Добавил:
Nemo_Nemorino
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Шахмейстер А. Х. Серия Математика. Элективные курс в 16 книгах / Уравнения - 2011.pdf
m
Практикум 9
81
X** + 5х 4- 6 > О 4- 4- б| — X 4- 5х 4- 61
9.
х + 3
х + 5х 4- 6
х + 3
Х~ -1-5 А' 4- 6
х~ 4- 5х 4- 6 < О 4- 5х 4- 6| — ~х — 5х — 6
Х + 3
- | х 2+5 х + б|
2
= 2
(х + 3)(х + 2) > О
1
• = 2
х + 2
{х + 3)(х + 2) < О
1
■ = 2
х + 2
[(х + 3)(х + 2) > О
[х = -1,5
}(х + 3)(х + 2)< 0
Ьс = -2,5
Ответ: { -2 , 5; -1 ,5 } .
^ + 2 | - 4 =
10.
’ |х | - 1 - " •
Разобье м числовую ось ко р н ям и (нул ям и) модулей
|х4-2| = 0 и |х| = 0 на три пр ом е ж у тк а и на каж д ом
отдельно реши м ур авн ени е:
У . ^ ./Л I .
х<-2
х 4- 2 < 0; |х 4- 2| = - х - 2
а) V" " п " У; <
-а-2-4
х >- 2
х< 0
б)
х + 2 - 4
х<0; |х| = -х
- х - 1
= 3
= 3
х 4- 2 > 0; |х 4- 2| = х 4- 2
х<0; |х| = —х
х <- 2 х< - 2
-х- 6 = -3х- 3; <
х ^ - 1 х ^- 1
Л\
*
1
х< 0
У ; <
х - 2 = -Зх - 3 9
х ^- 1
);
-►х
х = 1,5 0
л\
*
1
х< 0
* = -0, 2 5 ’
х ^ - 1
х = -0,25.
m
82
Уравнения содержащие модуль
в)
х ^ О
х + 2 -4
х-1
х- ь 2 ^ 0 ; | х + 2| -х + 2
х^О; |х| = х
V
= 3
х ^ 0
х- 2 = 3х - 3 ;
Л
х ^1
х = 0,5.
Ответ: {-0,25; 0,5 }.
11.
х - 3
х 5х — 6
Разобьем числовую ось ко р н ям и (н уля ми )
модулей на четыр е части:
|х| = 0 ; х = 0 .
х = 6
|х2 — 5х — б| = 0 ;
х = -1
На к аж д о м уча ст ке реш им преобразованн ое ур а вн е
ние, р аск ры в модули:
X = -х
х<
а)
х -5 х - 6
х -5х -6 = х“ - 5 х - 6
-х -3
- = 1
х> О
х = 0,5;
х ^ 1
-> х
При этом, у чи т ыв а я , что /(х) = х2 -5 х-6 имеет
m
Практикум 9
83
\х\ = -х
О > л: > —1
б)
-х - 3
—х + 5х + 6
|х2 - 5х - б| = -х2 + 5х + 6
= 1
О > х > -1
х = 3 + Зл/2 0 .
х = 3~3^[2
6 > х ^ О
в)
х -3
-х +5х + 6
и = *
|х2 — 5х - б| = — х2 + 5л: + 6
= 1
6 > х > О
х — 2 + л/13 ; л = 2 + л/13 .
х = 2 —л/13
\
ГО > х > -1
/
\х 2 - 6х-9 = О
Гб > х > 0
/
{л2 - 4х - 9 = О ’
х \ -х
г)
л > 6
х -3
х - 5 х - 6
\х -5 х- 6
= 1
= х - 5 * - 6
Г х > 6
/
’ | х2-6 х -3 = о ’
х>6
х = 3 + 2л/з х = 3 + 2л/з .
л — 3 — 2-Уз
Ответ: 12 + л/Гз ;3 + 2л/з" |.
m
84
Уравнения содержащие модуль
12. |* + 2| + 2| х - 1| - | х + 1| = 3 .
Разобье м к о рн ям и (н уля ми ) под мо ду льн ых в ы р аже
ний ч исловую ось на п р ом еж у тк и и на ка ж д ом п ро
ме жу тк е реш им пр еобразован ное урав нен ие , пре дв ар и
тельно р ас кр ыв модул и. Зат ем объ един им все ответы.
