Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Алгебра и аналитическая геометрия. Учебное пособие
.pdf
1
МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное
учреждение высшего образования
«Пермский государственный национальный
исследовательский университет»
«Соликамский государственный педагогический институт (филиал)
ФГБОУ ВО «Пермский государственный национальный
исследовательский университет»
Т. В. Рихтер
АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ
ГЕОМЕТРИЯ
Учебное пособие
Соликамск
2020
2
УДК 51
ISBN 978-5-91252-078-5
© Рихтер Т. В.
© Пермский государственный национальный
исследовательский университет, 2020
© Соликамский государственный педагогический
институт (филиал) «ПГНИУ», 2020
ББК 22.1
Р 55
Рецензенты:
Т. С. Шумейко
математического факультета, ассоциированный профессор кафедры информатики, робототехники и компьютерных технологий Костанайского государственного педагогического университета им. У. Султангазина;
И. В. Абрамова,
тематических и естественнонаучных дисциплин СГПИ (филиала) ПГНИУ.
, кандидат педагогических наук, декан естественно-
кандидат педагогических наук, доцент кафедры ма-
Р 55 Рихтер Т. В.
Алгебра и аналитическая геометрия [Текст]:
учебное пособие / Т. В. Рихтер. – Соликамск: РТО
СГПИ филиал ПГНИУ; ООО «Типограф», 2020. –
127 с. – ISBN 978-5-91252-078-5.
Пособие представляет результаты исследования по проблеме изучения
дисциплины «Алгебра и аналитическая геометрия» бакалаврами направления
подготовки «Прикладная математика и информатика». Издание содержит краткий
теоретический материал, примеры решения задач, вопросы и задания для самоконтроля, тестовый материал, а также практические работы (по вариантам).
Материалы учебного пособия будут интересны педагогическим работни-
кам, студентам и другим категориям читателей, интересующихся рассматриваемой тематикой.
УДК 51
Рекомендовано к изданию РИСо СГПИ (филиала) ПГНИУ.
Протокол № 128 от 12.05.2020
ББК 22.1
3
СОДЕРЖАНИЕ
Введение…………………………….…………………………….4
Содержание дисциплины……………………..…………………5
Методические рекомендации
по овладению дисциплиной……………………………………10
Раздел 1. Комплексные числа………………………………….16
Раздел 2. Матрицы.
Определители. Системы линейных уравнений……………….31
Раздел 3. Линейные пространства……………………………..73
Раздел 4. Элементы векторной алгебры….……………………81
Раздел 5. Линейные образы.
Прямая на плоскости…………………………..…….86
Раздел 6. Плоскость и прямая в пространстве….….…………88
Раздел 7. Линии второго порядка: эллипс,
гипербола и парабола….…….………………………94
Раздел 8. Линейные преобразования
линейных пространств….…….……………………100
Раздел 9. Евклидовы и унитарные пространства……………102
Раздел 10. Билинейные и квадратичные формы………….…109
Практические задания по курсу
«Алгебра и аналитическая геометрия»………………………113
Итоговый тест по дисциплине
«Алгебра и аналитическая геометрия»…………………….…116
Список литературы…..…………………….…………….………126
4
Введение
Учебное пособие представляет результаты исследования по проблеме изучения дисциплины «Алгебра и аналитическая геометрия» бакалаврами направления подготовки «Прикладная математика и информатика», что указывает на его актуальность.
В пособии рассмотрены комплексные числа, матрицы,
определители, системы линейных уравнений, линейные пространства, элементы векторной алгебры, линейные образы,
прямые на плоскости, плоскости и прямые в пространстве, линии второго порядка: эллипс, гипербола и парабола, линейные
операторы, евклидовы и унитарные пространства, билинейные
и квадратичные формы. Отбор материала произведен в соответствии с программой подготовки студентов высших учебных
заведений, обучающихся по направлению подготовки «Прикладная математика и информатика».
Учебное пособие содержит краткий теоретический материал, примеры решения задач, вопросы и задания для самоконтроля, тестовый материал, а также практические работы
(по вариантам).
Материалы пособия имеют достаточную значимость
для практического применения и могут быть использованы в
учебном процессе высших, профессиональных и общеобразовательных учебных заведений, при организации курсов повышения квалификации педагогических работников, проведении
мастер-классов, проблемных групп и семинаров.
