Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Алгебра и аналитическая геометрия. Учебное пособие
.pdf
81
Раздел 4. Элементы векторной алгебры
Вектор – отрезок определенной длины, одна из ограничи-
вающих точек которого принята за начало, а другая – за конец.
Векторы называются коллинеарными, если они распо-
лагаются на одной прямой или на параллельных прямых, то
есть если существует прямая, которой они параллельны.
Векторы называются компланарными, если они лежат в
одной плоскости или если существует плоскость, которой они
параллельны.
Вопросы для самоконтроля
1. Какие векторы называются линейно зависимыми?
2. Сформулируйте линейные операции над векторами в
координатах.
3. Что называется скалярным произведением векторов?
4. Перечислите свойства скалярного произведения.
5. Дайте определение векторного произведения векторов.
6. Что подразумевается под смешанным произведением
векторов?
Тест
1. Вектор A=(1, –2, –3). Найти координаты вектора, ко-
торый в 3 раза длиннее вектора А и противоположно с ним
направлен:
а) (3, –6, –9);
б) таких векторов не существует;
в) (–3,6,9);
г) (3,6, –9).
82
2. Вектор, образующий с осями Ox, Oy, Oz углы π/4,
π/4, π/4, имеет координаты:
а) (1,1,1);
б) (0,1,1);
в) (–1,0,1);
г) (1,1,0).
3. Вектор а=(0,1, –1) образует с осями Ox, Oy, Oz углы:
а) 60°, 90°, 45°;
б) 25°, 45°, 45°;
в) 90°, 45°, 45°;
г) 90°, 90°, 90°.
4. В сферической системе координат точка A(√2;−√2;2)
будет иметь координаты:
а) (2√2;3π/4;π/4);
б) (2√2;π/4;3π/4);
в) (√2;π;π);
г) (2√2;π/4;π/4).
5. Даны векторы a(−1;−3;4), b(α;8;β), c(2;1;−3). Если
вектор b перпендикулярен вектору d=a+c, то удвоенная сумма
значений α и β равна:
а) 5;
б) 6;
в) 16;
г) 0.
6. Если отрезок AB, где A(2;−1), B(5;8), разделить точками C и D на три равные части, то произведение координат
точек C и D будет равно:
а) 100;
б) 110;
в) 120;
г) 130.
83
7. Угол между ребрами CA и CB пирамиды с вершина-
ми в точках A(1;3;−2), B(3;1;0), C(3;1;−1), D(2;−3;1) равен:
а) –arccos1/3;
б) π–arccos1/3;
в) π;
г) arccos1/3.
8. Сумма проекций ребра AD на ребра BD и CD пирамиды с вершинами в точках A(1;3;−2), B(3;1;0), C(3;1;−1),
D(2;−3;1) равна:
а) 39;
б) 3√2+√21;
в) (273√2+87√2)/163;
г) 0.
9. Объем пирамиды с вершинами в точках A(1;3;−2),
B(3;1;0), C(3;1;−1), D(2;−3;1) равен:
а) 5/3;
б) 10/3;
в) 5;
г) 10.
10. Площадь грани BCD пирамиды с вершинами в точках A(1;3;−2), B(3;1;0), C(3;1;−1), D(2;−3;1) равна:
а) √38;
б) √5;
в) 4√25;
г) 0.
11. Высота AH пирамиды с вершинами в точках
A(1;3;−1), B(3;1;0), C(3;1;−1), D(2;−3;1) равна:
а) 5/√38;
б) √38;
в) 5;
г) √38/5.
84
12. Даны векторы: a(3;0;−4), b(2;2;−1), c(−4;0;3),
№
варианта
А В С
1
(1; −8;2)
(4; −3;2)
(3; −2;8)
2
(1;5; −6)
(−1;8; −2)
(5; −1; −7)
3
(1; −4;9)
(0; −4;0)
(0;6;0)
4
(9;0;0)
(4;9;6)
(6;6;6)
5
(−7; −2;4)
(7;2;7)
(8;-2;5)
6
(4;5;7)
(−4; −7;0)
(−1;1; −1)
7
(4; −3;0)
(−4; −8;4)
(4;9;2)
8
(0;5; −4)
(1;8; 4)
(9; −3;5)
9
(2;2; −3)
(8;-6; −3)
(9;0;0)
10
(4;7;2)
(8; −7;2)
(−7; −2;4)
11
(7;3;3)
(−7; −3; −3)
(4;5;7)
d(6;6;−3). Образуют базис векторы:
а) a, b;
б) a, b, c;
в) a, c;
г) b, d.
