Добавил:
Nemo_Nemorino
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Шахмейстер А. Х. Серия Математика. Элективные курс в 16 книгах / Уравнения - 2011.pdf
m
Тренировочная работа 1
Решение т рен ировочной работы 1
Решите уравнения:
1. 2 ( х - 3) + 3 (3 - 2 х ) - 4 ( Зх- 2 ) = 5 ( 4 - 5х);
2х -6 + 9 - 6 х - 12х + 8 = 20 - 25х
25х-16х = 20-11; 9х = 9; х = 1.
О т в е т : х = 1.
~ 3 + х 2х л-1 ^ \ г / -г \ т
2. —
--------— = 2 |*6 -{а + ъ) = -а -Ъ
3(3 + х )-2(2 х + 7) = 2-6;
9ч-Зл: — 4л: — 14 = 12; - х - 5 = 12; х = -17.
О т в е т : х = -17.
3. 1 ^1 -1 ^ 2 1 = 4 1-6 ~( а-Ь) = - а + Ь
2 3 1 ’
3(3 - л) - 2(7 - 2х) = 4 - 6; 9-З х -14 + 4х = 24; х = 29.
О т в е т : х = 29.
11
(2 х -1 ) - 2 3(б + х) I I / \ / \ 3
4. 1—^ = 1- | -12; 4-2(2 х-1)-3-3(б + х) = |-1 2 ;
16х -8-54-9 х = 18;
7х = 18 + 62; 7х = 80; х = — ; х = 11-.
О т в е т : х = 11 -.
5 3(Зх+1)-4 2(2х+3)+6 <| |_15
- 3
7
7 7
9(3х +1) -12-10(2х + 3) - 6-5 = 60;
21 х + 9- 12-2 0 х-30-3 0 = 60; 7х = 60 + 60 + 3; 7х = 123;
123. ,_ 4
х = х = 17 — .
7 7
О т в е т : х = 17— .
7
m
12 Линейные уравнения
(5 ^ - 1 ) -1 , 2 - 3 , 2 1 , 3- ( 2 + З х ) - 4 , 2 , ] 2
3 4 '
4,8 (5 х-1 )-12,8-3,9(2 + 3*)+ 12,6 = 12;
24х- 4 ,8 -0 ,2 - 7 ,8 -11,7л: = 12; 12,Зх = 12 + 12,8;
п э оно 24>8 248 о 2
12,3х = 24, 8 ; х = —— ; х =
12,3 123 123
-----
; х = 2 — .
О т в ет : х = 2—
123
7. 2,3(4х + 0,2)-1^(0,3-2х ) = 1;
2,3 - 4х + 2,3-0,2- —• — + — -2х = 1;
9,2х + 0,46- — +— х = 1; 9,2х + 2-х = 1-0,46 + - .
7 10 7
7 7 7 7
Переведем все дроби в обыкновенные.
П 1 1 46 3 7+30 54 3
9- + 2 - Ь с = 1 - — + -; = +
> 7 } 100 7 35 100 7
2 54-7+300 12-35+2 378+300
12— х =
у _ 678 35 . 339 ^ 339
О т в е т : х = -
-----------;--
35 100-7 35 700
700 422 20-211 4220
339
4220
---------
х -
----------
;
2,б(з*-з0 - 2,1 2,7(21-2,1х)-1
8. *
------~-----------—-------—■ = Ю .
1,2 0,7
Здесь, чтобы облегчить вычисления, поступим так:
умножим числитель и знаменатель каждой дроби на 10.
10^2,б(з.х-3||-2,1| ю |2 ,7 |2 |-2 ,1 х |- 1|
~ 10-1.2 10-0,7 ~ 10 ’
2б(Зх-3,5)-21 27 (2,25—2,1л:)—10
12 7
(У
m
Тренировочная работа 1 13
78^—91—21 50,75-56,7* .
12 7 ~
39.x-56 50,75-56,7х _ 1() . 42
6 7 ~
7(39х-5 6 ) - 6(50,75-56,1х) - 420 ;
273х - 392 - 3 0 4 ,5 + 340 ,2л: = 42 0 ; 6 13 ,2 х = 1116,5 ;
11165 ,719
х =
-------
; х = 1
6132 ’ 876
-----
.
О т в е т : х = 1
1 7 1 9
-----
876
.
