Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Алгебра и аналитическая геометрия. Учебное пособие
.pdf
71
3. Найти решение системы уравнений с помощью мето-
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
7 2 7 2
3 2 6 3
5 4 3 6
40
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
3 2 2 0
3 2 0
3 4 0
2 7 0
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
1 2 3
1 2 3
1 2 3
2 3 2
2 6 8
6 3 3
x x x
x x x
x x x
1 2 3
1 2 3
1 2 3
5 2 3 4
3 2 0
33
x x x
x x x
x x x
да Гаусса:
4. Найти общее решение и фундаментальную систему
решений однородной системы уравнений:
Вариант 10
1. Найти решение системы уравнений с помощью мето-
да обратной матрицы:
да Крамера:
2. Найти решение системы уравнений с помощью мето-
72
3. Найти решение системы уравнений с помощью мето-
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
2 7 2 6
2 6 2 2 2
5 4 3 0
3 7 1
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
3 5 2 3 0
3 7 2 2 0
3 3 4 0
3 2 7 6 0
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
да Гаусса:
4. Найти общее решение и фундаментальную систему
решений однородной системы уравнений:
73
Раздел 3. Линейные пространства
Совокупность V элементов x, y,... произвольной приро-
ды называется линейным пространством, если для любых элементов x и y из V установлено понятие суммы x+y, а для любого элемента x из V и любого действительного числа λ установлено понятие произведения элемента x на число λ, обозначаемое λx. При этом для введенных операций выполнены следующие восемь аксиом:
1) сложение коммутативно, x+y=y+x;
2) сложение ассоциативно, (x+y)+z=x+(y+z);
3) существует нулевой вектор θ, удовлетворяющий ус-
ловию x+θ=x для всех x;
4) для любого вектора x существует противоположен-
ный вектор y, удовлетворяющий условию x+y=θ;
– для любых векторов x, y и любых действительных чи-
сел α, β имеют место равенства:
5) (α+β)x= αx+βx;
6) α(x+y)= αx+βy;
7) α(βx)=(αβ)x;
8) 1x=x.
74
1. Дайте определение линейного пространства.
2. Перечислите свойства линейного пространства.
3. Приведите примеры линейных пространств.
4. Какое линейное пространство называется евклидовым?
5. Какое линейное пространство называется n-мерным?
6. Что называется базисом n-мерного линейного про-
странства?
7. Какое пространство называется конечномерным?
8. Какое пространство называется бесконечномерным?
9. Как принято называть элементы линейного про-
странства?
10. Что называется размерностью линейного пространства?
Вопросы для самоконтроля
75
Тест
1. Могут ли быть изоморфными конечномерные линей-
ные пространства?
а) да, могут;
б) нет, не могут;
в) это не определено, так как не имеет практического
смысла;
г) нет верного ответа.
2. Линейные пространства являются конечномерными.
Могут ли они быть изоморфными?
а) нет, не могут, так как это противоречит определению
изоморфности;
б) не могут, потому что они конечно определены;
в) да, могут;
г) нет верного ответа.
3. Каждое линейное пространство над каким-либо по-
лем изоморфно линейному пространству строк. Верно ли это?
а) да, утверждение верно;
б) нет, это неверно;
в) все зависит от класса и порядка матрицы;
г) нет верного ответа.
4. Линейное пространство является бесконечномерным
линейным пространством тогда, когда:
а) в нем нет базиса из конечного числа элементов;
б) в нем есть конечный базис;
в) в нем нет базиса вообще;
г) это противоречит определению изоморфности.
5. Как называется линейное пространство, в котором
нет базиса из конечного числа элементов?
а) бесконечным;
б) неопределенным;
76
в) бесконечномерным;
г) определенным.
6. В каком случае линейное пространство может быть
бесконечномерным?
а) тогда, когда оно не имеет нулевых элементов;
б) когда оно является пространством прямоугольных
матриц;
в) когда в нем нет базиса из конечного числа элемен-
тов;
г) нет верного ответа.
