Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Алгебра и аналитическая геометрия. Учебное пособие
.pdf
31
Раздел 2. Матрицы. Определители.
Системы линейных уравнений
Суммой матриц A = (α
рица A+B =(α
ij
+ b
ij )m,n.
Произведением матрицы A =(α
ется матрица λA = (λaij)
m,n
.
Произведением матриц A = (ail)
ется матрица C = AB = (cij)
m,n,
Произведение матриц некоммутативно, т. е. AB ≠ BA.
Матрица AT , полученная из матрицы A заменой строк
соответствующими столбцами, называется транспонированной
матрице A.
Свойства операции транспонирования:
1) (AT)T = A;
2) (αA)T = αAT ;
3) (A+B)T = AT +BT ;
4) (AB)T = BT ·AT .
ij )m,n
и B =(b
ij )m,n
m,k
называется мат-
ij )m,n
на число λ называ-
и B = (blj)
называ-
k,n
где cij = ai1b1j+ai2 b2j+…+ail blj.
32
Вопросы для самоконтроля
1. Дайте определение матрицы.
2. Что понимается под равенством матриц?
3. Сформулируйте определение диагональной матрицы.
4. Какая матрица называется нулевой, единичной?
5. Какая матрица называется транспонированной?
6. Приведите пример треугольной матрицы.
7. Каким образом две матрицы складываются, вычита-
ются, умножаются?
8. Какая матрица называется противоположной?
9. Перечислите элементарные преобразования матриц.
10. Что называется определителем?
11. В чем заключается правило треугольника?
12. Перечислите свойства определителей.
13. Что называется минором элемента?
14. Что называется алгебраическим дополнением эле-
мента?
15. Какая матрица называется основной, а какая – рас-
ширенной?
16. Сформулируйте теорему Кронекера – Копелли.
17. В чем заключается метод обратной матрицы для
решения систем линейных уравнений?
18. Какова суть методов Гаусса и Крамера?
33
Тест
а) (А+В)+С=А+(В+С);
б) А+В=В+А;
в) α(А+В)=αА+αА;
г) (α+β)А=αА+βА.
а) 4*2;
б) 3*2;
в) 3*3;
г) 3*4.
1. Когда существует обратная матрица?
а) когда исходная матрица А квадратная;
б) когда исходная матрица А невырожденная;
в) когда исходная матрица А вырожденная;
г) когда определитель исходной матрицы А равен 0.
2. Рангом матрицы называется:
а) наибольший порядок нулевых миноров;
б) произведение числа строк на число столбцов матрицы;
в) число строк матрицы;
г) наибольший порядок отличных от нуля миноров.
3. Такое свойство операций над матрицами, как ассо-
циативность относительно сложения, можно записать в виде:
4. Если матрица имеет две одинаковые строки, то ее
определитель:
а) равен сумме элементов, стоящих на главной диагонали;
б) равен сумме элементов, стоящих на побочной диагонали;
в) равен нулю;
г) все ответы неверны.
5. Произведение матрицы А размерностью 3*4 на мат-
рицу В существует, если размерность матрицы В равна:
6. Как изменится определитель при транспонировании
матрицы?
а) определитель не изменится;
б) знак определителя поменяется на противоположный;
34
в) значение определителя удвоится;
111
111
111
1 0 0
0 1 0
0 0 1
0 0 1
0 1 0
1 0 0
0 1 0
1 0 1
0 1 0
14
28
32
64
27
27
31
31
0 2 2
4 0 0 ,
6 2 2
A
1 1 0
2 1 1
1 0 2
B
3 1 3
2 2 0
0 4 3
3 2 6
4 4 0
0 8 6
3 2 0
1 2 4
3 0 3
г) определитель примет значение, обратное исходному.
7. Как изменится определитель при перестановке двух
его параллельных рядов?
а) определитель не изменится;
б) знак определителя поменяется на противоположный;
в) значение определителя удвоится;
г) определитель примет значение, обратное исходному.
8. Выберите единичную матрицу из числа предложенных:
а)
; б)
; в)
9. Выберите невырожденную матрицу из числа пред-
ложенных:
а)
; б)
; в)
10. Найдите произведение матриц A/2∙B, если
:
а) произведение A/2∙B не определено;
б)
; в)
; г)
11. Выберите верное утверждение:
а) если поменять местами две строки (столбца) матри-
цы, то определитель матрицы не поменяет знак;
; г)
; г)
.
.
.
35
б) для матрицы первого порядка значение определителя
равно значению элемента этой матрицы;
в) определитель матрицы равен сумме произведений
элементов строки определителя на их алгебраические;
г) определитель матрицы равен сумме произведений
элементов строки определителя на их миноры.
12. Выберите неверное утверждение:
а) при транспонировании значение определителя мат-
рицы не меняется;
б) определитель единичной матрицы равен единице;
в) определитель матрицы с двумя равными строками
(столбцами) не равен нулю;
г) определитель матрицы, содержащий нулевую строку
(столбец), равен нулю.
13. Выберите неверное утверждение:
а) при транспонировании значение определителя мат-
рицы не меняется;
б) определитель единичной матрицы равен единице;
в) определитель матрицы с двумя равными строками
(столбцами) не равен нулю;
г) определитель матрицы, содержащий нулевую строку
(столбец), равен нулю.