Как видите, вычисления требуют точности, уверенности,
аккуратности. И, главное, не паниковать из-за больших
чисел, лучше еще раз проверить вычисления.
m
14
Линейные уравнения
Линейные уравнения с одним неизвестным и приводящиеся к ним
П ракт икум 2
1 1 11 1 = 4
х-\
Очевидно, что такое уравнение определено не всегда.
Действительно, при х = \ знаменатель обращается в
нуль, а деление на ноль не определено (это принципи
альная качественная неопределенность, связанная
с невозможностью сопоставить, например, дроби
конкретное число)
Определение 7. Все значения неизвестного, при кото
рых уравнение определено, образуют область на число
вой оси, называемую областью определения уравнения.
Записывается это так: 7)(У): любое х ф 1,
иногда записывают в виде неравенств х < 1 или х > 1, или
в виде интервалов (-оо;1)и(1;оо), где и - знак объединения.
На языке теории множеств можно сформулировать это
так: множество всех значений неизвестного х, при ко
торых уравнение определено, называется областью
определения уравнения.
/)(У) = (-оо;1)и(1;оо), где и - знак объединения.
Итак, пусть хф \ , тогда дробно-рациональное
уравнение 3+2х - 4 преобразуется к 3 + 2х = 4(х-1 ).
х-\ 4 '
3 + 2х = 4х - 4 ; 4х - 2х = 3 + 4 ;
2х = 7; х = 3,5,
или {3,5} (множество, состоящее из одного элемента).
О т в е т : {3,5} .
m
Практикум 2 15
2 . ^ 0 ^ - = !. Л(У): х + 2 * 0 ; х * - 2
4 х -2 ( 3- х ) = 3(х + 2) ;
4х - 6 + 2х = Зх + 6 ;
6х-3х = 6 + 6 ;
' Зх = 12 ; х = 4 .
Очевидно 4 ^ - 2 , т.е. корень принадлежит области
определения, записывают это так 4 е/)(У) .
О т в е т : х = 4 .
2(2*-1)+3(4-2х) „
3(х-2)-2(х+2) ^ '
Выясним, при каких х уравнение определено. Для
этого приравняем знаменатель к нулю и найдем
значение х, при котором это верно.
3 (х -2 )-2(х + 2) = 0;
Зх- 6 - 2л;-4 = 0; х = 10,
значит П(У) ■ х?П0;
2( 2 х -1 ) + 3 (4 - 2 х) = з ( з ( х - 2 )- 2 (х + 2)) ;
4х -2 + 12-6х = 3(Зх -6- 2х- 4);
-2х + 10 = 3(х-10);
-2х + 10 = 3х-30 ;
5х = 40 ;
х = 8;
х = 8еП (У ).
О т в е т : х = 8 .
3(Зх + 1)-4 (5х + 1)
* 2(2х-1) + 5 (0,2-Зх) '
Прежде, чем решать уравнение и выяснять В(У ),
преобразуем числитель и знаменатель.
m
16
9*+ 3-20х-4 _ #
Линейные уравнения
4^—2+1-15^ _ ’
^ ± = \-, П(У): - 1 1х-1 ^ 0 , т.е. х *-—.
-11л'-1 1 ’ 11
Сокращая дробь, имеем 1=1 - истина.
Значит любое значение л:, принадлежащее области
определения - есть решение.
О т в е т : х ^ - ~ или |-оо;—- | и | —-:«>
Н -т г) и(“тг;<
5. 4» -20+ у ) = о .
0,3 (2 + 0 ,4х)+ 1
После преобразования получим:
4* —10 —4*
0,6 + 0,12л: + 1 ~ ’
- 10- = о,
1,6 + 0.12*
Очевидно, что решения нет, так как - 10^0 .
О т в е т : 0 .
2* + 3(4* -7 ) _
' 2 (2л -3 )-3(3 -2 х)
2х + \ 2 х -2 \
4 л' — 6 - 9 + 6*
Ш 21 = 2; П(У): 10х-15 ^ 0; х*1,5.
10л- -15 ^ >
тогда 14х-21 =20д;-30;
' ~ ^ >
30-21 = 20*-14;с;
9 = 6х ;
лг = 1,5 йО(У).
Ответ: 0 .
m
Тренировочная работа 2
Тренировочн ая ра бот а 2
Решите уравнения:
^ 5х- \ 2х-\ _ 0
9 6 ~ ~
2 2(2л-1)-1 3-5(Зх+1)
4 6
3. -0,3(1 - 2х) + 2,1(х -3) = 0,б(х + 4) + 0 ,4(2-х) .
4. 5 х- ( З х -( б х -2 ) ) = -1 0.