13. Модуль смешанного произведения векторов a=i−2j,
b=2i−j−3k и c=i−k−6j равен:
а) 14;
б) 12;
в) 8;
г) 4.
Задачи для самостоятельного решения
(по вариантам)
Даны координаты точек A, B, C. Найти скалярное про-
изведение векторов АВ и АС, косинус угла между векторами:
85
12
(3;9;6)
(6;6;6)
(4; −3;0)
13
(4; −3;2)
(−3;7;0)
(0;5; −4)
14
(−1;8; −2)
(−8;5;4)
(2;2; −3)
15
(0; −4;0)
(3;5;0)
(8; −6; −3)
16
(4;9;6)
(7;6;7)
(8; −7;2)
17
(7;2;7)
(4; −3;0)
(−7; −3; −3)
18
(5; −1; −7)
(0;5; −4)
(6;6;6)
19
(0;6;0)
(2;2; −3)
(−3;7;0)
20
(6;6;6)
(4;7;2)
(−8;5;4)
21
(8; −2;5)
(7;3;3)
(3;5;0)
22
(−1;1; −1)
(3;9;6)
(4;-3;2)
23
(4;9;2)
(3;5;5)
(−1;8; −2)
24
(9; −3;5)
(−7;0;4)
(0; −4;0)
25
(2;6;4)
(3;-3;9)
(4;9;6)
26
(9;1; −8)
(0;0;0)
(7;2;7)
27
(3;2;0)
(3; −2;8)
(−7; −2;4)
28
(−2; −5;7)
(5; −1; −7)
(4;5;7)
29
(6;5; −4)
(4;4;5)
(4; −3;0)
30
(3;0;0)
(3;2;0)
(0;5; −4)
86
Раздел 5. Линейные образы.
Прямая на плоскости
Уравнением линии на плоскости ХОУ называется
уравнение, которому удовлетворяют координаты х и у каждой
точки этой линии и не удовлетворяют координаты любой точки, не лежащей на этой линии.
Если точка М (х; у) передвигается по линии L, то ее координаты х и у, изменяясь, все время удовлетворяют уравнению этой линии. Поэтому координаты точки М называются
текущими координатами точки данной линии.
Вопросы для самоконтроля
1. Какой вид имеет общее уравнение прямой?
2. Какой вид имеет уравнение прямой в отрезках?
3. Какой вид имеет уравнение прямой с угловым коэф-
фициентом?
4. Какой вид имеет параметрическое уравнение прямой?
5. Какой вид имеет уравнение прямой, проходящей че-
рез две заданные точки?
6. Как найти расстояние от точки до прямой?
7. Как найти угол между прямыми?
8. Что называется вектором нормали к прямой?
9. Какой вид имеет уравнение прямой, проходящей че-
рез заданную точку и имеющей заданный вектор нормали?
87
Задачи для самостоятельного решения
№ варианта
А В С
1
(−6;3)
(4;7)
(0; −3)
2
(7; −1)
(−2;11)
(3; −6)
3
(2;5)
(0; −3)
(−5; −3)
4
(−2;3)
(4;9)
(11; −7)
5
(0; −3)
(−13;7)
(12; −3)
6
(−7;8)
(5;-5)
(0; −9)
7
(4; −3)
(-4;15)
(1; −1)
8
(−5;5)
(11;0)
(13; −3)
9
(7;0)
(9;6)
(6; −8)
10
(−5; −9)
(−4;7)
(24; −4)
11
(2; −6)
(14;1)
(7; −3)
12
(4;8)
(2;-8)
(0; −9)
13
(−8;1)
(3;11)
(3; −8)
14
(2; −7)
(5;7)
(−5; −3)
15
(−3; −6)
(11; −3)
(0; −22)
16
(7; −5)
(4;-5)
(15; −8)
17
(8; −2)
(0;7)
(5;9)
18
(−4; −1)
(11; −5)
(−5; −7)
19
(−1;8)
(6;7)
(−9;9)
20
(0; −1)
(−4;7)
(11; −3)
21
(6;9)
(3; −3)
(4; −3)
22
(−2;3)
(19;-5)
(7; −8)
23
(12;3)
(1;1)
(−5;6)
24
(6;11)
(−5;7)
(9;7)
25
(−9;4)
(3;7)
(4; −8)
26
(0; −2)
(4; −12)
(−5;8)
27
(8;3)
(6;-9)
(14; −5)
28
(−6; −13)
(2;2)
(9;7)
29
(4;3)
(−8;7)
(8; −3)
30
(−5;3)
(2; −8)
(0; −23)
(по вариантам)
Даны вершины треугольника ABC. Найти:
1) уравнение стороны AB;
2) уравнение высоты CH;
3) уравнение медианы AM;
4) точку N пересечения медианы AM и высоты CH.
