Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Алгебра и аналитическая геометрия. Учебное пособие
.pdf
111
5. Верно ли определение? Рангом квадратичной формы,
заданной на линейном пространстве Vn, называется ранг ее
матрицы в некотором, а значит и в любом базисе пространства
Vn (обозначается rang k):
а) да;
б) нет;
в) не всегда;
г) нет правильного ответа.
6. Набор переменных называется …, если в нем значе-
ние хотя бы одной из переменных отлично от нуля. В противном случае набор переменных называется …:
а) нетривиальным, нетривиальным;
б) нетривиальным, тривиальным;
в) тривиальным, нетривиальным;
г) нет правильного ответа.
7. Верно ли данное следствие? При линейном невыро-
жденном преобразовании переменных определитель матрицы
квадратичной формы не меняет знака:
а) да;
б) нет;
в) не всегда;
г) нет правильного ответа.
8. … действительной квадратичной формы называется
такой ее канонический вид, в котором отличные от нуля коэффициенты при квадратах равны 1 или –1:
а) нормальным видом;
б) эквивалентным видом;
в) каноническим видом;
г) нет правильного ответа.
112
9. Все канонические виды одной квадратичной формы
на действительном линейном пространстве имеют одинаковое
число положительных коэффициентов и одинаковое число отрицательных коэффициентов. Нормальный вид квадратичной
формы определяется однозначно с точностью до порядка следования коэффициентов. Это закон …:
а) энергии;
б) квадрата;
в) инерции;
г) нет правильного ответа.
10. Квадратичная форма называется …, если она принимает положительные значения для любого нетривиального
набора переменных:
а) положительно определенной;
б) отрицательно определенной;
в) положительно (отрицательно) полуопределенной;
г) нет правильного ответа.
113
Практические задания по курсу
1 2 1 2 1 2
, , ,z z z z z z
1
2
z
z
1
6 8 ,zi
2
53zi
zRe
zIm
)93()27(
2
ii
943424144
... iiiii
2
42
7
i
iizii 93)28()43)(27(
)
6
sin
6
(cos4
i
iz 84
6
45 i
0148
2
zz
018663
234
zzzz
«Алгебра и аналитическая геометрия»
1. Найти
.
2. Найти действительную
следующего комплексного числа:
3. Вычислить:
4. Вычислить:
5. Решить уравнение:
6. Представить комплексное число в алгебраической
форме:
7. Найти показательную и тригонометрическую форму
для комплексного числа:
.
, если:
и мнимую
части
.
.
.
.
8. Вычислить:
9. Решить уравнения:
.
;
.
114
10. Найти произведение матриц А и В, если:
657
305
939
А
214
530
0114
В
532
184
518
А
697
643
423
В
3612
8631
5432
3529
А
546)(
2
xxxf
53
114
A
450
08
1 10 9
24
8 6 3
8 7 5
3 4 6
2 6 6
А
11. Даны матрицы А и В:
Найти: 2А+3В, –4А–7В, –2ВТ+7АТ, А2–5В.
12. Привести матрицу А к ступенчатому виду:
13. Найти значение многочлена
матрицы А:
14. Вычислить определители:
;
;
.
.
.
от
.
элементов матрицы А:
.
15. Найти миноры и алгебраические дополнения всех
.
115
16. Найти матрицу, обратную данной, и выполнить
5 7 1
4 6 9
2 3 10
А
1 6 3 8
0 5 2
1 4 4 2
2 6 6
0 2 7 7
6 2 3
4 5 0 3
1 4 7
1 8 3 0
6 2 7xx
2
38
4 3 0
1 0 2
x
x
проверку:
17. Вычислить определители, используя свойства опре-
делителей:
18. Решить уравнения:
.
.
;
.
116
Итоговый тест по дисциплине
а) 25;
в) 7;
б) 1;
г) 5.
а) число;
в) таблица чисел;
б) матрица;
г) вектор.
«Алгебра и аналитическая геометрия»
Вариант 1
1. Что представляет собой число i?
а) число, квадратный корень из которого равен –1;
б) число, квадрат которого равен –1;
в) число, квадратный корень из которого равен 1;
г) число, квадрат которого равен 1.
2. Выражение z= a+bi называется:
а) вещественной частью комплексного числа;
б) мнимой частью комплексного числа;
в) тригонометрической формой комплексного числа;
г) алгебраической формой комплексного числа.
3. Модуль комплексного числа z = 4 + 3i равен:
4. Определитель – это:
киванием строки и столбца;
5. Минор определителя – это:
а) сумма элементов главной диагонали;
б) произведение элементов главной диагонали;
в) другой определитель, полученный из данного вычер-
г) алгебраическое дополнение элемента определителя.
117
6. Действительная полуось гиперболы
1
1625
22
yx
а) 25;
в) 4;
б) 16;
г) 5.
