Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Алгебра и аналитическая геометрия. Учебное пособие
.pdf
101
Задачи для самостоятельного решения
1
2
3
4
( 2;6;3; 4);
(1; 5;2;1);
(3; 2;10; 1);
(3; 2;0; 5);
а
а
а
а
)2;4;1(х
,,,
321
еее
3213
3212
3211
634
235
327
ееее
ееее
ееее
321
423 ааа
321
,, ааа
)4;1;1;0(),4;3;1;2(),4;0;1;3(
321
ааа
1
( 2;5),а
2
( 3; 4),а
3
( 7;3)а
)342(2)3(3
311
хааха
1. Выяснить линейную зависимость систем векторов:
2. Вектор
в «старом» базисе е1, е2, е3 задан
своими координатами. Найти координаты этого вектора в
«новом» базисе
если «новые» базисные векторы
выражаются через «старые» базисные векторы по формулам:
3. Определить, является ли базисом пространства R3
система векторов:
(–1; 4; 5), (0; –1; 5), (–3; 2; 0)
4. Найти линейную комбинацию
векторов
, если:
.
5. Решить уравнение, если
:
.
6. При каких значениях параметра система векторов
(–1; 2; 2; –1), (–4; 5; –1; –1), (–2; 4; ; –5), (–3; ; 2; 1)
является базисом пространства R4?
102
Раздел 9. Евклидовы и унитарные пространства
Векторное пространство V вместе с заданным на нем ска-
лярным произведением называется евклидовым пространством.
Вопросы для самоконтроля
1. Сформулируйте простейшие свойства евклидовых и
унитарных пространств.
2. Какие векторы в евклидовом пространстве называ-
ются ортогональными?
3. Какой процесс называется процессом ортогонализа-
ции Грама – Шмидта?
4. Дайте определение изоморфных евклидовых про-
странств.
5. Что называется нормой вектора в евклидовом про-
странстве?
6. Какими свойствами обладает норма вектора?
7. Что называется нормой линейного преобразования
евклидова пространства?
8. Какое линейное отображение называется сопряженным?
9. Дайте определение ортогональных преобразований.
10. Перечислите свойства ортогональных преобразований.
11. Дайте определение симметрических преобразований.
12. Перечислите свойства симметрических преобразо-
ваний.
103
Задачи для самостоятельного решения
1
2
3
4
( 2;6;3; 4);
(1; 5;2;1);
(3; 2;10; 1);
(3; 2;0; 5).
а
а
а
а
(по вариантам)
Вариант 1
1. Определить, какие из векторов являются нормиро-
ванными векторами пространства Е4:
(–1; 0; 1; 1), (–1; –1; 0; 0), (0,5; 0,5; –0,5; 0,5), (–0,2; 0; 0,2; 1).
2. Определить последовательность векторов в порядке
убывания их норм (длин):
(–1; 4; 1; 1), (2; –1; 0; 0), (4; 3; 2; 1), (0; 0; 0,2; 1).
3. В евклидовом пространстве Е4 найти угол между
следующими парами векторов:
a=(–3; –1; 2; –5), b=(–1; 2; –3; –1).
4. Выяснить, являются ли ортогональными (ортонормиро-
ванными) следующие системы векторов из пространства Е4:
Вариант 2
1. Определить, какие из векторов являются нормиро-
ванными векторами пространства Е4:
(1; 0; 2; 1), (1; 1; 0; 0), (0,7; 0,7; –0,7; 0,7), (–0,7; 0.7; 0,7; 1)
2. Определить последовательность векторов в порядке
убывания их норм (длин):
(–3; 4; 3; 3), (–2; 1; 0; 1), (4; 3; 2; 1), (0; 0; 0; 0).
3. В евклидовом пространстве Е4 найти угол между
следующими парами векторов:
a=(3; 1; 2; 5), b=(1; 2; 3; 1).
104
4. Выяснить, являются ли ортогональными (ортонормиро-
1
2
3
4
( 3;6;0; 4);
(1;2;8;1);
(0; 2;7; 1);
(1; 2; 0; 5).
а
а
а
а
1
2
3
4
( 7; 6;3;0);
( 1;0; 2;1);
(3; 2;0; 5);
( 3;0;0; 5).
