Добавил:
Nemo_Nemorino
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Шахмейстер А. Х. Серия Математика. Элективные курс в 16 книгах / Уравнения - 2011.pdf
m
Проверочная работа 1 21
П роверочная работ а 1
Решите уравнения:
1. 5(х + 3)-4(3-2х ) + 3(4-5л:) = 2(4х-5 )
2 х+\ 2х-3 _ ^
~ 4 Г “
О
2 ( 2 х + 1) 1
4 5 4 '
3(Зх-2) 2(2лг+1) _ 1
4 ' 4 3 4 ‘
2(2л-1)-3 3-2х
3 2 ~ ‘
6. 3,2(3х + 0,3) -2 у(0,2 -3х) = -1 .
4,2 — 0,3 (5лг +1) 3,2 —1,2(2 — Зле) _
7 ‘ 3 4 ~ ‘
1,5 —1,8(2лг—1) 0,4-1,5(3 + 4л)
о . — 5 .
0,6 1,8
9. Зх-(4 х-3 (2 х-1 )) = -14.
10. -0,5(2х + 3) + 0,1(х-3) = 0,4(1-2 х)-3 .
11 . = 3.
( 5 л + 3 ) 0 ,7 - 0 , 6
1 2 Зл + 1 - 2 ( 4 - 3 . у ) {
6 ( 2 л - 1 ) - 7 ( З х - 2 ) - 1
m
22
Линейные уравнения
Уравнения, приводящиеся к линейным
П ракт икум 3
Уравнение по внешнему виду может выглядеть как урав
нение, не являющ ееся линейным (т. е. степени выше
первой), но после преобразований принимает стандарт
ный вид линейного уравнения.
1. (3*-1)(2х + 3)-(4 -л:)(3 -6х) = 2 ;
Воспользовавшись правилами перемножения много
члена на многочлен, получим:
6х2 -2 х + 9х-3-(\2 -Зх-24х + 6х2) = 2; ,
6х2 + 7 х-3-6 .Г + 27*-12 = 2;
34* = 17; * = - .
л 1
О тве т: х = —.
2
2
2. (бх-1)2 -4(3* + 2)(3*-2) - - 1 .
Разумеется, здесь важно знать основные формулы
сокращенного умножения:
{а - Ьу - а 2 - 2аЬ + Ъ2;
(а + Ь){с1-Ь') = о2 -Ъ2,
тогда
Збдг -12* + 1-4(9х2 -4) = -7 ; Збх2 -12* +1-36*2 + 16 = -7
-\ 2 х -- 2 4 \ х = 2 .
О твет : х = 2 .
3. 4у2 -(2у+ 1)2 = 12 ;
4у2-(4 /+ 4 у + 1) = 12;
4у2 -4 у 2 -4у - 1 = 12;
13
—4 у = 13 ; у = —^ ; у
О тве т: у - -3— .
^ 4
4
3 4 ’
m
Практикум 3
4. (5х + б)~ (х-3)-(5 х + 1)2 ( х - 1) = 28 ;
(25х2 + 60х + 3б)(х-3 )-(25х2 + 10х +1)(х-1) = 28;
25х3 +60х2 +36х-75х2 -180х-108-(25х3 + 10х2 +х-25х2 -10х-1)=28;
25х3 -1 5х2 -144х-1 0 8 -25х3 +15х2 +9х + 1 = 28;
-135х = 28 + 107;
—135х = 135 ; х = -1 .
Отв ет: х = -1 .
5. 2(х - 2)(х2 + 2х + 4) - З(х3 + 2х-1) = -х 3 + 3 .
Напомним, что а3 - Ъг =(а-Ъ'){а2 +аЪ + Ь2^ .
2^х3 — 8) — Зх3 — 6х + 3 = —х3 + 3;
2х3 -16 - Зх3 - 6х + 3 = -х3 + 3 ;
-6х-13 = 3; -6х = 16;
16 . 8
х - б , х - з .
23
Отв ет : х = -2— .
2
3
6. 9х3- з |х 2 + 2 |х - 1 ^ |- 9 ( х - 1 ) 3 =(3х + 1)(8х-3).