5. 2 (2х -1 )-3(4 -3 *) = 2-4 (2х + 3).
6. 0,4(3 -2х)-0 ,3 (2х-1 ) = 3-2(3 * + 1).
17
4(х+1)-2(7+2х) _
0,3(2,4+0,4х)+1
д 3(Зх+2)-4(5х-4) ,
10 . ^ - 2>;3( у - 15>, 2 .
2 (2х - 7) - 3 (7 - 2х)
m
18
Решение т рени ровочной работ ы 2
Решите уравнения:
1. ^ ± - ^ ± = 2 1-18
9 6 1
2(5 *-1 )-3(2х-1) = 2-18;
10 х-2-6 х + 3 = 36;
4х + 1 = 36;
4х = 35;
35 .
х =— х = 6—
4 4
О тве т: х = 8—.
2(2х-1)-1 3-5(Зх+1) „ ,
2. ——
---------^----
4 6 I ’
3
4
± = 3 -12 ;
3(2(2х-1) -1) - 2(3 - 5(3ж +1)) = 36 ;
б(2х-1)- 3 -6 + 10(3х + 1) = 36 ;
12.x-6-9 + ЗОх+ 10 = 36;
42х = 41 ;
41
X = — .
42
Линейные уравнения
О тве т: х = — .
42
3. -0,3(1- 2х) + 2,1 (х - 3) = 0,6 (х + 4) + 0,4 (2 - х); | -10
-3(1-2х) + 21(х-3) = б(х + 4) + 4 (2 -х) ;
—3 + 6х + 2\х — 63 = 6х + 24 -ь 8 — 4х \
21х + 4х = 32 + 66 ;
25л: = 98 ;
98 0 23
х = — ; х = 3 — .
25 25
О т в ет : х = 3 — .
25
m
Тренировочная работа 2
4. 5 х -(З х-(бх -2 )) = -10 ;
5х-Зх + (бх-2 ) = -10 ;
2х + 6х-2 = -1 0; 8х = -8 ; х = -1.
О твет : х = — 1 .
5. 2(2 х-1)-3(4-Зл:) = 2-4(2х + 3).
4х-2-12 + 9х = 2-8х- 12;
13х + 8х = 2 + 2 ;
21х = 4 ; х = — .
4
21
19
О твет : х = — .
21
6. 0,4(3-2 х)-0,3(2х -1) = 3-2(З х + 1) ; |-10
4(3-2 х )-3 (2 х-1) = 30-20(3* +1);
12 -8х-6х + 3 = 30-6 0х-20 ;
60х-14х = 10-15; 46х = -5 ;
___5_
46 ’
О т в ет : х = ~— .
(2х-1)-0,3-5
(4х+2)-0,6 -0,7^7х -^
0,6х-0,3-5 _ ^ <
2,4х+1,2-4,9х+0,1
0,6х 5,3 _ ^ • 1?3 - 2 )5 х ^ 0 ; х ^ —
1,3-2,5л 25
0?6 х - 5 ,3 = 2 , 6 - 5 х ; 5х + 0,6х = 2 ,6 + 5,3 ;
5,6х = 7,9; * = Д Г = ||6 С(У).
5
46
■ ^ >
О т в е т : х = 1— .
23
56
m
20
4(х+1)-2 (7 + 2*)
0,3(2,4 + 4*)+1 ’
4л: + 4 —14 —4л: л -10 А , л л
= 0; = 0, но -1 0^0.
0,72 +1,2*+ 1 1,72 + 1,2*
Ответ: 0 (решения нет).
3(3*+2)-4(5*-4) _
V. / 1 \ ~ 1'
2(2*-3)-31 5*-9-
Линейные уравнения
9х+6-20х+16
4х-6+28-15х
11х+22 1 г\/ \ 1 1 г\
-П х+22 4 ' 11
= 1;
= 1; & \У ) : -П х + 22^0 ; —
После сокращения получим 1 = 1 — истина.
Значит любое хе/)(У )— решение.
Отв ет: х^ 2, или (-оо;2)и(2;оо).
2(*-2)+3(4*-15) _
2(2х-7) -3(7 -2 * ) ‘
2*-4+12*-45 _
2(2*-7)+3(2*-7) ~ ’
14л-49
5(2*-7)
7 ( 2 ^-7 )...
5(2*-7)
= 2; 1>(У): 2 *-7* 0; л: 5* 3,5:
7
После сокращения: — - 2 — ложь.
Ответ: 0 .
; х * 2.