Добавил:
Nemo_Nemorino
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Шахмейстер А. Х. Серия Математика. Элективные курс в 16 книгах / Уравнения - 2011.pdf
m
Проверочная работа 5
91
12. | х-2|- 2|х + 1| + |2х + 5| = 3 ;
<2,5
2х + 5 < 0; |2х + 5| = -2х - 5
х<- 2 , 5 х + 1 <0; |х + 1| = -х-1
а)
чх - 2 <0; |х - 2| - 2- х
2-х +2х +2 -2х-5 =3
х < -2,5
; х = -4 .
х = -4
|2х + 5| = 2х + 5^
-2 , 5 < х< - 1
|х + 1| = - х-1
б)
ч, х -2 | = 2 -х ^
2- х + 2х + 2ч-2х + 5 = 3
-2,5 < х < -1
; х = -2 .
I х = -2
и- 2 |= о
и+и = о ;
|2х + 5| = 0
| -2,5 < х < -
I Зх = -6
х -2
х ~ -1
х = -2,5
| х < -2,5
-х = 4
12х + 5| — 2х + 5
в)
- К х <2
|х + 1| = х + 1
ч,х — 2| = 2 — х ^
| -1 < х < 2
0 .
I х = 2
2-х -2х- 2 +2 х+5 =3
|2х + 5| = 2х + 5
х^2 |х + 1| = х + 1
г)
|х — 2| = х — 2
х > 2
; х = 2 .
х -2
х-2 -2х - 2 +2х +5 = 3
Ответ: {-4;-2; 2} .
m
92
П роверочн ая работ а 5
Реш и те урав не ни я:
1. |Зх + 2| = 1.
2. х2-3= 2 х.
Уравнения содержащие модуль
х - 4
X2 + 3х —4
= 1
х2 -5 |х | + 6 _ ^
х2 -9
5. |х +1| = х2 -Зх -
|х + 3| - 2
6. = 1 .
Ы - 2
7. |х — 5| — з| = 2х .
х2 - 5х + 6
8. '-— г-,
-------- = 1 .
m
Метод подстановки
П ра кт икум 10
1. х4 +7х2 -8 = 0.
По ло ж им X
I (( > 0);
Г+7* - 8 = 0; г . ; х2=\>
I = -8 ё [0;оо)
= 1
х = 1
х = -\
О тв ет : {1; -1} .
П риме ча ние . Таки е у ра вн е ни я н азы ва ют б и к ва д р а т н ы м и .
2. -8^т2 - х^ + 12 = 0 .
По ло жи м : х2-х = ! . Тогда у рав нен ие прим ет вид
обычного квадр атн ого ур ав не ни я .
/2— 8/ + 12 — 0.
' = 6 .
} = 2
1
х2 - X = 6
ю
1
*
XIIм
1
- х - 6 = 0
- л: - 2 = 0
m
94
Уравнения высших степеней
3. (х2 + 5х + 2)(х2 + 5 х -1 ) = 28.
Пусть х2 + 5х + 2 = I , тогд а х 2 + 5х -1 = (- 3 .
Уравн ение прим ет вид:
/ ( /-3) = 28 ; I1 -3/-2 8 = 0.
~ 1 = 1
_/ = - 4’
-5+Зл/б
X —
---------
-5-Зл/5
х =
--------
х + 5.x + 2 — 7
х2 + 5х + 2 = -4
2
2
х = -3
х -- 2
О т ве т:
5+зЛ - 5+зТб
2 ’ 2 ’
2
х + — =
х + 2 = 1 х2 - х + 2 = 0; П < 0; хе 0;
2 ’ х2 +Зх + 2 = 0; х, = —1; х,=-2.
V Л Ч 1— 1 “
О т ве т: { - 2 ;- 1 } .
х2 + 5х-5 ~0
х2 +5х +6 = 0
По ло жи м Г = х + — , тогда / + 2л:-
1 2 2
X
зна чи т х2 + = Г - 2 .
m
Практикум 10
Урав нен ие пр име т вид
7 / -2 ( /2-2) -9 = 0; 2/2- 7/ + 5 = 0;
7 ± У 4 9 - 4 0 _ 7 + 3 _
^1,2 ~
4
95
/= -
I = 1
2;
X н— — —
* 2 .
