Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Алгебра и аналитическая геометрия. Учебное пособие
.pdf
91
11. Если прямая пересекает плоскость квадрата в точке
пересечения диагоналей и перпендикулярна двум смежным его
сторонам, то она:
а) параллельна двум другим сторонам квадрата;
б) перпендикулярна диагоналям квадрата;
в) параллельна диагоналям квадрата;
г) образует с плоскостью квадрата угол в 30°.
12. Если две параллельные плоскости пересечь третьей, то:
а) линии пересечения равны;
б) линии пересечения параллельны;
в) линии пересечения перпендикулярны;
г) плоскости совпадают.
13. Если две параллельные плоскости пересечь двумя
параллельными прямыми, то:
а) прямые пересекаются в точке;
б) плоскости пересекаются по прямой, параллельной
одной из прямых;
в) отрезки, заключенные между плоскостями, равны;
г) плоскости перпендикулярны одной из прямых.
14. Если наклонная длиной 16 см образует с плоско-
стью угол в 60°, то ее проекция на плоскость равна:
а) 32 см;
б) 8 см;
в) 16 см;
г) 256 см2.
15. Наклонные АВ и АС образуют с плоскостью углы в
30° и 45°соответственно, тогда:
а) проекция наклонной АВ длиннее проекции наклон-
ной АС на плоскость;
б) наклонная АВ короче наклонной АС;
в) наклонная АС длинее;
г) проекции наклонных равны.
92
16. Если в прямоугольном треугольнике катет в 2 раза
меньше гипотенузы, то:
а) прилежащий катету угол равен 30°;
б) прилежащий катету угол равен 60°;
в) прилежащий катету угол равен 90°;
г) противолежащий угол равен 60°.
17. Перпендикуляром к плоскости называют прямую:
а) пересекающую плоскость;
б) перпендикулярную некоторой прямой в плоскости;
в) перпендикулярную любой прямой в плоскости;
г) лежащую в параллельной плоскости.
18. Та из наклонных больше, у которой:
а) проекция равна перпендикуляру;
б) проекция больше;
в) проекция меньше;
г) проекция больше перпендикуляра
19. Планиметрия – это измерения:
а) углов;
б) отрезков;
в) на плоскости;
г) в пространстве.
20. Угол между наклонной и плоскостью:
а) меньше 90°;
б) больше 90°;
в) равен 60°;
г) тупой.
93
Задачи для самостоятельного решения
1. Составьте канонические уравнения прямой:
−3x+2y−5z=0, −4x+2y+6z-3=0.
2. В пучке, определяемом плоскостями −4х+5у−3z+1=0
и −4х+3у−6z-3=0, найти две перпендикулярные плоскости, одна из которых проходит через точку А(−1,2,0).
3. Составьте уравнение плоскости, зная, что точка
В(−4, −3,1) служит основанием перпендикуляра, проведенного
из начала координат к этой плоскости.
94
Раздел 7. Линии второго порядка:
эллипс, гипербола и парабола
Окружностью называется геометрическое место точек
плоскости, равноудаленных от некоторой фиксированной точки плоскости, называемой ее центром.
Эллипсом называется геометрическое место всех точек
плоскости, сумма расстояний которых до двух данных точек
плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная.
Гиперболой называется геометрическое место точек плос-
кости, разность расстояний которых до двух данных точек F1 и F2
плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная.
Параболой называется геометрическое место точек плос-
кости, равноудаленных от данной точки F плоскости, называемой
фокусом, и данной прямой, называемой директрисой.
Вопросы для самоконтроля
1. Каким образом задается всякая кривая второго по-
рядка относительно декартовых координат?
2. Что называется окружностью?
3. Какой вид имеет каноническое уравнение окружности?
4. Что называется эллипсом?
5. Какой вид имеет каноническое уравнение эллипса?
6. Что называется гиперболой?
7. Какой вид имеет каноническое уравнение гиперболы?
8. Что является вершинами и асимптотами гиперболы?
9. Что называется параболой?
10. Какой вид имеет каноническое уравнение параболы?
11. Какой вид имеет директриса параболы?
95
Тест
1. Кривые второго порядка делятся на:
а) рожденные и нерожденные;
б) вырожденные и невырожденные;
в) прямые и кривые;
г) первые и вторые.
2. Эллипс, окружность, гипербола и парабола – это:
а) невырожденные второго порядка;
б) рожденные второго порядка;
в) прямые второго порядка;
г) рожденные первого порядка.
3. … называется геометрическое место точек плоскости,
сумма расстояний от которых до двух фиксированных точек
плоскости F1 и F2 есть величина постоянная и равная 2a
(2a>|F1F2|):
а) гиперболой;
б) эллипсом;
в) параболой;
г) линией.
4. Уравнение x2/a2+y2/b2=1 называется:
а) канонической системой координат;
б) каноническим уравнением эллипса;
в) каноническим уравнением параболы;
г) каноническим уравнением гиперболы.
5. Точки A1, A2, В1 и В2 называются:
а) фокусами эллипса;
б) фокусными точками эллипса;
в) вершинами эллипса;
г) нет правильного ответа.
