Добавил:
Nemo_Nemorino
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Шахмейстер А. Х. Серия Математика. Элективные курс в 16 книгах / Уравнения - 2011.pdf
m
Еще несколько способов решения уравнений
7. (х-1)5 +(х + 3)5 =242(х + 1).
Положим (= - ■ 1^ +3 = х +1, тогда х - 1 - 1.
Получим (/ - 2)5 + (/ + 2)5 = 242/ ,
так как
(/ + 2)5 = /5 + 5-/4 -2 + 10/3 -22 +10/2 -23 +5/-24 +25
+
(/-2 ) = /5 - 5-/4 -2 + 10/3 -22 -10/2 -23 + 5/-24 - 2 5
(/ + 2)5+ (/-2 )5 = 2/5 + 0 + 2 • 10 • 22 /3 + 0 + 2 • 5 • 24 / + 0.
Итак 2/5 + 80/3 +160/ = 242/.
а) / = 0;
б) /4 +40/2 -41 = 0 ;
141
~/2 = 1
Ю
II
Г
Значит
1
~/ =
/=
/ = 1
/ = - 1
0
1 ;
1
II
+
О
х + 1=1 ;
/= -1 х + 1 = -1
О т в ет : {-2; -1; 0} .
Сгруппируем:
х - 5 + х 2х—5 4(2х-5)
,х ( х -5 ) (* - 1) ( л ; - 4 ) ( х - 2 ) ( д : - 3 ) ’
(2 х -5 )( -^ — + ^
4 ’ \х 2-5х х -5 х + 4 х - 5 х + 6 /
а) 2х- 5 = 0; х = 2,5 ;
-----
+ - ^
----
х = -1
х = 0
х = -2
1 = 0 ;
m
142
б) пусть х2 - 5х = ( , тогда
Уравнения высших степеней
1 I 4
! + _! _ + _ ! _ = о ; - и * - 4 ;
I 1+4 1+6
7*0
I * — 6
3 ( / + 4 ) ( / + б) + /( / + б ) + 4 / ( / + 4 ) _ _
/ ( / + 4 ) ( / + б )
3 (/2 -ь 10Г + 24) + Г2 + 6/ + 4/2 +16Г = 0 ;
8/2 + 52/ + 72 = 0; 2/2 + Ш + 18 = 0;
_ - 1 3 ± - у / 1 69 - 1 4 4 _ - 1 3 + 5
m
Еще несколько способов решения уравнений
х4 + 4х - х -16 х- 12 х + 1
X4 + X3 х3 + 3х2 -4х -1 2
Зх3
Зх3 + Зх2
-4х -16х
■ 4х2 - 4х
— 12х — 12
-12х -12
О
б) #>(х) = х3 + Зх2 — 4х -12; ^>(2) = 8 + 12 —8 —12 = 0
х3 + Зх2 — 4х -12 I х - 2
■ 2х х + 5х + 6
5х 4х
5х -10х
6х -12
6х -12
0
в) х + 5х + 6 — 0 ;
х = -2
х = -3
О т в е т : {—1; —2; —3; 2}.
х + 2 х - 2 х' + х + 3
10.
х3+2 х -3 х 3+ х+ 2
Воспользоваться свойством пропорций можно, но
довольно непросто. Попытаемся выделить целую часть
в левой и правой частях уравнения.
3+ 2 х - 2 _ ( х 3+ 2 х -3 ) + 1 ^
Ь = -
х + 2 х —3
х + 2 х - 3
х + 2 х- 3
(левая часть);
m
144 Уравнения высших степеней
х 3+ х + 3 (х 3+х + 2 ) + 1 \
П = —2
------
х +х+2 х +х+2 х +х+2
= -—г -— = 1 + —=------- (правая часть).
Тогда -г—!
-----
х +2 х- 3 х + х + 2
= —г-^-; х3 + х + 2 = х3 + 2х - 3 ; л: = 5 .
Пусть /(х ) = х3 + 2 х -3; /(5) = 125 + 10 -3 ^ 0 ;
/(х ) = х3 + х + 2 ; /( 5 ) = 125 + 5 + 2^0 . Значит 5 е В( У) .
О т в е т : х = 5.
11. 2х4 - 1 Ох3 + 15х2 - 7х н-1 = 0 .
Это уравнение не является возвратным.
/(1 )* 0 ; /( -1 ) ^ 0 ; / ( { ) * 0 ; / ( ~ ) ^ °
Значит рациональных корней нет. Конечно, существуют
формулы Кардано-Феррари, по которым можно решить
любое уравнение 3-й и 4-й степени, но это требует знания
комплексных чисел. Попробуем применить другие со
ображения.