а
а
а
а
ванными) следующие системы векторов из пространства Е4:
Вариант 3
1. Определить, какие из векторов являются нормиро-
ванными векторами пространства Е4:
(–2; 0; 2; –2), (0,2; 0,2; 0; 0,2), (5; 5; –5; 5), (–0,2; 0; 0,2; 1).
2. Определить последовательность векторов в порядке
убывания их норм (длин):
(–3; 0; 3; 3), (0; 5; 0; 0), (–4; -3; –2; –1), (0; 0; 0; 0).
3. В евклидовом пространстве Е4 найти угол между
следующими парами векторов:
a=(3; –6; –8; 5), b=(12; 0; –7; –1).
4. Выяснить, являются ли ортогональными (ортонормиро-
ванными) следующие системы векторов из пространства Е4:
Вариант 4
1. Определить, какие из векторов являются нормиро-
ванными векторами пространства Е4:
(–1; 0; 1; 1), (–4; –4; 4; 4), (0,5; 1; 10,5; 1), (–5; 0; 5; 1).
2. Определить последовательность векторов в порядке
убывания их норм (длин):
(–1; –4; 5; 1), (1; 0; 0; 0), (7; 5; 3; 1), (–4; –6; –8; –10).
105
3. В евклидовом пространстве Е4 найти угол между
1
2
3
4
(1;2;3;4);
( 1; 2; 3; 4);
( 4; 2;0; 1);
(4; 2;0; 2).
а
а
а
а
1
2
3
4
(1; 2;3;4);
( 1;0; 3;0);
( 3;2; 0; 1);
(4;3;2;1).
а
а
а
а
следующими парами векторов:
a=(–2; 0; 2; –2), b=(–1; –3; –3; –1)
4. Выяснить, являются ли ортогональными (ортонорми-
рованными) следующие системы векторов из пространства Е4:
Вариант 5
1. Определить, какие из векторов являются нормиро-
ванными векторами пространства Е4:
(1; 1; 1; 1), (–1; –1; 1; 1), (–1; –1; 7; –7), (–2; 0; 2; 1).
2. Определить последовательность векторов в порядке
убывания их норм (длин):
(–1; 0; 1; 1), (–4; –4; 4; 4), (0,5; 1; 10,5; 1), (–5; 0; 5; 1).
3. В евклидовом пространстве Е4 найти угол между
следующими парами векторов:
a=(–4; 4; –4; –4), b=(1; 3; 3; 1).
4. Выяснить, являются ли ортогональными (ортонормиро-
Вариант 6
1. Определить, какие из векторов являются нормиро-
ванными векторами пространства Е4:
(–1; 0; 1; 1), (–4; –4; 4; 4), (0,5; 1; 10,5; 1), (–5; 0; 5; 1).
4
:
106
2. Определить последовательность векторов в порядке
1
2
3
4
(1;2;3;4);
( 6;0;0;6);
( 1;0;0; 1);
( 4; 3; 2; 1).
а
а
а
а
1
2
3
4
( 1; 2; 3; 4);
(1;6;3;6);
( 1; 2; 2; 1);
(4;3;2;1).
а
а
а
а
убывания их норм (длин):
(1; 0; 2; 1), (1; 1; 0; 0), (0,7; 0,7; –0,7; 0,7), (–0,7; 0.7; 0,7; 1).
3. В евклидовом пространстве Е4 найти угол между
следующими парами векторов:
a=(4; 3; 2; 1), b=(–1; –2; –3; –4).
4. Выяснить, являются ли ортогональными (ортонорми-
рованными) следующие системы векторов из пространства Е4:
Вариант 7
1. Определить, какие из векторов являются нормиро-
ванными векторами пространства Е4:
(–1; 1; 1; –1), (–4; 2; 2; 4), (5; 1; 5; 1), (3; 4; –4; –3).
2. Определить последовательность векторов в порядке
убывания их норм (длин):
(–1; 0; 1; 1), (–1; –1; 0; 0), (0,5; 0,5; –0,5; 0,5), (–0.2; 0; 0,2; 1).
3. В евклидовом пространстве Е4 найти угол между
следующими парами векторов:
a=(–4; –3; –2; –1), b=(–1; –2; –3; –4).
4. Выяснить, являются ли ортогональными (ортонормиро-
ванными) следующие системы векторов из пространства Е4:
107
Вариант 8
1
2
3
4
(1;0;3;0);
( 6;1;1;6);
(1;0;0;1);
( 4;0;0;1).
