Добавил:
Nemo_Nemorino
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Шахмейстер А. Х. Серия Математика. Элективные курс в 16 книгах / Уравнения - 2011.pdf
m
Тренировочная работа 6
4(х + 4) (х - 4 ) -( х - 4 ) 2-1 0 ( х + 4) = 0;
4(х 2 — 1 б) — (х2 - 8х + 1 б) -1 Ох - 40 = 0 ;
4х2 - 64 - х2 + 8х -1 6 -1 Ох - 40 = 0 ;
71
ЗлГ - 2х -120 = 0 ; х12 =
О т ве т:
х +х+3 х~+3х+3
10.
х+\ х+3 4х+8
-6; « |
- + -
1±ТТ+360 _ 1 + 19 #
■ + 2х.
Выде лим ц елую часть в к а жд о й из дробей.
х -кх 3 х^+Зх 3
■ + + + -
х+\ л'4-1 х+3 х+3 4(а+2)
с(х+1) | 3 | х(х+3) | 3 _ -3
х+\ а +1 х+3 л'+З 4 (х +2)
3 3 - 3
X Н
------
(- X Н
------
— —;
х+\ хч-З 4(х+2)
3 3
- + -
х+1 х+3 4(х+2) ’ (х+1)(х+3) 4(х+2) ’
----
г
4- 2х ^
х+3+х+\
-3
+ 2х
+ 2х
(2х + 4)4(х + 2) + (х + 1)(* + 3) = 0 ;
X = 6 —
х = -6
Я (У) :
3
€Л( У) .
х ^- \
< х ■=+- -2 .
х * -Д
8^х2 + 4х + 4) + х2 + 4х + 3 = 0 ;
8х + 32х + 32 + х + 4х + 3 — 0 5 9х~ + Збх + 35 = 0
_ -18 + 73 2 4-315 -18±3 _
1,2
Х~ 3
_ _ 7
еО(У).
* ~ ~з
Ответ : •
m
72
Квадратные уравнения
Уч ит ы ва я, что слева ф у нк ц и я не выш е второй степе
ни, к от ор ая одноз начно оп ре дел яет ся тр ем я то чк ам и,
провер им это. Пу сть
а) х = Ь , тогда Ь = а • 0 + Ь~ ^ ~ -+|- + с • 0 = 6;
(Ь-с){Ь-а)
П -Ъ , отсюда следует, что Ь - П ;
б) л- = а , тогда 7, = а-— -0 + 0- О + с- О = я;
М ) ( а-с)
Г1 - а , отсюда следует, что Ь - П ;
в) х = с*, тогда ь = а - 0 + 6- 0 + с-)
(с*-я)(с-6)
---
0 — = с ;
(с-я)(с-6)
П -с , отсюда следует, что Ь -П .
Зн а ч и т лев а я и п р а в а я част и ур а в н е н и я при т ре х зна
че ни я х совпа да ю т, тогда мы имеем дело с то ж д ес тв ом
дл я л юб ы х до п у ст и м ы х з н а ч е ни й букв с/, 6, с.
О т ве т: любое х есть реш ение этого ура вн ен ия
при а^Ь; Ъфс\ а + г
х+ 3 х - 1 _ 2 х -1 , 2
х+ 3 х - 1 _ 2 х - 1 , 2
( х - б ) ( х + 1 ) ( х + 3 ) (х -2 ) (х - б ) ( х + 3 ) ’
х + -3
(х + 3)“(х- 2 ) + (х-1)(х + 1)(х-б) = (2 х-1 ,2) (х- 2)( х + 1);
(х2 + 6х + 9 ) ( х- 2) + (х2 -])(х - 6 ) = (2 х - 1 ,2 ) ( х 2 - х -2 ) ;
х^ + 4х2 - Зх-18 + х"' -6х 2 -л; + 6- 2х'5 + 3,2х2 + 2, 8х-2,4 = 0 ;
1,2л:2 - 1,2 х- 14,4 = 0 (:1,2);
х = 4
х 2 - х - 1 2 = 0 ;
х = -3 ёО(У)’
Ответ: х = 4 .
m
Проверочная работа 4
П ровер очная р абота 4
Реш и те ура вн ен и я.
1. 73 х2 - 2 ( Т З +2л/б)х + 8л/б =0.
2. (2х + 1)2( х - 5) = (х - 1 ) 2(4х -5) .
27.x3+ 125 . „
3. + 5 + 48х = 0.
Зх + 5
73
4 2х2+7х+6 __ ( 3 .x + 2)
Зх2 + 4х -4 9.x2- 4
- , 15 51,,
5 . + - х =1.