Многочлен 4-й степени с целыми коэффициентами можно
представить в виде произведения двух квадратных трех
членов.
я0х4 + ахх3 + а2х2 + а3х + а4 ={ьох2 + Ъ^х + Ъ2^(с0х2 +с1х + с2^9
где Ь0; Ьх; Ь2; с0; с,; с2еЖ.
Рассмотрим данное уравнение:
а) так как а0 = 2 , то Ъ0с0 = 2 и, либо Ь0 = 1 и с0 = 2 ,
либо Ь0 =2 и с0 = 1 (случаи Ъ0 < 0 и с0 < 0 пока
исключим);
б) а4 = 1, тогда Ь2с2 = 1, значит Ъ2 = 1 и с2 = \
(случаи Ъ2 < 0 и с2 < 0 пока исключим),
тогда 2х4 -10х3 +15х2 -7х + 1 =^2х2 + ^х + 1^х2 ч-^х + 1),
но ^2х2+й1х + 1^х2+С!Х + 1^ =
= 2х4 + Ьхх3 + х2 + 2^х3 + Ъхсхх2 + схх + 2х2 + Ъхх +1 =
— 2х -+■ + 2 сх ^ х + (3 + Ъхсх ^ х“ + + Ъх ^ х + 1.
m
Еще несколько способов решения уравнений
Два многочлена равны, если все коэффициенты
при соответствующих степенях равны.
Ъх + 2сх =-10
3 + Ъхсх = 15
сх+Ьх- -7
I Ъхсх =12
[с, + 6, = - 7
По теореме обратной теореме Виета, эта система по
рождает уравнение т2 + 1т +12 = 0 .
Значит или сх = -4 и Ъх = -3 или с, = -3 и 6, = -4 ,
но 6, + 2сх = -10 , тогда сх =-3 и 6, = -4 .
Значит 2х4 -10х3 + 15х2 -7 х + 1 = ^2х2 -4х + 1^х2 -Зх + 1) = 0.
2 + ^2
х = -
2
2-^2
2х -4х + 1 = 0
х2 -З х + 1 = 0
X = -
х =
2
3 + ^5 ’
2
3 - ^
---
—
2
Так как больше четырех корней у данного уравнения
быть не может, то случаи с отрицательными коэф
фициентами
О т вет :
Ъ0, с0, Ъ2 и с2 рассматривать нет смысла.
2 + ^2 _ 2-лД _ 3 + ф _ З-у/5
2 ’ 2 ’ 2 ’ 2
М!>
12. 12х
■ 52х5 - 13х4 + 156х3 - 13х - 52х + 12 = 0 .
В данном случае это возвратное уравнение. Известно,
что возвратное уравнение четной степени можно с помо
щью подстановки / = х + — привести к уравнению в два
X
раза меньшей степени. Для этого уравнение степени 2п
делят на х в п -ой степени и группируют равноотстоя
щие члены, после чего используют замену / = х + —,
х2 +-\ - = /2-2, х3 + Д г = /3 - 3 / и т . д .
m
146 Уравнения высших степеней
Применим этот прием к данному уравнению. ( :*3)
12х -52х" -13х + 156- —- ^ + -^- = 0 ;
13 52 12
X X X'
12^х3 + 4 ) -5 2 |х 2 + -^ - 1 з |х + -|-| + 156 = 0.
Пусть х + — = 1.
X
12(/3 - 31) - 52(/2 - 2) -1 31 +156 = 0 ;
12/3 -52/
12/3-5 2/2- 49/ + 260 = 0;
/(4 ) = О
12/ -52/ -49/+ 260
12/3 -48/2
1-4
12/ -4 /- 6 5
•4/ -49/
■4/2 +16/
-65 /+ 260
-65/+ 260
0
,2^ _ 4 ,- 6 5 = 0; , 1 ± ^ Т ™ = 2±28
и 1 2 1 2
х + —= —
I = —
(= 4
13
X 2
1 -_ Н «
* + х ” 6 5
I .
х + —= 4
2х - 5х + 2 = О
6х -ь1 Зх + 6 = 0 ■
хГ — 4х + 1 — 0
х = —
2
* 2
2
х = —
3
х — 2 + >/з
х - 2 ~ 4 з
Ответ: {2 ; 2 ; ; 2 + л/з ; 2-л/з }.
m
Еще несколько способов решения уравнений
13. х4+ 4 х3+18х2+ 28 х -15 = 0.
Рассмотрим еще один метод.