х + - = 1
х
2х2 -5х + 2 = 0; хх-2; х2=—;
х2 - х +1 = 0; В < 0; х е 0 .
О т ве т : 12;
6. (х 2 -х + 1)2- Ю ( х-4) (х + 3)-1 09 = 0.
(х2 - х + 1)2-1 0(х2 - х - 12)-109 = 0 .
По ло ж им х2-х + 1 = 1; х2 —х —12 = / —13 .
Урав нен ие пр име т вид:
Г - 10( * - 13) - 10 9 = 0; /2- 10 / + 21 = 0;
Тогда
х2 - х+ 1= 7
х2 -х + 1 =3
х“ - х - 6 = 0
х2 - х - 2 = 0
О тв е т : {-2; -1 ; 2; 3}
^ = 7
/ = 3
х = 3
х = -2
х = 2
х = -1
7 - Ф 2 - 6) - т о = 5-
X 6
Пусть х2 - 6 = (,
тогда 21 - - = 5 (/^0);
2?2 — 5/ — 3 = 0; ,,.! = 5±' ® й 5 5±?
4 ’
m
96
Уравнения высших степеней
1
II
2
х2 - 6 = 3
2 г 1 ’
х - 6 = —
2
х2 =9
х2 = 5 ,5 !
х- 3
х = -3
х = >/5,5
л: = —л/575
О т ве т: {-3; 3; - ^ 5 ; 7 ^ }
8.
- +
2-2 х +2 х2- 2 х+3 2^х 2- 2 х 4 4 ^ '
Пусть х~ - 2х + 2 = 1,
тогда х2 -2х + 3 - 1 + \\ х1 - 2х + 4 = / 4- 2 .
Уравн ение примет вид:
г /41 2(/+2) ’
2(/ + 2)(/ + 1) + 21(1 + 2) = 9/(/ +1);
2(/ 2 + 3/ + 2) + 2/2+ 4/ = 9 г +9/ ; 5/2 - / - 4 = 0.
О(У):
1Ф 0
/ ф -1 .
(Ф —2
1± 7 1 + 8 0 1±9
<У2=-
х“ - 2х 4 2 = 1
х2 - 2х + 2:
10 10 ’
4 ;
х~ -2x4-1 = 0
5х2 - 10х + 14 = 0; 1)<0; х е 0
тогда (х - 1)2 = 0 ; х = 1 .
О т ве т: х = 1 .
9. (2х2 +3х + 1)(2х2 - 5х + 1) = 9;с2.
Так ка к х = 0 корнем ур ав не н ия не явл я е тс я ,
то р азд ели м обе части ур а вн ен ия на х2:
m
Практикум 10
97
2х 2+З х + \ 2х 2- 5 х + \
X X
= 9; [2х + 3 +^Д 2 л- 5 + 1
пол ож им 2.x л— + 3 = /, тогд а 2х+ — - 5 = /-8 урав нен ие
приме т вид: /(/ — 8) = 9 ; / 2 - 8/ — 9 = 0;
3 + 7 7
2
= 1.
х = -
х = -
з-Т?
2
-2 + 7 2
2
- 2 - 7 2
М у ):
1 = 9
/ = - Г
2л: + — + 3 = 9
2х + ! + 3 = - 1
О т в е т : 1-
10.
16 20
(х + б ) ( + - 1 ) (х + 2 ) ( . х + 3 )
Х
X
2 + 7 2 3 - 7 7 - 2 + 7 2 3 + 7 7
Можно реш а ть ста нд ар тны м способом, тогда мы пол у
чим ура вне ни е четвер той степени, которое реша ть
достаточно трудно. Попроб уем пост упить иначе:
X + -6
х Ф -3
х + -2
х + 1
Так к а к (х + б) (х -1 ) = х2 + 5 х - 6 , а (х + 2)(х + 3) = х2 + 5х + 6,
пол ож и м х ~+5х + 6 = /, то гда х ~+ 5х - 6
и уравн ени е при ме т вид: — — —
16 20
1 6/ - 20 0- 12) = I2 -12 / ; / 2 -8/-240 = 0 ;
-12
1 (/ + 0;/ + 12)
/ = 20
/ = -12 ’
х + 5х + 6 — 20
х2 +5х + 6 = -12
~х2 + 5х -14 = 0
х2 +5х + 18 = 0, В< 0
х = —7
х = 2
Ответ: {-7; 2}.
m
98 Уравнения высших степеней
/-9
Зх
х 2- 9
Зх
Зх Зх
: 3 6.