Напомним, что (а - Ь)3 = а3 - За2Ь + 3аЪ2 - Ь3 .
9х3 - Зх2 - 3*^х + 3*-^-9^х3 - Зх2 + 3х-1^ = 24х2 + 8х-9х-3;
9х3 - Зх2 - 8х + 4 - 9х3 + 27х2 - 27х + 9 = 24х2 - х - 3 ;
-35х + х = -3 -13 ;
-34х = -16;
_\6 и
Х ~ 34 ’
__8_
~ 17 '
Ответ: х = — .
17
m
24
Линейные уравнения
7. (х + З)3 -(х + 1)(х-2)(х + 3) = 7(х + 1)(х-1) .
Напом н им , чт о (а + Ь)3 = а* + 3а2Ъ + ЗаЬ2 + Ъъ.
х 3+Зх 2 -3 + 3 - х- 32 +3 3 - ( х + 1)(х2 -2 х + З х - б ) = 7 ( х 2 - 1 );
х3 +9 х 2 + 27х + 2 7 -(х + 1)(х 2 + х - б ) = 7( х2 -1^ ;
х3 + 9х2 + 21 х + 27 - (х3 + х2 - 6х + х2 + х - б) = 7(х2 -1);
х3 + 9х2 + 21 х + 27 - х3 - 2х2 + 5х + 6 = 7х2 - 7 ;
32х = -7 -3 3 ; 32х = -40 ; х = * = ~ |-
О т ве т: х = -1, 2 5 .
8. 3(4х- 3)(х + 2)(1 - 2х) - 4(3х- 4)(2- х)(2х +1) =
= 43(2 х-3 )(2-х).
3(4х-3)(х + 2-2х2 -4х) -4 (3х-4 )(4х -2 х2 +2-х) =
= 4з (4х-6-2х 2+3х);
3(4х- 3)( -2х 2 -З х + 2 )- 4 ( З х - 4 )( - 2 х 2 + 3х + 2) = 4з(-2х2 + 7 х - б ) ;
з( - 8 х 3 - 12х2 + 8х + 6х2 + 9х - б) - 4(3х - 4)( -2 х 2 + Зх + 2) =
= -86х2 +301х-258;
з(-8х3 -6 х 2 + 17х -б)-4(-6 х3 +9х2 + 6х + 8х2 -1 2л-в) =
= -86х2 +301х-258;
-24х3 -1 8х2 + 51х -18 + 24х3 - 68х2 + 24х + 32 =
= -86х2 +301х-258;
75х + 14 = 301х-258 ;
301х-75х = 258 + 14; 226х = 272;
Х ~ 226 ’ * ~ 226 ‘
О тве т: х= 1— .
х- 1 —
23
m
Тренировочная работа 3
Тренировочная ра бот а 3
Решите уравнения:
1. 0 , 5 ( З х-4 ) -3 * = 2 + 0 ,4 ( 2 - * ) + 1>9 *.
25
2. 0,03;с + 0,07:(1 — + — -2 —) = 0.
0 (29 ,11 3 А
3. — + 1
1,30 12 35) 42
4. (4 -3л)(3л + 2) - 2(3 - д;)(4 + х) + 7 л;2 = 3 .
\ 24 30 40 /
-----
2— \х +— = 0.
5. 2х2-(2 х-5 ) (л:-1) = 9.
6. 9х2-{Ъх-\)2 = 6 .
7. (13у-2)2 -(1 2у -5 )2-(5 у + 4)2 =19.
8. (6х - 1)" (л; - 2) - (6х - 5)“ (х + 1) = 33 - 60л;2 .
9. (у + 5)(у2 - 5у + 25) - у(>’2 - 4) = 25 .
10. 4 (Зх + 4) (* + 2)(1 - 2х) - 3 (4х + 3)(2 - л:)(1 + 2х) =
= -43(2х + 3)(х + 2)-\2.
