до по-
1
k
() () () 0.
ff f
Однократ-
ный корень называется простым.
Нелинейные уравнения подразделяются на два типа:
1)
алгебраические уравнения;
2)
трансцендентные уравнения.
Алгебраические уравнения – уравнения, содержащие целые рациональные или иррациональные функции.
Целые рациональные функции – это функции в виде степенных
многочленов.
Иррациональные функции – это функции, содержащие дробные
степени.
Все остальные: логарифмические, тригонометрические, специальные – это трансцендентные функции.
67
Существует два метода решения нелинейных уравнений:
f
x
f
f
xc
f
x
прямые методы – методы, позволяющие решить задачу путем
1)
аналитических преобразований;
2)
итерационные методы – методы последовательных приближе-
ний.
Круг задач, которые можно решить прямыми методами, крайне
ограничен, поэтому основными методами решения линейных уравнений являются итерационные.
Алгоритм нахождения корня уравнения с помощью итерационных
методов включает два этапа:
отыскание приближенного значения корня или содержащего его
отрезка;
уточнение приближенного значения корня до заданной степени
точности.
В большинстве случаев начальное приближение можно определить графически. Для этого достаточно построить график и найти
отрезки, на которых функция ()
чения с осью
. При этом можно руководствоваться следующими
x имеет только одну точку пересе-
положениями:
если непрерывная на отрезке [, ]ab функция ()
знаки на концах отрезка (т. е. ( ) ( ) 0)fafb
, то на этом интервале су-
x имеет разные
ществует минимум один корень уравнения (5.1);
если ()
x строго монотонна на [, ]ab, то корень единственный.
5.2. МЕТОД ПОЛОВИННОГО ДЕЛЕНИЯ
Полагаем, что определен отрезок [, ],ab
на котором существует только один корень
(рис. 5.1).
За начальное приближение принимаем се-
()/2xab
редину этого отрезка
ляем значение функции ()
Рис. 5.1
резков
[, ]ax и 0[,]
0
68
b . Тот из них, на концах
. Опреде-
0
x на концах от-
которого ()fx принимает значения разных знаков, содержит искомый
x
x
x
x
xx
f
f
корень, поэтому его принимаем в качестве нового отрезка. Новым
приближением будет середина этого отрезка и т. д. В результате после
каждого приближения отрезок, на котором находится корень, уменьшается в два раза, т. е. после n приближений исходный отрезок
уменьшается в 2
()/2, ( )/2xxb xxx и т. д. Итерационный процесс пре-
10 2 01
кращается либо при выполнении условия
n
раз. В представленном на рис. 5.1 примере
() ,fx где – заданное
малое число, либо с помощью оценки длины отрезка
c
тором находится корень
.
[,],
x на ко-
1
nn
Несмотря на медленную сходимость метода половинного деления,
его главным достоинством является гарантированная сходимость итерационного процесса с заданной точностью.
5.3. МЕТОД ХОРД
Полагаем, что найден отрезок [, ]ab, на котором есть единствен-
ный корень уравнения () 0.fx
() 0.fb
Считаем для определенности () 0,fa
Через точки A и B проведем прямую линию y(x) (рис. 5.2), уравнение которой
() ()
afayx
Точка
нии с осью
ba fa fb
– точка пересечения этой ли-
0
() ()
. В этой точке
Из равенства (5.2) при
. (5.2)
.(0)yx
полу-
0
0
чим начальное приближение
()( )
xa
0
Рис. 5.2
69
ab a
() ()
bfa
.
Следующим приближением
x
B
f
f
f
f
f
f
x
f
x
xx
f
x
AB
с осью x, где точка
0
соответствует значению функции
0
xa
1
будет точка пересечения прямой
1
():
x
()( )
ax a
0
,
() ()
xfa
0
0
и общая итерационная формула метода хорд будет
xa
n
ax a
()()
xfa
n
1
n
1
.
()( )
Эта процедура продолжается до тех пор, пока не выполнится условие
fx
.
n
Сходимость этого метода быстрее, чем метода половинного деления.
5.4. МЕТОД НЬЮТОНА (МЕТОД КАСАТЕЛЬНЫХ)
Рассмотрим уравнение
Теорема. Если
() 0fx
[, ],
Cab () () 0,fafb а ()fx
2
. (5.3)
не меняет знак
на [, ]ab, то уравнение (5.3) имеет на [,]ab единственный корень.
*
Полагаем, что условия теоремы выполнены. Пусть
значение корня функции ()
ношению к точному. В этом случае
x , а
– приближенное решение по от-
0
*
– точное значение по-
00
– точное
грешности искомого решения.
Разложим функцию ()
степеням
:
0
*
()0 ( ) () ()0 0fx fx fx f x
. (5.4)
x в ряд Тейлора в окрестности точки
00 0 0 0
Если в (5.4) отбросить величины порядка малости
2
0
2
, получим
0
*
по
() ()0fx f x
. (5.5)
000
70
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]