Введение в численные методы. Учебное пособие-1

Если в (5.5) приближенное равенство заменить на точное, то будем







fxf

f

x

иметь

() ()0fx f x

. (5.6)

000

Точному равенству будет удовлетворять значение следует, что

()



0



()

x

0

.

Следующее приближение можно получить как

()

x

xx x



1000

0



()

x

0

.

Общая формула итерационного алгоритма будет

()

x

xx



nn

1



n

. (5.7)



()

x

n

Геометрическая интерпретация метода показана на рис. 5.3.

y

M

n



. Из (5.6)

00

x, y

*

x

Рис. 5.3

71

x

δ

n

n+1

x

n

ε

n

Задана кривая, соответствующая функции ()fx , пересекающаяся с

x



f

M

f

x



f



f

x





x

f







xx

осью

в точке

ному решению Значению () касательную y(x) к кривой () с осью

обозначим как

*

. Полагаем, что известно n-е приближение

*

и

отличается от

n

x соответствует точка

n

*

на величину

на кривой ()fx . Проводим

n

x в этой точке. Пересечение касательной

. Запишем уравнение касательной y(x)

1n

(рис. 5.3).

n

(рис. 5.3):

() ()

xyx



n

xx



n

, (5.8)



()

fx

n

к точ-

n

где ()

x – тангенс угла наклона касательной.

n

x



()

n

, то

1n



nn

()

fx



Если положить в (5.8)

fx

n

.

x

1



Отсюда

()

x

xx

. (5.9)

nn

1



n

()

x

n

Равенство (5.9) совпадает с (5.7).

Из рис. 5.3 видно, что

– линейная часть погрешности;

n

ная погрешность.

5.5. МЕТОД ПРОСТЫХ ИТЕРАЦИЙ

Применение метода простых итераций требует преобразовать нелинейное уравнение

() 0fx

(5.10)

в равносильное уравнение

 . (5.11)

()

– точ-

n

72

Пусть

x



x



x





x



x











x

xx

x



*

– корень уравнения (5.11), а

– начальное приближе-

0

ние, выбранное каким-либо способом. Тогда алгоритм, реализующий метод простых итераций, имеет вид

().

x

 (5.12)

1

nn



Точное решение можно представить как

*

xx , (5.13)

nn

где

– n-е приближение;

n

Можно записать

*

через (n+1) приближение:

Подставив

и

n

1n

разложения функции ()

****2

xxxx

        ,

nnnn



1

– погрешность n-го приближения.

n

*

xx

 . (5.14)



11nn

из (5.13) и (5.14) в (5.12), получим с помощью

в ряд по степеням

() ()0

*2



()0

   

1

nn n



x



n



, (5.15)

Из (5.15) следует

1

n

*



()

. (5.16)

Достаточное условие сходимости итерационного процесса сформулировано в следующей теореме.

Теорема. Пусть уравнение ()

 имеет единственный корень на

[, ]ab и выполняются условия:

1)

()

 определена и дифференцируема на [, ]ab;

2)

() [, ]

3)

существует такое число 1q

ab для всех [, ]

ab;

, что ()xq



.

Тогда итерационный процесс (5.12) сходится при любом начальном приближении.

73

Третье условие в приведенной теореме

x



x





x





x



x



x



x



x





аналогично соотношению (5.16).

Геометрическая интерпретация метода

представлена на рис. 5.4. Задана кривая

из уравнения (5.11). Координата

()

точки пересечения ()

yx

является точным решением уравне-

ния (5.11). В точке начального приближе-

Рис. 5.4

ния

дится параллель до пересечения с прямой yx

вычисляется 0(),

0

и опускается перпен-

*

с биссектрисой

далее прово-

дикуляр на ось

– получается первое приближение 1,x и т. д.

Для применения метода простых итераций необходимо преобразовать уравнение () 0fx

к равносильному уравнению ()xx . Это

можно сделать преобразованием

(),

xfx





где

– отличная от нуля константа. В этом случае

xfx

 . (5.17)

() ()

Функция ()

 должна удовлетворять приведенной выше теореме о

достаточном условии сходимости метода итераций. Дифференцируя

(5.17), получаем

() 1 ()



Для выполнения третьего условия теоремы достаточно подобрать

выполнялось условие

так, чтобы для всех [, ]

ab

fx

. (5.18)



1()1fx



.