14. Чему не может быть равен определитель?
а) нулю;
б) отрицательному значению;
в) дробному значению;
г) бесконечности.
36
Задачи для самостоятельного решения
2 1 4
5 0 3
7 5 6
А
214
530
873
В
9 3 7
4 8 1
2 3 5
А
5 1 1
3 4 6
796
В
8 7 1 0
2 3 4 5
1 3 6 8
2 1 6 3
А
543)(
2
xxxf
53
76
A
(по вариантам)
Тема «Матрицы»
Вариант 1
1. Найти произведение матриц А и В, если:
2. Даны матрицы А и В:
Найти: 2А+3В, −4А−7В, −2ВТ+7АТ, А2−5В.
3. Привести матрицу А к ступенчатому виду:
4. Найти значение многочлена
матрицы А:
;
;
.
.
.
от
.
5. Являются ли строки матрицы линейно независимыми?
1) (3 4 5 −2), (−6 −8 −10 −4);
2) (2 4 6 4), (2 4 7 3).
37
6. Найти максимальное число линейно независимых
246
057
213
А
153
964
220
В
4 2 8
3 0 6
4 2 3
А
2 4 8
4 2 6
6 0 2
В
2 2 6
6 2 4
2 0 4
А
5 1 1
6 3 4
7 9 6
В
4 5 2 0
1 2 3 5
3 1 3 4
4 2 3 3
А
543)(
2
xxxf
35
23
А
строк (столбцов) матриц А и В:
;
.
Вариант 2
1. Найти произведение матриц А и В, если:
;
.
2. Даны матрицы А и В:
Найти: 3А+6В, −2А−4В, −4ВТ+2АТ, А2−3В.
3. Привести матрицу А к ступенчатому виду:
.
4. Найти значение многочлена
матрицы А:
5. Являются ли строки матрицы линейно независимыми?
1) (3 4 5 −2), (−3 −4 −5 −2);
2) (1 2 3 4), (2 4 2 3).
от
.
38
6. Найти максимальное число линейно независимых
5 1 1
6 3 4
7 9 6
А
0 2 2
2 3 9
3 6 2
В
3 2 1
12 8 4
3 2 1
А
0 2 2
2 3 9
3 6 2
В
2 4 6
8 16 24
4 8 12
А
3 6 3
9 3 9
3 6 2
В
3 6 12 9
1 2 3 6
3 1 3 1
2 2 6 3
А
2
( ) 2 8 3f x x x
69
33
А
строк (столбцов) матриц А и В:
;
.
Вариант 3
1. Найти произведение матриц А и В, если:
;
2. Даны матрицы А и В:
;
Найти: 1А+3В, −3А−5В, −2ВТ+1АТ, 3А2−2В.
3. Привести матрицу А к ступенчатому виду:
.
.
4. Найти значение многочлена
матрицы А:
5. Являются ли строки матрицы линейно независимыми?
1) (2 1 3 −2), (4 2 −3 −2);
2) (1 5 1 4), (1 4 2 1).
от
.
39
6. Найти максимальное число линейно независимых
6 2 1 6 2 18
7 3 2 ; 24 3 9 .
3 4 1 3 2 3
АВ
2 1 4 4 6 3
6 0 2 ; 12 2 6 .
3 3 1 3 0 2
АВ
3 4 6 3 6 3
4 16 24 ; 9 0 9 .
2 8 12 3 6 6
АВ
4 6 6 9
1 2 3 1
3 0 3 0
2 1 6 3
А
2
2 8 3f x x x
54
1 10
А
строк (столбцов) матриц А и В:
Вариант 4
1. Найти произведение матриц А и В, если:
2. Даны матрицы А и В:
Найти: 3А+6В, −7А−1В, −4ВТ+2АТ, 6А2−1В.
3. Привести матрицу А к ступенчатому виду:
4. Найти значение многочлена
матрицы А:
.
5. Являются ли строки матрицы линейно независимыми?
1) (2 −1 10 −2), (3 −4 5 −4);
2) (3 5 1 4), (1 2 6 3).
.
от
40
6. Найти максимальное число линейно независимых
3 2 1 3 2 10
3 0 1 ; 24 3 6 .
6 2 8 3 12 2
АВ
2 2 1 10 2 12
6 0 5 ; 2 13 6 .
3 2 1 3 3 2
АВ
2 8 6 3 6 2
4 24 0 ; 9 3 0 .
2 8 6 2 4 3
АВ
2 6 27 8
1 0 3 3
3 1 9 1
2 12 6 6
А
2
3 12 5f x x x
58
43
А
строк (столбцов) матриц А и В:
Вариант 5
1. Найти произведение матриц А и В, если:
2. Даны матрицы А и В:
Найти: 7А+3В, −2А−3В, −5ВТ+1АТ, 1А2−2В.
3. Привести матрицу А к ступенчатому виду:
4. Найти значение многочлена
матрицы А:
.
5. Являются ли строки матрицы линейно независимыми?
1) (−2 1 −3 4), (−4 2 6 4)
2) (1 2 6 4), (1 4 2 4)
.
от
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]