1
1625
22
yx
а) 25;
в) 4;
б) 16;
г) 5.
43
12
а) 8;
в) 5;
б) 11;
г) –3.
а) эллипс, не вырожденный
в окружность;
в) парабола;
б) гипербола;
г) окружность.
133
1 zyх
а) 3x+2y+z–3=0;
в) –3x+3y+z+10=0;
б) 3x+2y+z+2=0;
г) нет правильного
ответа.
а) x+2y+2=0;
в) 2x+2y+4=0;
б) –2x+2y+4=0;
г) 2x+2y+2=0.
а) 10;
в) 12;
б) 14;
г) 11.
равна:
7. Мнимая полуось гиперболы
8. Определитель
равен:
9. Кривой II порядка 8x2+20y2-24x+y=7 является:
10. Уравнением плоскости, проходящей через точку
А(2; – 1; –1) и перпендикулярной прямой l:
11. Прямая, проходящая через точку А(–2;0) и па-
раллельная прямой 2x+2y+2=0 имеет вид:
равна:
, является:
12. Длина стороны АВ в ΔАВС с вершинами А (3;3),
В (9;11), С (15;7) равна:
118
13. Подмножество данного линейного пространства,
а) нет правильного ответа;
в) k;
б) 1;
г) n;
а) нет правильного ответа;
в) не ортогональный;
б) ортонормированный;
г) ортогональный.
а) нет правильного ответа;
в) смешанное произведение;
б) векторное произведение;
г) скалярное произведение.
а) –27;
в) –26;
б) 27;
г) 26.
а) 30;
в) 9;
б) 28;
г) 29.
замкнутое относительно линейных операций, введенных в
данном линейном пространстве, является:
а) замкнутым подпространством;
б) линейным подпространством;
в) линейным пространством;
г) нет правильного ответа.
14. Число собственных значений самосопряженного
оператора, действующего в n-мерном евклидовом пространстве, равно с учетом их кратности k числу:
15. Если линейный оператор А, действующий в евклидовом пространстве Е, сохраняет евклидову норму, то этот
оператор:
16. Оператор А, действующий в евклидовом пространстве Е, называют ортогональным оператором, если он сохраняет в Е:
17. Скалярное произведение векторов (–1, –1,2) и (4,5, –9)
равно:
18. Квадрат длины вектора с координатами (3, –4,2) равен:
119
19. Векторы
),5,3(a
)16,20,12(b
а) –2;
в) 4;
б) 2;
г) –4;
1 2 3
1 2 3
3 2 1
2 2 0,
3 7 0,
3 2 4 0.
х х х
х х х
х х х
а) одно нулевое решение;
в) одно ненулевое решение;
б) бесконечно много
решений;
г) нет решений.
а) Декарт;
в) Кардано;
б) Эйлер;
г) Муавр.
а) сопряженными;
в) обратными;
б) противоположными;
г) мнимыми.
а) 2+i;
в) 2+3i;
б) 4+3i;
г) –3–2i.
а) нулю;
в) дробному значению;
б) отрицательному
значению;
г) бесконечности.
при равном:
20. Система линейных уравнений
имеет:
1. Термин «мнимые числа» ввел:
2. Числа a+bi и a–bi называются:
и
Вариант 2
коллинеарны
3. Вычислить: (3–i) + (–1+2i)
4. Чему не может быть равен определитель?
5. Алгебраическое дополнение каждого элемента равно:
а) минору этого элемента, взятому с противоположным
знаком;
120
б) минору этого элемента, взятому со своим знаком;
1
2516
22
yx
а) 25;
в) 4;
б) 16;
г) 5.
1
2516
22
yx
а) 25;
в) 4;
б) 16;
г) 5.
14
23
а) –8;
в) –5;
б) 11;
г) 3.
а) эллипс, не вырожденный в окружность;
в) парабола;
б) гипербола;
г) окружность.
а) x–5y+z–28=0;
в) x–5y+z–55=0;
б) 3x+2y+z+5=0 ;
г) 3x–10y+z-55=0.
в) минору этого элемента, взятому со своим знаком, если
сумма номеров строки и столбца, на пересечении которых стоит
данный элемент, нечетно, и с обратным знаком, если – четно;
г) минору этого элемента, взятому со своим знаком, если
сумма номеров строки и столбца, на пересечении которых стоит
данный элемент, четно, и с обратным знаком, если – нечетно.
6. Действительная полуось гиперболы
7. Мнимая полуось гиперболы
8. Определитель
равен:
равна:
равна:
9. Кривой II порядка 4x2–11y2–23x+y=20 является:
10. Общее уравнение плоскости, содержащей точку
А(1; –5;2) и параллельной плоскости 3x–10y+z–2=0, имеет вид:
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]