74

5.6. СИСТЕМЫ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ



x

f



x



x



x











x















Метод Ньютона.

Полагаем, что дана система нелинейных урав-

нений:

(, , , ) 0,

fxx x



11 2





(, , , ) 0,

fxx x



21 2







 

(, , , ) 0

fxx x

nn



12



Система (5.19) в векторной форме

где

(, , , )

xx x

12

,

n

( ) ( , , ...., )

ii n

() 0fx

xfxx x

12

Обозначим:

*

– точное решение (6.1.2),

0

– нулевое приближение к точному решению,

0

– погрешность решения,



*** *

xx x ,

12

00



12

Точное решение можно представить в виде

*00 0* * *0

xxxxxxx    

00

,,,

12

тогда

*00 00



fx fx fx x x      

ii i nn

0000

1122



n



n

(5.19)



. (5.20)

.

,,,



n

00

,,, ,

.

n

xx x

12

nn

, (5.21)

n

. (5.22)



0

Разложим функцию (5.22) по степеням

*0

 

fx fx

ii

22



00

,,, 0





12





 



75



n

fx



0



j



1

j

0



n

в ряд Тейлора:

j

0

i

x



2

j

. (5.23)

Пренебрегая величинами второго порядка малости, получим















x



x



x

n

0



fx

i



j



1

fx



i

x



0

j

0



j

0

,

(5.24)

1, ,in

(5.24) – система линейных уравнений относительно

00

,,, ,

  



12

0

– линейная часть точной погрешности

ε



n

δ

вернутом виде (5.24) имеет следующий вид:

0

. В раз-

0



00 0



 

fx fx fx

11 1

 

xx x

12

00 0

  

fx fx fx

 

22 2

xx x

 

12





n



00 0

  

fx fx fx

 

nn n

xx x

 

12

.

n



n

0





1



0





2



 



   

0



n



fx



1

fx



2

fx



n

0







0







0



, (5.25)

где

         

 

,,,

xx x



12

Последующие приближения к искомому корню определятся как

100211 1

xx x x x x

  

,,,

kkk



.

Для существования единственного решения системы (5.25) определитель матрицы этой системы (якобиан) на каждом этапе приближения должен быть отличным от нуля.

Метод простых итераций. Для применения простых итераций си-

стему нелинейных уравнений

где

(, , , ).

xx x 

12

n

() 0fx

следует привести к виду

(),

x



(5.26)

В основе метода простых итераций лежит рекуррентное равенство

(1) ()

kk



xxk

( ), 0, 1, ...

 

, (5.27)

76

или в развернутом виде





(1) () () ()

kkkk



xxxx



112

(1) () () ()

kkkk



xxxx



212

(1) () () ()

kkkk



xxxx



nn n

,,, ,

1



2





12



n

,,, ,



n

(5.28)

,,, .



Итерационный процесс продолжается до тех пор, пока абсолютные величины разности всех неизвестных двух последовательных итераций не станут меньше заданного малого числа. В случае если начальное приближение близко к искомому решению, то имеет место быстрая сходимость итерационного процесса. В противном случае итерационный процесс может не сойтись.

77

f

x



xa





f

x







ЗАДАНИЯ К ЛАБОРАТОРНЫМ РАБОТАМ

РАБОТА 1. ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИИ 

С ПОМОЩЬЮ МНОГОЧЛЕНА ТЕЙЛОРА

Задание

1. Составить программу вычисления многочлена Тейлора для за-

()

данной функции

. Многочлен Тейлора степени n в окрестности точки

[, ]

ab

0

имеет вид

x

на отрезке

() () ()

Tx f x f x



00

[, ]

ab

в окрестности точки

()

xx

0

1!

0



2. Для точек

00

и

0

() ()



( ) ... ( ) .

fx f x

пени многочлена Тэйлора близости по первой норме

2

xx xx



00

()

n

2! !