-► х
|х + 2| = -х -2^
х < - 2
|х - 1| - -х +1
а)
ч|х + 1| = -*-1 ,
-х-2-2х + 2 + х + \ = 3
^\х + 2| = х + 2 л
-1 > х > -2
б)
ч|* + 1| = - х - \
х + 2 — 2х + 2 + х + \ = 3
^|х + 2| = х + 2^
1> х ^- 1 | х-1| = 1-д:
в)
|.х + 1| = * + 1
х+2~2х+2-х-1=3
х + 2| — х + 2
х^1 |х-1 | = х-1
г)
|х + 1| = х + 1 ^
х+ 2+2 х-2 - х -1=3
|х- 1 | = -* + ]
\х<-2
-2х = 2'
|л- = -1
[ 1 > х > -2
15 = 3 ;
|1 >х> -
-2х = О
2х = 4 х = 2
0 .
0 .
х = О
х = 2.
Ответ: { 0; 2 }.
m
Тренировочная работа 7
Тренировочная работа 7
Реш и те урав не ни я:
1. | Зх - 2| = 1.
2. |х2 +5x1 = 6 .
3. х - 2 = х .
х-3
4.
х“ + 2 х - 3
= 1.
5 х2+5[х| + 6_ 2
х~-9
6. \х + 1\ = х2 — 2х — 3
85
7. Ы 3 = |.
х + 2
8. ||х + 4|- 2| = 1
х 2- 9
9.
х 2 - 5 х + б|
10. ^т- р—- = 2 .
х-1
Ьг + 5х + 6
= 1
1 1 .
m
86 Уравнения содержащие модуль
Решение т рени ровочн ой работ ы 7
1. |3 * -2 | = 1;
Зх-2 = \
Зх-2 = -1
Ответ:
2. \х2 +5д: = 6;
х~ + 5х — —6
Ответ: (-6 ;-3 ; - 2 ; 1} .
х^О
3. х2 -2\ = х;
х2 - 2 = х ;
х2 - 2 = -х
Ответ: {1;2 }
4.
х -3
х~ + 2 х - 3
= 1;
х 1 + 2х - 3
х 2 + 2х - 3
х- 3
х - 3
Зх = 1 + 2
Зх = -\ + 2
х + 5х - 6 = 0
х2 +5х + 6 = 0
х>0
х2 - х -2 = 0;
х2 +х-2 = 0
= 1
= -1
X 1^-3
х ^ 1
х = 1
х = -
3
х — —6
х = \
х = -2’ “
х = -3
х^О
х = 2
х = -1 ;
х =-2
х = 1
х-3 = х +2х.-3
х-3 = -
-2х + 3
х = 1
х = 2'
х~ + л: = О
х2 +3х-6 = 0 (
х^-3
х = 0
х = -\
Х = ~
X -
-з+Уз з
2
- з- 7 зз ’
х = О
х = - \
х =
---------
-з- л/з з
х =
---------
-з+Т з з
2
х Ф 1
х*-3
х ^ 1
Ответ:
з + 7 зз, -з +л /з з
5 ? ? ^
m
Тренировочная работа 7
87
х 2 + 5 | х | + 6
х2 - 9
х^ 0
х + 2 = 2 ( х -3 )
<
х ^З
х < 0 х < 0
х - 2 = 2(х + 3)
х ф -3
<
Ответ: {—8 ; 8 } .
6. |* + 1| = х 2 — 2л: — 3
х - 2 х - 3 ^ 0
х ^ О (Ы = х)
х + 5х + 6
х 2 - 9
х < О (|х| = -х )
= 2
х ^ 0
< (л- + 2)(х + 3) _ 0
(.х + 3)(.х-3)
л: < О х <0
X
х - 5 х + 6
х2- 9
-2
(х + 3 ) ( х -3 )
х ^ 0
х + 2 - 2х - 6
х ф З
Гх^ 0
|х = 8
Гх<0
х - 2 = 2х + 6 [х = -!