8 8 -3 2 х 8 2
6. + 1 1
х 2- 1 0 .x + 25 2 5 - х 2 х + 5
у 2 х -2 х -1
2х 2 - 9 х + 10 4 х2 - 1 6 х + 15
2
8.
8х 3+ 1 2 х 2- 1 8 х - 2 7 4х 2 - 12 х + 9 9 - 4 х 2
2х + 13
У. —;
2 х - 5
ч л х 2 + 2 х + 2 х “ + 8х + 20 х~ + 4х + 6 х + 6х + 12
Ю.
-----------+-------------=-----------+--------------
/
-----
‘ х + 1 х + 4 х + 2 х + 3
24 .+ « | = , + 4.
2х2 + Зх -20 х 2- 1 6 2х2-13х + 20
11 2 (-т-й)(х-с) ,2 (х-с)(дг-о) 2 (*-а)(*-&) _ 2
(а -Ь) {а- с) (Ь -с)( Ь-а ) ( с-а )(с -Ь)
12 - т +
х ~4 х 2 х - 0 , 8
х" + 3х - 1 0 х “ - 3.x - 4 х 2+ х - 2 0
m
Уравнения, содержащие
моду ль
Опр ед е ле ни е 9. Модулем числ а н аз ыв ае тс я само ч исло а ,
если оно по ло жи тел ьн о, и числ о (-а ) , если оно отр ица-
тельно, т. е. \а\ = «
Рас смо три м фу нкц и ю у = |х|. Из опред еле ния модул я с ле
дует, что фу н кц и я у = |х| сост оит
из двух частей:
а) Пус ть х > 0 , тогда у - х .
При этом мы расс мат рив аем
только ту часть п р ям ой
кот ор ая нах од итс я в прав ой
пол уп ло ск ос ти.
б) Пусть х < 0 . В этом случае
|х| = —х , следовательно у = -х,
и мы рас сма три вае м то льк о
часть гр а фи к а у = -х, нах о д ящу
юся в левой п олупл оскос ти.
[ а: а ^ О
-а; а< О
у = х ,
Ук
0
\ \ \ ^
\ ч\ ч\ \ х х
\ \ \ \
m
Уравнения содержащие модуль 75
зна чи т гр а фи к у = \х\ вы гл я д ит так :
Из гр а ф ик а у = \х| о чев идн ы сл едую
щие свойства:
а) \х\>0 дл я лю бых х;
б) |х| = 0 тол ьк о пр и * = 0 ;
в) | х|<0 — р е ш ен ия нет, х&0.
Рас смо тр им граф ич еск ое ре ше ни е у р ав не н ия |х| = а .
Чтобы было ре шен ие , необходимо
чтобы а ^ 0 . По строим г р аф и к и
У = \х\ и у~ а на одном черт еж е.
Очевидно, что при а > 0 пр я м а я
у - а пер есе кае т гр а фи к у = |*|
в д вух то чк а х с а бсци ссам и х - а
х -а
и х = - а 9 т.е. из в ы р а ж е н ия \х\-а следует, что
х - -а
П р и м е р 1. \2х-
~2х — 3 = 2
2х-3 = - 27
3| = 2 .
2х = 5
2х = 1
х-2,5
* = 0,5
Ответ: {0,5; 2,5}.
П р и м е р 2. \6х2-5х =1
х = 1
6х -5х = 1
6х2-5х = -1
Ответ: I- - * - • 1 \ .
' 6 5 3 ’ 2 1
6х2-5х- 1 = 0'
6х2 - 5.x +1 = 0
х = 6
х = ±
3
х = 1
2
m
76 Уравнения содержащие модуль
Пр и м е р 3. |2х2-1| = х .
Здесь уж е необходим другой подход, п отому что в пр а
вой ча сти не из вес тн ый х.
Дейс тви тел ьно , ура вне ние м ож е т им ет ь р еше ни е т ол ьк о
если х > 0. Так к а к по свойст ву м од ул я |2х2 - 1| 3* 0, то,
возвед я обе ч аст и урав не н ия в к ва др ат , пол учим:
х>0 (х^О
<(|2х2 -1|) 2 = х2; } (2 х2 -1 ) 2 = х2
х^О
х^О
~2х2 - лс -1 = 0 ;
2х2 + х -1 = О
х = 1
х - — , значит
2
х = -1
2
Пр и м е р 4. 1
-----
2х-\
!— = 2 .
Испо ль зуя определение, получи м:
х-2 > 0 (|х - 2 | = х - 2 )
' х -2 - 1
. 2х-\
х - 2 < 0 (|х - 2\ - -( х - 2))
х>0
2х2 - \ - х ;
2х2 - \ = -х
Х ± - 2 = 0
2х-[
х<2
2
2х-\
2х-1
m
Уравнения содержащие модуль
77
х^ 2
х^ 2
х - Ъ - 4 х + 2
2 х - \
х<2
- х +1 - 4* + 2
2лг —1
Ответ: | \ .