Курс вводит студентов в современные проблемы алгебры и аналитической геометрии, способствует формированию
математической культуры, овладению методами точного анализа, которые позволяют ответить на вопросы, возникающие
при изучении данной дисциплины.
5
Содержание дисциплины
Цель освоения дисциплины – формирование компетен-
ций, которые необходимы для успешного освоения студентами
базового курса алгебры и аналитической геометрии.
Задачи освоения дисциплины:
– получение базовых знаний по алгебре: комплексные
числа; определители; алгебра матриц; линейные пространства;
линейная зависимость и независимость векторов; базис линейного пространства; координаты вектора; решение систем
линейных уравнений; линейные операторы и линейные преобразования; евклидовы и унитарные пространства и их преобразования; билинейные и квадратичные формы;
– получение базовых знаний по аналитической геомет-
рии: геометрические векторы и действия над ними; базис и
преобразование координат; векторное и смешанное произведения векторов; аффинные и прямоугольные координаты на
плоскости и в пространстве; полярные, цилиндрические и сферические координаты, различные виды уравнений прямой на
плоскости и плоскости и прямой в пространстве; различные
аффинные и метрические задачи; уравнения и свойства эллипса, гиперболы и параболы, упрощение уравнений линий второго порядка на плоскости; цилиндрические и конические поверхности, поверхности вращения и поверхности второго порядка; расширенные евклидовы плоскость и пространство, однородные координаты.
Освоение данной дисциплины позволит расширить
подготовку учащихся к профессиональной деятельности. Курс
предназначен для студентов, обучающихся по направлению
«Прикладная математика и информатика».
6
Компетенции обучающегося, формируемые в резуль-
тате освоения дисциплины:
– использует практический опыт решения стандартных
математических задач;
– осуществляет первичный сбор и анализ материала,
интерпретирует различные математические объекты;
– применяет знания основных положений и концепций
в области математических и естественных наук; базовых понятий и основной терминологии;
– способен использовать базовые знания естественных
наук, математики и информатики, основные факты, концепции, принципы теорий, связанных с математическими и компьютерными науками.
В результате изучения дисциплины студент должен:
знать:
– свойства линейно зависимых и независимых систем
векторов;
– способы приведения квадратичной формы к канони-
ческому и нормальному виду;
– уравнения эллипса, гиперболы, параболы;
уметь:
– проводить операции с комплексными числами;
– вычислять определители любого конечного порядка;
– проводить действия с матрицами;
– находить ранги матрицы и системы векторов;
– решать линейные системы с любым конечным числом
уравнений и неизвестных;
– определять линейные пространства и подпространст-
ва, находить их базисы и размерности;
– работать с базисами и координатами векторов;
7
– определять линейные операторы и составлять их мат-
№
п/п
Наименование
раздела
дисциплины
Содержание раздела
(дидактические единицы)
1
Комплексные
числа
Определение комплексных чисел. Алгебраическая форма комплексного числа. Операции
над комплексными числами в алгебраической форме. Тригонометрическая форма
комплексного числа. Возведение в степень.
Извлечение корня. Решение квадратных
уравнений. Корни из единицы. Первообразные корни из единицы
рицы, знать способы их задания;
– задавать и определять скалярное произведение векторов;
– составлять матрицу Грама и работать с ней;
– ортонормировать базис;
владеть навыками:
– проведения всех действий с геометрическими векторами;
– решения аффинных и метрических задач;
– составления уравнений прямой на плоскости и плоско-
сти и прямой в пространстве при различных способах их задания;
– упрощения уравнения линий второго порядка;
– составления уравнений цилиндрических, конических
поверхностей и поверхности вращения;
– исследования уравнения поверхностей второго по-
рядка методом сечений;
– нахождения прямолинейных образующих поверхностей;
– работы с однородными координатами.
Аннотированное описание содержания разделов и
тем дисциплины представлено в таблице 1.
Таблица 1
Аннотированное описание содержания разделов
и тем дисциплины
8
2
Матрицы.
Определители.
Системы
линейных
уравнений
Перестановки и подстановки. Определение
определителя n-го порядка. Свойства определителей. Методы вычисления определителей п-го порядка. Определение матрицы.