а
а
а
а
1. Определить, какие из векторов являются нормиро-
ванными векторами пространства Е4:
(–1; –4; 5; 1), (1; 0; 0; 0), (7; 5; 3; 1), (–4; –6; –8; –10).
2. Определить последовательность векторов в порядке
убывания их норм (длин):
(1; 0; 0; –6), (1; 1; 1; 1), (7; 7; –7; 7), (5; 7; 9; 11).
3. В евклидовом пространстве Е4 найти угол между
следующими парами векторов:
a=(1; 0; 3; 0), b=(1; 2; 3; 4).
4. Выяснить, являются ли ортогональными (ортонормиро-
ванными) следующие системы векторов из пространства Е4:
Вариант 9
ванными векторами пространства Е4:
убывания их норм (длин):
следующими парами векторов:
1. Определить, какие из векторов являются нормиро-
(–1; 1; –1; 1), (4; 4; 4; 4), (5; 1; 10; 1), (–5; 0; 0; –1).
2. Определить последовательность векторов в порядке
(–3; 3; 3; 3), (–6; –5; –4; –3), (4; 3; 2; 1), (0; 0; 0; 0).
3. В евклидовом пространстве Е4 найти угол между
a=(7; 4; 3; 1), b=(1; –8; –6; 4).
108
4. Выяснить, являются ли ортогональными (ортонормиро-
1
2
3
4
(4;5;6;7);
( 6; 5; 4; 3);
( 1; 1; 1; 1);
(4;3;2;1).
а
а
а
а
1
2
3
4
( 4; 5; 6; 7);
( 6;5;4; 3);
( 1;1; 1;1);
(4;0;0;1).
а
а
а
а
ванными) следующие системы векторов из пространства Е4:
Вариант 10
1. Определить, какие из векторов являются нормиро-
ванными векторами пространства Е4:
(1; 0; 1; 1), (4; –2; –2; 4), (5; 1; 1; 1), (–5; 0; 0; 0).
2. Определить последовательность векторов в порядке
убывания их норм (длин):
(–3; 3; 3; –3), (6; 5; 4; 3), (4; 3; 2; 1), (9; 7; 5; 3).
3. В евклидовом пространстве Е4 найти угол между
следующими парами векторов:
a=(–7; –4; –3; –1), b=(0; –8; 0; 4).
4. Выяснить, являются ли ортогональными (ортонорми-
рованными) следующие системы векторов из пространства Е4:
109
Раздел 10. Билинейные и квадратичные формы
Линейной формой называется линейное отображение
линейного n-мерного пространства в одномерное арифметическое пространство вещественное или комплексное.
Билинейной формой, или билинейной функцией на ли-
нейном пространстве называется функция от двух векторов
b(x; y), линейная по каждому из своих аргументов.
Вопросы для самоконтроля
1. Что называется линейной формой?
2. Что называется билинейной формой?
3. Приведите примеры билинейной формы.
4. Какую билинейную форму называют симметричной?
5. Что является квадратичной формой?
6. Какой вид квадратичной формы называют диаго-
нальным?
7. Какой вид квадратичной формы называют канониче-
ским?
8. Что называется сигнатурой?
9. Сформулируйте закон инерции квадратичной формы.
10. Сформулируйте теорему о приведении квадратич-
ной формы к диагональному виду.
11. Какая квадратичная форма называется положитель-
но определенной?
12. Какая квадратичная форма называется отрицатель-
но определенной?
110
Тест
1. Для того чтобы гиперповерхность S была централь-
ной, необходимо и достаточно, чтобы:
а) уравнения центра имели несколько решений;
б) определитель был не равен нулю;
в) определитель был равен нулю;
г) нет правильного ответа.
2. Квадратные матрицы В и В' называются …, если они
связаны соотношением, где Т – невырожденная матрица:
а) векторными;
б) конгруэнтными;
в) невырожденными;
г) нет верного ответа.
3. Билинейная форма на линейном пространстве назы-
вается …, если ее матрица в некотором, а значит и в любом
базисе пространства Vn невырождена:
а) векторной;
б) конгруэнтной;
в) невырожденной;
г) нет верного ответа.
4. Верно ли данное следствие? Если матрица билиней-
ной формы в одном из базисов пространства Vn невырождена,
то в любом другом базисе матрица этой билинейной формы
также невырождена:
а) да;
б) нет;
в) не всегда;
г) нет правильного ответа.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]