88
Раздел 6. Плоскость и прямая в пространстве
Всякое уравнение первой степени относительно координат x, y, z задает плоскость, и наоборот: всякая плоскость
может быть представлена уравнением, которое называется
уравнением плоскости:
Ax + By + Cz +D = 0.
Вектор n (A, B, C) ортогональный плоскости называется нормальным вектором плоскости.
Особые случаи:
1) D = 0, Ax+By+Cz = 0 – плоскость проходит через на-
чало координат;
2) C = 0, Ax+By+D = 0 – плоскость параллельна оси Oz;
3) C = D = 0, Ax +By = 0 – плоскость проходит через ось Oz;
4) B = C = 0, Ax + D = 0 – плоскость параллельна плос-
кости Oyz.
Вопросы для самоконтроля
1. Что является нормальным вектором плоскости?
2. Запишите уравнение плоскости, проходящей через точку.
3. Запишите общее уравнение плоскости.
4. Чему равен угол между плоскостями?
5. Сформулируйте условие параллельности и перпен-
дикулярности двух плоскостей.
6. Чему равно расстояние от точки до плоскости?
7. Запишите общее уравнение прямой.
8. Запишите векторное уравнение прямой.
9. Запишите параметрические уравнения прямой.
10. Запишите канонические уравнения прямой.
89
11. Запишите уравнение прямой, проходящей через две
точки.
12. Чему равен угол между двумя прямыми?
13. Сформулируйте условие параллельности и перпен-
дикулярности двух прямых.
1. Прямую, перпендикулярную любой прямой в плос-
кости, называют:
а) наклонной к плоскости;
б) перпендикуляром к плоскости;
в) секущей;
г) лучом.
2. Наклонной к плоскости называют прямую, пересе-
кающую плоскость и:
а) не пересекающую перпендикуляр;
б) лежащую в ней;
в) не имеющую с ней общих точек;
г) не перпендикулярную ей.
3. Параллельными называют плоскости:
а) не имеющие общих прямых;
б) у которых одна общая точка;
в) у которых две общих точки;
г) не имеющие ни одной общей точки.
4. Прямая, проходящая через основания перпендикуля-
ра и наклонной, называется:
а) секущей;
б) параллельной плоскости;
в) проекцией наклонной на плоскость;
г) перпендикуляром к плоскости.
Тест
90
5. Наклонная перпендикулярна прямой в плоскости, если:
а) перпендикуляр пересекается с проекцией наклонной
на плоскость;
б) проекция наклонной параллельна этой прямой;
в) проекция наклонной перпендикулярна этой прямой;
г) прямая совпадает с проекцией наклонной.
6. Если из точки вне плоскости провести к ней перпен-
дикуляр и наклонные, то:
а) перпендикуляр длиннее наклонной;
б) наклонная длиннее перпендикуляра;
в) проекция наклонной короче перпендикуляра;
г) наклонная и ее проекция равны.
7. Прямая параллельна плоскости, если они:
а) пересекают прямую в одной и той же точке;
б) перпендикулярны одной и той же прямой;
в) удалены от данной точки на равные расстояния;
г) пересекают плоскость в одной точке.
8. Углом между наклонной и плоскостью называют:
а) угол между наклонной и перпендикуляром;
б) угол между проекцией и перпендикуляром;
в) угол между наклонной и ее проекцией;
г) угол между наклонной и прямой в плоскости.
9. Через ... проходит единственная плоскость:
а) две точки;
б) три параллельные прямые;
в) три попарно пересекающиеся прямые;
г) четыре точки.
10. Прямая пересекает плоскость, если прямая и плоскость:
а) не имеют ни одной общей точки;
б) имеют две общие точки;
в) имеют только одну общую точку;
г) имеют три общих точки.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]