()/2xba

0

(),nx

0



определить минимальные сте-

при которых выполнится условие

max ( ) ( )fx Tx

Объяснить причину отличия полученных значений графическое изображение функций

x

и

()

Tx

()

3. Определить минимальные степени многочлена Тэйлора

для каждого остаточного члена в форме Лагранжа

из условия оценки максимальной по модулю величины

0

()rx

 в виде

78

n

(принять

.

n

()nx

0

0.001).



. Привести

()nx

0

M





M

xa

x



x



x

1

n

где

max ( )



1

n



() ()

rx t

1

n



fx

на



(1)!

n

[, ]

ab



,

1

n



,

max ( ),( )txabx

00

.

4. Вычислить многочлен Тейлора с использованием встроенной

программы Expand in series (см. приложение, разд. IX) при

0

()/2xba

для найденных значений

()nx

в п. 2).

0

Варианты заданий

№

п/п

1

sin (2 )

2

cos ( ) sin (2 )xx

3

cos ( ) sin ( )xx

4

cos ( ) sin ( )xx

f(x) a b

2

22

23

2

0.1 1.5 19

0.1 2.3 16

–1 1.3 17

0.3 2.1 18

№

п/п

cos ( ) sin ( )xx

f(x) a b

2

sin ( )xx

sin ( ) cos( )

sin(2 )xx

2

xx

0.2 2.2

0.4 2.4

и

0

0. 2.9

–1 1.2

cos (5 ) sin (2 )xx

5

6

7

cos (2 ) sin ( )xx

cos(2 )sin( )xx

8

cos (2 ) sin ( )xx

9

cos (3 )sin (2 )xx

10

11

sin ( ) cos (1 )xx

12

13

sin(1 )

14

15

cos ( cos )xx

cos (1 )xx

2

sin(5 )xx



2

e

2

e

3

0.1 1.9 20

0.1 2.5 21

0.5 3 22

0.2 2.8 23

0.2 2. 24

01.9 25

–1 0.9 26

–1 0.9 27

–0.1 1.5 28

03 29

–1 3 30

sh(1 )

(1)sin()

cos(2 ) sin ( )xx

ch (1 2 )

sh (1 )xx

2

cos(3 )xx

2

sin (2 )xx

0. 1.9

x

0.1 2.3

2

0.4 2.9

2

cos (5 ) sin (2 )xx

22

cos ( ) sin (2 )xx

sin (ln )

1/(1 )

2



0.1 2.1

–1 2

–1 1.1

–0.3 1.1

–1 1

02

14

02

79

РАБОТА 2. ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЙ МНОГОЧЛЕН

x

f





R





M



x

f



f



Задание

1. Составить программу вычисления интерполяционного много-

члена Лагранжа

n

() ( )



Lx fx

nk





0

k

()( )( )()

kkkkkkn



 

xx xx xx xx

011

 



xxxxx xx

011

kk n

 

,

удовлетворяющего условиям интерполяции в узлах заданной функции

x

на отрезке

[, ]

ab

:

()

1) с равноотстоящими узлами интерполирования;

2) с оптимальными узлами интерполирования

()(21)

ba k ba



x

k

cos

2222

 



n

. (1)

2. Проверить выполнение условия и объяснить его смысл:

n

( )...( )( )......( )

 

xx xx xx xx



( )...( )( )......( )

xx xx xx xx



0

k

011

 

011

kkkkkkn

3. Определить количество узлов интерполирования

отстоящих узлах и

при оптимальных узлах исходя из оценки мак-

()n

2

симальной погрешности интерполирования

n

1

xxx 

1

и

для

()( )

где

,n

2

n

4. При найденных по первой норме

()

Lx

n



.

n

1

max ( ) ( ) 10

5. На примере функции

kk n

 

() max ()

xx

nn

1

n

max ( )

и



fx

проверить условие близости

n

2

fx L x



n

() 1/(1 25 ),

xx

на

[, ],

ab

3

.

2

1

.

при равно-

()n

1

M

1

n





(1)!

n



() ( )

xxx

 

n

[1,1],

x



проиллю-

0

()

x

и

стрировать невозможность осуществления интерполяции с заданной точностью при равноотстоящих узлах и возможности это сделать при оптимальных узлах.

80