9 x 3
х 3 х +81
-2- —• —=
3 х
, положи м
х 3 х
о 2 * +81 2 „
-2 = / , з на чи т — -1 + 2.
9л-2 ’ 9хА
х 3
------
= I, тогда:
11. 6
х 4 + 81
9х 2
Так ка к
1_ 2 ' Г - 21+_2.
з х) ~ 9 + х 2
Урав нен ие о тнос ительн о / пр им ет сле ду ющ ий вид:
б(г+ 2)-7 / = 36; 6/2 - 7/ - 24 = 0;
Г 8
/ = -
/ = - -
3
, з нач ит
2
"х 3 _ 8
3 х~ 3
л л у
X 3 _ 3
7 х ~~2
х2 - 8 х - 9 = 0 х = -1
2 + + 9 х- 1 8 = 0
1
К
х = 1,5
Ответ: {-6;-1;1,5;9}.
12. 20
х - 2 х + 2
х + 1 ) I л-1 ) х~-\
+ 48
Л-2- 4
= 0.
Так ка к х = ±2 и х = ±\ к ор н я ми не я вл я ю т с я , то дом-
нож и м обе части ура в не ни я на
х2-\
х2- 4
С+.
II
п
ск
х + 1
2о{ - ^ - ' ^ 5;»+У > + 48 = 0 .
(х + 1)(х + 2) (х -1 ) (х - 2 )
^ (х - 2 ) (х - 1 )
По ло ж им -7
тогда 20/ — + 48 = 0 ;
2012 + 48 / - 5 = 0;
_ -24 + ^576 + 100 _ -24 + 26 .
1] ' 2 ~ 20 ~ 20 ’
.Х 1±- 5Гх*2
х 2 - 4
----
(* + 1)(* + 2)
х -1
77 7 = 1 ,
1
х - 1
х 2 - 4
+ 48 = 0;
/ = 0,1
/ = -2,5
m
Практикум 10
(х-2)(х-1) 1
(х + 1)(х + 2) 10
1к>1
*
II
10(х2 -Зх + 2) =
_2(х2- Зл: + 2) = -
1
1 ^
(.х +1) + 2) 2
~9х2-З Зх + 18 = 0 _ Зх2 -11х + 6 = 0 _
99
1х2 +9х + 14 = 0
11+^121-72
*1,2 - 6
-9±л/81-392 ’
Хл -у —
_ 12 14
Ответ: |-| ; з |.
_7х2 + 9х + 14 = 0'
х-Ъ
2
V — —
Л ““ •
3
_ 0
m
100
Тренировочная работа 8
Реш и те ура вн ен ия :
1. х4 -5х2 + 4 = 0.
2. ^х2+х) - б(х2 + х) + 8 = 0 .
3. (х2 - 5х + 2^(х2 -- 5л: — 1^ — 10 .
Уравнения высших степеней
и г -
2(х- * и .
5. З и 2 + -^ )- 2 |х - |) = 13.
6. (х2+ 5л- + 7)2 - ( х + 2)( х + 3) = 1.
7. 2( х2+ 2 х)-
8. г т ^ 4 + - ^ = 0.
х +3х+3 2ух~ +3х+л\ х ч-Зх+2
л 2 х ' - 5 х + 4 15л:—10 ,
9.
-----------
Зх—2 2х -5х+4
X X
11. х4 - 25 х2 + 6 0х - 3 6 = 0.
12. х3 -7х 2 -2 1 х + 27 = 0 .
3
= 5 .
+ —= = 6.
13. т ‘ ^
(х - 1 )(х -2) (х + 1)(х -4)
14. (х2+ х + 1) - 1 0 х 2 ( х 2 + х + 1) -ь9х4=0 -
-----
- = 1.