7. Если определитель матрицы равен нулю, то:
а) строки транспонированной матрицы линейно зави-
симы;
б) определитель транспонированной матрицы равен 1;
в) определитель транспонированной матрицы равен 0;
г) верны ответы а и в.
8. К примерам линейных пространств можно отнести:
а) пространство строк;
б) пространство столбцов;
в) пространство прямоугольных матриц;
г) все ответы верны.
9. К понятию линейных пространств принято относить:
а) пространство квадратных матриц;
б) пространство многочленов;
в) пространство непрерывных вещественных функций;
г) все ответы верны.
10. Относится ли пространство многочленов к линей-
ным пространствам?
а) нет, не относится;
б) да, относится;
в) зависит от порядка многочлена;
г) все ответы верны.
77
11. Линейное пространство над любым полем пред-
ставляет собой:
а) только множество с операцией сложения;
б) множество с операциями сложения и умножения;
в) только множество с операцией умножения;
г) все ответы верны.
12. В линейном пространстве должна обеспечиваться
ассоциативность сложения. Так ли это?
а) нет, утверждение неверно;
б) да, это действительно так;
в) это зависит от ряда специфических условий;
г) все ответы верны.
13. Верно ли, что в линейном пространстве не должна
выполняться коммутативность сложения?
а) да, это полностью соответствует определению;
б) нет, это неверно;
в) это связано с рядом трудностей, однако верно;
г) все ответы верны.
14. В линейном пространстве операция сложения
должна быть коммутативной, а ассоциативность – нет. Так ли
это?
а) правильно обратное;
б) утверждение неверно;
в) да, это верно;
г) все ответы верны.
15. Существование нейтрального элемента для линей-
ного пространства:
а) необходимо;
б) не имеет значения;
в) не определено;
г) все ответы верны.
78
16. Правильно ли утверждение, что для линейного про-
странства должен существовать нейтральный элемент?
а) да, это правильно;
б) нет, это противоречит определению;
в) это верно только для пространства прямоугольных
матриц;
г) нет правильного ответа.
17. Верно ли, что нейтральный элемент линейного про-
странства определяется для операции умножения?
а) да, это верно;
б) нет;
в) это может быть правильно только в некоторых част-
ных случаях;
г) нет правильного ответа.
18. Умножение элемента линейного пространства на 1
дает в результате:
а) сам элемент;
б) единицу;
в) ноль;
г) два.
19. Меняется ли произведение от перемены мест множите-
лей, которыми являются элементы линейного пространства?
а) нет, не меняется;
б) не меняется только в частных случаях;
в) меняется всегда;
г) нет правильного ответа.
20. Если сумма двух одинаковых элементов линейного
пространства равна этому элементу, то это значит, что:
а) этот элемент равен единице;
б) этот элемент равен нулю;
в) этот элемент – неопределенный детерминант;
г) нет правильного ответа.
79
Задачи для самостоятельного решения
657
305
412
А
),,53()(
)2,2,3()(
)2,,33()(
)2,,32()(
2333
1121
3323
2331
xxxxx
xxxxx
xxxxx
xxxxx
)232,2,2()(
3213321
хxxххxxx
132
100
211
А
538
017
324
А
(по вариантам)
Вариант 1
1. Найти собственные векторы и собственные значения
линейного оператора, заданного в некотором базисе матрицей:
.
2. Какие операторы не являются линейными:
3. Определить соответствие линейного оператора его
матрице:
;
.
Вариант 2
1. Найти собственные векторы и собственные значения ли-
нейного оператора, заданного в некотором базисе матрицей:
.
80
2. Какие операторы не являются линейными?
),6,24()(
)3,7,42()(
),3,55()(
),,42()(
2333
1121
3323
2331
xxxxx
xxxxx
xxxxx
xxxxx
)232,2,2()(
3213321
хxxххxxx
142
101
232
А
3. Определить соответствие линейного оператора его
матрице:
;
.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]