х ф -3
х2 - 2 х - 3 ^ О
х + 1 = х2 - 2 х - 3
х + \ = - х 2 + 2х + 3
оГ
*
1
1
х“ -2 х- 3 ^ О
х2 - Зх - 4 = 0 ;
х2 - х -2 = О
х ^ О
<
х + 2
• = 2
х - 3
<
_
х -2
х + 3
■ = 2
II
х = 4
х = -\ ;
-1 2
х -2
х - -\
Ответ: {—1; 4}
7 . Ь ± 1 = 1;
.х + 2
х - 3 > 0 (|* -3| = * - 3 )
х - 3 - 1
х + 2
■ 1
х-3 <0 (|д: — 3| = 3 — лг)’
3 -х - 1
х + 2
= 1
m
88
Уравнения содержащие модуль
х^З
х-4 = х + 2
х<3 ;
2 - х = х + 2
х^~2
~\х>Ъ
Н = 2
х<3
■<
х = 0
хФ-2
Ответ: х = 0 .
|х + 4 | -2 = 1
8 . ||х + 4 | -2 | = 1;
и + 4 |- 2— г
Ответ: {—7; —5; — 3 ;—1}
х2 - 5х 4- 6 > 0 (|х2 - 5л: + б| = х2 - 5х + б)
х2- 9
9.
х2- 9
л* — 5х + 6
х — 5х + 6
х2 - 5х + 6 < 0 (|х2 - 5х + б| = - х2 + 5х - б)
-(х 2-5 х + б)
х2 - 9
0
; х - 0 .
= 1
|х + 4| = 3
|х + 4| = 1 ;
х + 4 = 3
х + 4 = -3
х + 4 = 1
х + 4 = -1
х = -1
х -- 1
х = -3
х = -5
( х- 2)(х-3)> О
(х—3)(х + 3)
(х - 3)(х -2 )
= 1
( х-2)( х-3)<0
(х-3 )(х + 3) =
-(х -3 )(х -2 )
[ ( х-2) (х- 3)>0
[х + 3 = х - 2
\(х — 2)(х — 3) <0
1х + 3 = 2 - х
[ ( х-2)( х-3)>0
[3 = -2
[ ( х-2)( х-3)<0
I х = -0,5
0
Г(—0,5 — 2)(—0,5 — 3) < О
[х = -0,5
Ответ: 0 .
m
Тренировочная работа 7
89
1*+2И
2 . На йде м корн и мод улей \х + 2\ = 0 и \х\ = 0 :
► а
Корни (нули) разде ля т числовую ось на три интер ва ла,
на ка ж д ом из к ото ры х рассм отри м у равн ение :
' и + 2| = -0с + 2)^
х + 2 с О
а)
- а* - 2 - 4
\х\ = -х
х + 6
: 2 [а+ 6 = 2а+ 2 ’
х + 1
| а <-2
0 .
х = 4
О > х ^ -2
б)
х + 2 - 4
- х - 1
А > О
в)
х + 2 - 4
х - 1
^А + 2| — А + 2^
А = -А
= 2
|а + 2| = а + 2
|а| - А
= 2
Г 0 > а ^ -2 Г 0 > а > -2
а - 2 = -2 а - 2 [
\
I а - 2 = 2 а - 2 а — 0
а = I
0
; а = 0
Ответ: { 0 }.
х + 5х + 6 |
I I . 1 '-2
. А + 5а + 6 — 0 , А — 0 \
И - 3
х — —3
А = - 2 .
А = 0
-3
А
у — х~ + 5а + 6
m
90
Уравнения содержащие модуль
х < -3
а)
х 2 + 5 х + 6
х < -3
к ^ 0 [ ± 2 ) = 1 ; { _ (х + 2) = г [х = - 3
-3 < х < -2
б)
-(дг+бл + б)
-3 < х < - 2
(х + 2)(х + 3)
-2 < х < 0
в)
х2 + 5х + 6
х2 + 5х + 6 > 0; \х2 + 5* + б| = х2 + 5х + 6
х < 0; Ы = -х
- х - 3
-( х + 3) 1 1
= 1
Гх < - 3
х2 + 5х + 6 < 0; \х2 + 5х + б| = -х2 -5х -6
чх < 0; Ы = -х
- х -3
= 1
Г-3 < х < -2 Г-3 < х < -2
х + 3
= 1 Ь + 2 = 1
+ 5х + 6 ^ 0*, |х + 5х + б| — х~ + 5х + 6
х <0; |х| = -х
-х -л
У■
\х<-3
0 .
л
У
0 .
х = -1
-2 < х < О
-2 ^ х < О
-(*+ 2) = Г [х = -3
^х2 + 5х + 6 > 0; |х2 + 5х + б| - х2 + 5х + 6
г)
х“ + 5х + 6
х ^ О
х ^ 0; |х| = х
х -3
= 1
х“+-5х + 6 = х -3 ; <! . 1)< 0 0 .
х* 3 1
х~ +4 х + 9 = 0
Ответ: 0 .