Подводя и тоги, отметим:
Г а ^ 0
1)
2)
3)
-а; а < 0
> 0 , \/а ;
= 0, а - 0;
х ^ 2
- 3 * - 1
2х- 1
* < 2
- 5 * + 3
2 х - \
= 0
-о
х = —
х^ —
2
х < 2
3
х = —
5
1
„г ^ —
2
0
с<-> | ип
< 0 — реш е н ия нет а е 0 ;
4)
а
m
78
П ракт ик ум 9
х-21 = 3.
1.
3. |х- 4| = 2х .
Уравнения содержащие модуль
ю
1
2.
4.
|х2 -2х- з|
II
С/1
*
|х + 3| = х2 + 2 х - 3 . 6.
5.
7.
||*+ 31-1| = 2 •
*+з _ 0
9.
1 9 1 ~~
.х- 4~5х 4* 6
11.
И - 3 _ 1
1Л" 3| - 2 _ о
8.
х 4-5x4-6
М И
10.
12.
и + 2| + 2| ^ -
хл-2
1*+31 _]
9 — ^
|,|-1 - 3
х~-5х-6\
Решение практ икума 9
1. |лг — 2| = 3 . Ис пол ьзуе м свойство |а| = &<=><
Так как 3 > 0 , то
х-2 = 3
х-2 = -3
х = 5
х - -\
Ответ: {—1; 5 }.
2. \х -5х\ = 6. Дейс твуем аналоги чно:
Ъ> О
а-Ъ :
а--Ъ
х = 6
х -5х = 6
х2 — 5х = -6
х -5 х-6 = 0
х2 -5 *4 -6 = О
х = -\
х -2
х-3
Ответ: {-1;2;3;6}.
m
Практикум 9
79
Ь> О
3. |х- 4 | = 2х. По свойству \а\ = Ъ <=>
2х ^ О
х-4 = 2х ;
х-4 = -2х
х ^ О
х = -4. х = \
3 ‘
х = 1-
3
Ответ: { 1
1
4. х~ -2х - 3 = х-3 . Анало гич но:
х-3>0
х2 -2х -3 = х -3 :
х2 - 2х- 3 - 3 - х
х-3 ^0
х2 - Зх = 0 ;
х2 - х - 6 = О
Ответ: {3}
5. |х + 3| — х2 + 2х — 3 . Ана лог ич но:
а-Ъ :
а = -Ъ
х-3 ^ О
г = О
х = 3 :
х = 3
х = -2
х = 3 •
х~ + 2х-3 > О
х + 3 = х2+2х-3 ;
х + 3 = -х2 -2х + 3
3 1
-3
0
(х + 3 ) (х - 1) ^ О
х + х — 6 — О
х2 + 3х = О
Е.
2
—►
Ответ: {-3 ; 2 }.
-31 - 2 , , а; а^О
6.
- 3| — 2
--------1-!-----
= 2 . По оп редел ению
тогда:
х 4- 2 -а: а< О
m
80
Уравнения содержащие модуль
х -з >о (|х -з| = х - з )
х-Э - 2 =2
х + 2
х - 3 < 0 (|л: - 3| = 3 - х)
3 - л* - 2
х+2
Ответ: {-1}.
|х + 3|-1 = 2
7. ||х + 3|-1| = 2;
|х + 3| -1 =-2 ’
х + 3 = 3
х + 3 = -3
х = 0
х = -6
Ответ: {- 6 ;0 } .
|х + 3|
8.
х + 5 х + 6
= 1;
х ^ З
х - 5 = 2х + 4
х ф - 2
х<3
1 - х = 2x4-4
х 7^ —2
|х + 3| = 3
|х + 3| = -1(0);
х + 3 ^ 0 ^|х + 3| — х + 3^
X 4* 3
к х~ +5 х + 6
1
х + 3 < 0 (|х + 3| = -х - 3)
х> 3
х = -9 0
х Ф -2
х < 3
х = -1
х^- 2
- ( х + 3)
х + 5х + 6
учтем, что х2 4-5х4-6 = (х4-2)(х4-3) :
х > -3
1 =1
X 4- 2
х > -3 х>- 3
<
1 = х + 2
х Ф -2
х = -1
<
х 7^ —2
х = -1 •
х < -3 х < -3
<
-1=х + 2
хФ—2
х + 2
=1
х < -3
<
х = -3 0
х ф -2
Ответ: х = -1