(Зл-1)2 + (4л+3)2
' (5л+2)2 - 4
(2л-1)(Зл+ 2)-2 (л -2 )2 _ 0
2(л-+2)(л-2)-10
m
26
Решение т рени ровочной работ ы 3
Решите уравнения:
1. 0,5(3 *-4 )-З х = 2 + 0,4(2-х) + 1,9х; | -10
5(Зх - 4) - 30х = 20 + 4(2 - д) +19х ;
15х - 20 - ЗОх = 20 + 8 - 4х 4-19х ;
48 8
-30* = 28+ 20; * = -
— : х = — ; х - -1,6 .
30 5
О тве т: * = -1,6 .
( п\1 п\* д13
1 — +
------
2. 0,03*+ 0,07:
24 30 40
V
2—
= 0 ; |*100
Линейные уравнения
^ + 7 : М ^ 5 ± 2 8 _ - 2 - 2 7
Зх +
3* +
- 7-120 л . 7-3-4-10
Зх
----
О тве т: х = 3-.
0 /29 1 11 31\ 3 л
3. — +-1
V
30 12 35/ 42
^4-29+35-1 1 2 31-12
2 372 | 791 \ _ 3
1 3 420-3
х = — ; х =
420 42 42
2-2-2-3-5 2-2-2-3-5
7
-(2— -1—)
I 120 1 2 0 /
7
/ 147-63\
Д 120 )
— = 0 ; Зх:
84
= 0 ;
3
-----
2— * + — = 0 ;
2-2-3-5-7
420 420 / ~ 42
2-2-3-5-7 / 41
------
3- 4 -7 3 3
: х:
Ответ : х = 30.
= 0 ; 24 = 2-2-2-3
30 = 2-3-5
40 = 2-2-2-5
наименьший общий
знаменатель равен
2-2-2-3-5
7 Зх = 10; х = —; х = 3-
1Л 10 о1
30 = 2-3-5
12 = 2-2-3
. х - — т
35 = 5-7
наименьший общий
знаменатель равен
2-2-3-5-7
10-3; х = 30 .
m
Тренировочная работа 3
4. (4-Зх)(Зх + 2 )-2 (3 -х )(4 + х) + 7х2 =3;
1 2 х -9 х 2 + 8 - 6 х - 2 ( 3 - х ) ( 4 + х) + 7х2 = 3 ;
-9 а2 + 6х + 8 + 2х 2 + 2х - 24 + 7х2 = 3;
8х = 19 ; а = —— ; х = 2 - .
19 л
8 8
27
О твет : х = 2-.
5. 2а2 - (2а - 5)(х -1 ) = 9 ;
2а2 - 2 а2 + 7 х - 5 = 9; 7х = 14; а = 2.
8
О твет : а = 2 .
6. 9 а2 - ( З а -1 )2 = 6 ;
9а2 - ( 9 х 2 - 6 а + 1} = 6 ; 9а2 - 9 а2 + 6 х - 1 = 6;
6х = 1; х - — \ х = 1—.
Отв ет: х = 1— .
7. (1 3 ^ - 2 )2 - ( 1 2 ^ - 5 ) 2 - ( 5 ^ + 4)2 =19 ;
(169у2 - 52^ + 4) - (144у2-1 2 0^ + 2 5 ) - ( 2 5 / + 40у +1 б) = 19 ;
1 6 9 / - 5 2 ^ + 4 - 1 4 4 / + 1 2 0 ^ - 2 5 - 2 5 / - 40 > -- 16 = 19;
6 6
6
287 = 19 + 37; 287 = 56; 7 = 2 .
О тве т: у - 2 .
8. (6а - 1)2 (а - 2) - (б х - 5)2 (а +1) = 33 - 60а2 ;
(36х2 - 1 2 а + 1)(х - 2 ) - (36 х2 - 60а + 25)( х +1) = 33 - 60а2 ;
(Збх3 -12а2 +Х-72Х2 +24а-2) -(36а3 -60л2 +25х+36л2 -60а+25) =33-60а2
Збх3 - 84х2 + 25а - 2 - Збх3 + 2 4а2 + 35а - 25 = 33 - 60а2 ;
-6 0 а2 + 60а - 60 + 60х2 = 0 ; 60а — 60 = 0; а = 1 .