96
6. Каноническое уравнение эллипса равно …, если его
22
1
25 16
xy
22
1
125 842
xy
22
1
125 842
xy
полуоси соответственно равны 5 и 4:
а)
б)
в)
;
;
;
г) нет правильного ответа.
7. Длина отрезка F1F2 (равная 2c) называется:
а) фокусным расстоянием;
б) радиусом;
в) фокальным радиусом;
г) нет правильного ответа.
8. … называется геометрическое место точек плоскости,
модуль разности расстояний от которых до двух фиксированных точек плоскости F1 и F2 есть величина постоянная и равная 2a (2a< |F1F2|):
а) гиперболой;
б) эллипсом;
в) параболой;
г) линией.
9. Точки F1 и F2 называются:
а) фокусами гиперболы;
б) фокусными точками гиперболы;
в) вершинами гиперболы;
г) нет правильного ответа.
97
10. Уравнение x2/a2–y2/b2=1 называется:
а) канонической системой координат;
б) каноническим уравнением гиперболы;
в) каноническим уравнением параболы;
г) каноническим уравнением эллипса.
11. Ось симметрии гиперболы, проходящую через фо-
кусы (ось Ox), называют … осью симметрии, а вторую ось (ось
Oy) – … осью:
а) фокальной, действительной;
б) действительной, мнимой;
в) действительной, фокальной;
г) мнимой, фокальной.
12. Прямая ℓ называется … кривой, если расстояние от
точки M кривой до прямой ℓ стремится к нулю при удалении
точки M от начала координат:
а) фокальной;
б) радиусом;
в) асимптотой;
г) гиперболой.
13. Длина отрезка F1F2 (равная 2c) называется:
а) финальным расстоянием;
б) фокальным расстоянием;
в) длиной;
г) фокусным расстоянием.
14. Если в уравнении гиперболы a=b, то гипербола на-
зывается …:
а) равносторонней;
б) равноудаленной;
в) равнобочной;
г) нет правильного ответа.
98
15. … называется геометрическое место точек плоскости, расстояние от которых до фиксированной прямой ℓ и до
фиксированной точки F (не лежащей на прямой ℓ) одинаково:
а) гиперболой;
б) эллипсом;
в) параболой;
г) линией.
16. Уравнение y2=2px называют:
а) канонической системой координат;
б) каноническим уравнением параболы;
в) каноническим уравнением гиперболы;
г) каноническим уравнением эллипса.
17. Число р называется:
а) вершиной параболы;
б) фокальным радиусом параболы;
в) фокусом параболы;
г) параметром параболы.
18. Геометрическое место точек, для которых отношение
расстояния до фиксированной точки (фокуса) к расстоянию до
фиксированной прямой (директрисы) есть величина постоянная и
равная ε, называется:
а) эллипсом, если ε…1;
б) гиперболой, если ε…1;
в) параболой, если ε… 1;
г) нет правильного ответа.
99
Задачи для самостоятельного решения
№ варианта
Эллипс
Гипербола
Парабола
1
b=11, F(–6;7)
a=14,ε=8/7
D: x=–3
2
b=10, F(5; –2)
a=12,ε=9/6
D: x=–8
3
b=9, F(6; –1)
a=9,ε=5/4
D: x=4
4
b=12, F(1;7)
a=10,ε=3/2
D: x=–4
5
b=14, F(–8;7)
a=7,ε=10/9
D: x=5
6
b=10, F(–3;6)
a=8,ε=11/10
D: x=–1
7
b=13, F(11;7)
a=13,ε=7/6
D: x=–2
8
b=15, F(–7;7)
a=15,ε=9/8
D: x=–6
9
b=19, F(3; –2)
a=11,ε=12/10
D: x=7
10
b=12, F(–2;7)
a=16,ε=9/5
D: x=1
(по вариантам)
Составить канонические уравнения:
1) эллипса;
2) гиперболы;
3) параболы.
100
Раздел 8. Линейные преобразования
линейных пространств
Вырожденное преобразование А задается вырожденной
матрицей, у которой detA = 0 (или, по теории матриц, ранг такой матрицы меньше ее размера).
Суммой линейных преобразований А и В называют
преобразование С, обозначаемое С = А + В, если для каждого
вектора x из пространства R справедливо равенство: Сх = (А +
В)х = Ax + Вx.
Вопросы для самоконтроля
1. Какую величину называют скалярной?
2. Можно ли обобщить понятие функциональной зави-
симости на векторные функции от векторного аргумента?
3. Являются ли векторные функции линейными опера-
торами?
4. Что называется оператором?
5. Какой оператор называют линейным?
6. Приведите примеры линейных преобразований.
7. Каким образом представляется линейное преобразо-
вание матрицей?
8. Какое преобразование называется вырожденным?
9. Что называется суммой линейных преобразований?
10. Каким образом выполнить умножение преобразова-
ния на число?
11. Что является произведением преобразований?
12. Дайте определение обратному преобразованию.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]