Алгебраические действия с матрицами. Обратная матрица. Решение систем линейных
уравнений методом Гаусса, методом Крамера, матричным методом
3
Линейные
пространства
Определение и примеры линейных пространств. Линейная зависимость и независимость системы векторов. Базис векторного пространства. Координаты вектора. Матрицы перехода. Связь координат вектора в разных базисах. Изоморфизм линейных пространств
4
Элементы
векторной
алгебры
Определение вектора. Сложение, вычитание,
умножение вектора на число. Проекции. Ортогональная проекция. Системы координат:
АСК и ПДСК. Скалярное произведение векторов. Векторное и смешанное произведения
векторов
5
Линейные
образы.
Прямая
на плоскости
Прямая на плоскости в аффинной системе
координат. Прямая на плоскости в прямоугольной системе координат. Полярная, цилиндрическая и сферическая системы координат
6
Плоскость
и прямая
в пространстве
Плоскость в аффинной и прямоугольной системах координат. Прямая линия в пространстве. Взаимное расположение прямой и
плоскости в пространстве
7
Линии второго
порядка: эллипс,
гипербола
и парабола
Линии второго порядка: вывод канонических
уравнений. Окружность, эллипс, гипербола,
парабола: определение, вывод канонических
уравнений, исследование формы, свойства,
уравнение касательных, уравнения в полярных
координатах. Линии второго порядка: задание
кривых в полярных координатах. Окружность,
эллипс: уравнения в полярных координатах.
Упрощение уравнения линии второго порядка
при преобразовании прямоугольных координат.
9
Классификация линий второго порядка. Элементарная теория поверхностей второго порядка: цилиндрические, конические поверхности,
поверхности вращения. Ранг матрицы. Теорема
о базисном миноре. Ранг системы векторов.
Следствия из теоремы о базисном миноре
8
Линейные
преобразования
линейных
пространств
Определение линейного отображения и линейного преобразования линейных пространств. Координаты образа вектора при
линейном преобразовании. Связь матриц
линейного преобразования в разных базисах
конечномерного линейного пространства.
Операции над линейными преобразованиями. Ядро и область значений линейного преобразования. Невырожденные линейного
преобразования. Собственные значения и
собственные векторы линейного преобразования. Линейные преобразования с простым
спектром
9
Евклидовы
и унитарные
пространства
Скалярное произведение векторов в линейном пространстве. Определение евклидовых и унитарных пространств. Матрица
Грама. Введение метрики. Ортогональность векторов в евклидовом пространстве.
Длина и угол между векторами. Ортонормированные базисы. Ортогональные линейные преобразования евклидовых пространств. Сопряженные и самосопряженные линейные преобразования евклидовых
пространств
10
Билинейные
и квадратичные
формы
Билинейные формы. Квадратичные формы.
Приведение квадратичной формы к каноническому и нормальному видам. Закон инерции действительных квадратичных форм.
Положительно определенные и распадающиеся квадратичные формы
10
Методические рекомендации
по овладению дисциплиной
Используемые образовательные технологии
Задачи, решаемые в процессе освоения разделов дисци-
плины, предполагают использование традиционных и современных форм, методов и технологий обучения, направленных
на изучение видов информации, методов кодирования и подсчета количества информации и др.
Работа на практических занятиях выстроена таким образом,
чтобы студенты выполняли задания, проверяющие знания основных
понятий алгебры и аналитической геометрии; задания на проверку
навыков и умений проводить операции с комплексными числами;
вычислять определители любого конечного порядка; проводить действия с матрицами; находить ранги матрицы и системы векторов;
решать линейные системы с любым конечным числом уравнений и
неизвестных; определять линейные пространства и подпространства,
находить их базисы и размерности; работать с базисами и координатами векторов; определять линейные операторы и составлять их матрицы, знать способы их задания; задавать и определять скалярное
произведение векторов; составлять матрицу Грама и работать с ней;
ортонормировать базис. Работа носит ярко выраженный практикоориентированный характер.
Традиционные образовательные технологии. Исполь-
зуются для проведения:
– информационной лекции;
– практического занятия, посвященного освоению конкретных умений и навыков;
– фронтального опроса студентов в начале занятия с
целью актуализации знаний и умений и выявления подготовленности студентов к занятию.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]