Ответ: х = 1.
m
28 Линейные уравнения
9. ( у + 5)(у2 -5 у + 25)- у ( у 2 4) = 25 ;
у3 +125 - у3 + 4у = 25 ;
4у = -100;
у = -25.
О твет : у - -25 .
10. 4(3 х + 4)( х + 2)(1 — 2х) -3(4х + 3)(2 — х)(1 + 2х) =
= -43(2х + 3)(х + 2) -12.
а) (Зх + 4) (л + 2) (1 - 2х) = (Зх+ 4) (х + 2 - 2х2 - 4л) =
= (Зх + 4)(-2х2-Зх + 2) =
= -6х3 — 8х2 — 9х2 — 12х + 6х + 8 = -бх-1 - 17х2 — 6х + 8;
б) (4х + 3)(2 - х)(1 + 2х) = (4х + 3)(2 - х + 4х - 2х2) =
= (4х + 3)(-2х2 +3х + 2^ = -8х3 - 6х2 + 12х2 + 9х + 8х + 6 =
= -8х3 + 6х2 +17х + 6;
в) (2х + 3)(х + 2) = 2х + Зх + 4х + 6 = 2х +7х + 6.
Тогда уравнение примет вид
4(-6х3 - 17х2 - 6х + 8) - 3 (-8х3 + 6х2 + 17х + б) =
= -43(2х2+7х + б)-12;
-24х3 - 68х2 - 24х + 32 + 24х3 - 18х2 - 51х -18 =
= -8 6 х2 -3 0 1 х - 2 5 8 - 1 2 ;
301х - 75х = -270 -14 ; 226х = -284;
_ _284 . 142
Х _ 226 ’ Х_ 113 '
О тве т: х ~ -1— .
29
113
m
Тренировочная работа 3
И . ( * - '> - + (4 ~ 3) ’ = , О ( у ) : ( 5, + 2) г - 4 , 0 ;
(5дг+2)' - 4 4 ’
9х2 - 6х + 1 + 16х2 + 24х + 9 _
25х2 + 20* + 4 - 4
25х2 +18х + 10 .
25х~ + 20х
25х2+18х + 10 = 25х2+20х; 2х = 10; х = 5.
Проверим принадлежность 5 еП(У) - ?
Обозначим у(х) - (5х + 2)2 - 4 , вычислим
29
4^(5) = (5-5+ 2)2 -4 = 272
О тве т: х = 5.
(2х-1)(Зх + 2)-2(х-2)2 _
2(х+2)(х-2)-10
6х2 + х - 2 — 2х2 + 8х - 8 _
2х2 - 8-10
4х2 + 9 х - 10 „
; = 2;
2х‘ -18
4х2 + 9х -10 = 4х2 -36;
9х = -26;
_ _ 2 6
9
Пусть у(х) = х2 - 9 .
т. е. 1 = - | е / ) ( У ) .
4^0 . Значит 5ей(У).
Д(У): 2(х + 2 )(х-2 )
, значит П(У): х
9*0,
- 10* 0 .
2 -9 *0;
гл о ^
О твет : х = - 2—.
9
m
30
П роверочная работ а 2
Решите уравнения:
1. 4(2 х-3 )-3(2 х + 1) + 2(Зх + 1) = -1.
2(х + 2) - 3 (х -1 )
3(х + 1)-4(х -1 )
1,4(х-1) + 1,2(3-х) _ л
2,1(х + 2)-0 ,7 (х-3 )
4. (2х-3)(5х + 1)-5х(2х + 3) + 16л: = 3 .
5. 4х2-(х-2)(4х + 3) = 16.
(4х —1)(х + 2) —(2х + 1)(2х —1 )-4 (х —1) ^
2х2 - (2х +1) (х — 2)
Линейные уравнения
7. (12х - 5)2 - (8х +1)2 -(7 -10х)(3 - 8х) = 78 .
8 (1 3 х - 1 ) 2- ( 1 2 х + 3)2 ^
(4х + 5)”-41(х —1)(х + 1)
9. (5х - 1)2 (х +1) - (6 - 5х)2 (х + 3) = 28.
10. (х - 1)(х + 2)(3 -2 х) -2(х + 1)(х- 2)(3 -х ) = (7х - 1)(1 - х).