Положим х -1 + а и подставим в уравнение:
(/+ а)А +4(/ + а)3 н-18(/ + а)2 + 28(/ + а) -15 = 0 ;
/4 + 4/3а + 6/2а2 + 4/а3 + а 4 + 4/3 + 12/2а + 12/я2 +4а3 + 18/2 +
+36/# +18а2 + 28/ + 28# — 15 = 0
Г4 + 4(а + 1+ + б(а2 + 2а + з)(2 +4 (а3 + 3а2 +9а + 7)? + а4 +
+4а3 +18а2 + 28а-15 = 0 .
Идея метода состоит в том, чтобы подобрать такие
значения параметра а , при которых уравнение стало
бы биквадратным, т.е. коэффициенты при /3 и I
оказались бы равными нулю.
Га + 1 = 0
Т.е.
а = - 1 .
I а3 +3а2 +9а + 7 = 0
147
Значит ;4+12?2-2 8 = 0;
-14й(0;оо)
12 =2
1=у12
,= - 7 Г
х = ур2- 1
тогда
х - —у/2 -1
Ответ: {- ф . -1 ; ф . -1}.
m
Самостоятельные
работы
Сам остоятельная работ а 1
Вариант 1
Решите уравнения:
1. 3(* + 3 )- 2 (2 * - 1 ) + 5( 3* -1) = 4 .
4 — 3(3л: +1) 2 (5 -*)
2 3
3. 3,2(2л + 5 ) - 1 |(2 -З ж ) = 2,6.
2,2(2* -2,1) 4(21 ~ 2’5х) ~1 _ 1
3 5
5 3(3* + 4)-4 (5 л: + 6)
' 2(2дг + 1)-5(Зд: + 2,8) _
6 2*+ 3( 4 * -7 ) -4 _
2(2х + 5)-3 (5-2 *) _
7 2 (* -1 ) + 3(4*-11) 2
2 (2л: — 5) — 3(5 — 2л:)
8. (5х + 1)2 ( х - 4 )- (5 *-4)” [х-2) = 28 .
9. (13х + 11)2-(12х + 7)2-(5х + 9)2 =19.
10. (х -2 )3-(х + 2){х2-2х+4) + (2-Зх)(5-2х)
m
Самостоятельные работы
Вариант 2
Решите уравнения:
1. 2(2х + 1)-3 (х -3)-5 (З х + 1) = 4.
4+3(Зд: — 1) г _ 2(5 + х)
2 3 '
3. 3,2 (2 х-5) + 1,4(Зх + 2) = -2,6.
1 -4 (2 | + 2,5дг) 2,2(2дг + 2,1)_ 1
5 3
5 (Зх - 2,8) - 2(2х -1) _
4 ( 5х -б)-3 (Зх -4)
149
4 + 3(4х + 7) + 2х _ 1
2(2 х -5) + 3(2х + 5) ~
2(2х + 5) + 3(5 + 2х) _ 1
‘ 2(х + 1) + 3(4х + 11) ~ 2 '
8. (х + 2)(5х + 4)2 - ( 5х - 1)2 ( х + 4) = 28 .
9. (13х -1 1 ) 2 - ( 5 х - 9 ) 2 - (1 2 х - 7 ) 2 =19.
10. (х - 2)(х2 + 2х + 4) -(х + 2)3 + (2 + 3х)(5 + 2х) = 22 .
m
150
Сам ост оят ельная р абота 2
Вариант 1
Решите уравнения:
х+3 3 3
1. — - +
х + 2 х-1 (х + 2)(х-1)
Самостоятельные работы
у - \ 1
(у -4 )(у + 2) { у- \) (у + 2) 2 (у -\) (у + 2)
3.
х2-2х + 1 \ х2-} х2- х
Л . 6х + 1 6х-1 | х+ 1 12
4. I —
^ 1,5х2 Зх-1 Зх + 1 Л
5. —-+
6. х + 2 +
7.
----
х -6 х х +6х / х -36 *+1 х +х
9х -1 3 + 9х 6х -2
х -2 2 х-х2
/
2х + 1
2х —2’
^ 8х3+1 1 + 4х + 4х2 ^
х 1
о Ь-
+-
----------------
х3-6
4х -2 х
= 0 .
2х
3 - 2у
. х-1
х2 + х
12
2х
8х3+1
8. 8х - (2 + х2 )(2 - х2) = (х2 - 2х)2 + 4х3.
^ (2х2+х + 1)~—2^2х +х + 1) + 1 0
х2
1 0 . (х 2- х + 1)(х2 + х + 1 ) -( х2 + 1)(х4 - х2 +1 ) + (х2 +1)3 =1.