Добавил:
Nemo_Nemorino
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Шахмейстер А. Х. Серия Математика. Элективные курс в 16 книгах / Уравнения - 2011.pdf
m
Решение зачетной карточки 6
4х2 -2 0 х + 9 = 0 ;
_ 1 01 ^ 1 0 0 -3 6 _ 10 ±8 .
'12
X =
Ъх2-40х + \8 = 2(2х-9)(2х-\);
9( 2 х+ 1 )- 9( 2х - 1) + 8х ( х- 5) х (2х + 1)
(х -5 ) (2 х- 1) (2 х+ 1 ) 2 х - 9
1 8х + 9 -1 8 х + 9 + 8х 2-4 0 х х ( 2х + \) 10
( х- 5 ) (2 х + 1 )( 2х- 1) 2х - 9 х - 5
(8х2-4 0 х + 18 )х(2 х + 1) ]0
( 2 х - 9 )( х - 5 ) ( 2 х + 1 )( 2х -1 ) х - 5
2 ( 2 х- 9 ) ( 2 х -1 ) х
( 2 х - 9 ) ( х - 5 ) ( 2 х - 1 ) _ х^-5
- - — = 2; 5) = 2 ; 2 = 2.
х -5 х - 5 х -5
10
= 2;
О т ве т: любое х , так ое что <
2
9 ’
2
- 1 ^ = 2 -
с ’
х - 5
10 = 2 ;
\т * 5
1 ^ -
2
х* 4 , 5
0(У): •
есть ре шени е.
х Ф 5
1
х Ф -
2
х Ф 4 , 5
х Ф —
1
2
хф —
2
m
252 Решения
5.
2х
2х~-5х+3 2х +х+3
2х \3х
,(2х_ 5 + 2) лг(2х + 1+1)
По ло ж им 2х + — + 1=/ , тогда 2х +— 5 = 1-6; —- +— = 6:
- + -
\3х
»( уу-
3 3 2 13
х х /-6 /
2/ + 13 ( / -б ) = 6/ (/ -б); 6/2- 5 1 / + 78 = 0;
2, *-1 7, + 26 = 0; , =
1 = 2
. еДУ) ;
( = 6,5
11±>/121-96 11+5
1,2
2.x н ь 1 — 2
X
3 13 ’
2х + — +1 = —-
л: 2
х = 2
х = —
2х - х + 3 = 0; 7)<0
4х2 — 11лг + 6 = 0
3 ■
4
О т ве т: {0,75; 2} .
6. (х + 1) +(5- х) =1056.
(* +1)5 -(д: - 5)5 = 1056 .
По ло ж им / =
х+1+х-5
х-2 , тогда х = (+ 2;
\1* 6
/ * 0
,5 2 .у
(/ + 3)' - (/ -3 ) =1056;
\5 .5
((+ З)5 = (5 + 5(4 ■ 3 +10(2 ■ З2 +10(2 ■ З3 + 5( • З4 + З5
(г - З)5 = / 5 - 5/4 • 3 +10/3 • З2 -1 0(2 • З3 + 5/ • З4 - З5
(/ + 3) — (/ — 3) = 1О/4 3+-20/2-З3 +-2-35 = 1056;
15(4 + 210(2 + 243 = 528; 15/4 + 270/2-285 = 0; (4 + 18/2- 1 9 = 0 ;
1
V = -1 9; 0
(О
И
Г
II
Т
п
1
л: — 2 = 1
_х - 2 = -1 ’
х = 3
К
1
II
Ответ: {1;3}.
m
Решение зачетной карточки 7
Реше ние зачетной карт очк и 7
1. |х ~ ) ( х - ^ ) ( * ~ ) = ( *-1)(х-2 ) ( х - 3).
( х- 1)(х - 2)(х - 3)((х + 1)(х + 2)(х + 3) - х3 ^ = 0 ;
х = 1
а) х = 2 ;
_х - 3
б) (х + 1)(х + 2)(х + 3) - х3 = 0 ;
^х2 + 3х + 2^(х + 3 )-х3 = 0;
х3 + бх2 + 11х + 6 - х3 = 0 ;
6х~ + 11х + 6 = 0 ; О < 0 .
О т ве т: { 1 ; 2;3} .
253
2. (х2- х + 1)4- 1 0 д:2(х2- л + 1)2+ 9л-4= 0. (: + )
.л4 ,л2
х“-х+1
/2 Л 2
х - х + 1
х" - х + 1
-10
= 9
= 1
х~-х+1
х
х 2 - х + 1
х 2 - х + 1
х 2 - х + 1
х 2 - х + 1
X
х
X
х
+ 9 = 0.
у
= 3
= -3
= 1
=
- 1
х2 - 4х +1 = 0
х2 + 2х +1 = О
х2 - 2х +1 = О
х2 +1 = 0: ^ < О
X =
2
+ л/з
х = 2- Уз
х = -1
х = \
Ответ: {-1;2-л/3;1;2 + л/з}.
m
254
3. (х2 -6 х- 9^ =хъ -Ах1 -9х .
Решения
х2[ х- 6- — \ = хА\х-4
■ Г - 1 ■ '
По ло ж и м х
9 9
------
6 = 1, тогда х 4 = / + 2 ,
х х
(х*0)
и у ра вне ни е приобре тает вид I2 =1 + 2.
9
-6 -2
~( = 2
1 ~ -! ’
Ответ:
1 2 3 4 5 6 А
4 —I
-------1-------1-------1-------1-------
■ х .х-1 х - 2 х -3 х - 4 х -5
х —
X
9
х —
х
- 6 = -1 ’
х2 -8х-9 - 0
_х2 - 5х- 9 = 0 *
— 0 у р 1
Так к а к х - целые чи сла , то:
а) если х >5, то все дроби поло ж ите ль ны е чис ла
это значи т —и
1 2 3 4 5 6
------
Л' х-1 х - 2 х -3 х -4 х -5
и и
-----+------+---
> 0 , т. е.
корн ей нет;
х = 9
х =
5 + ТбТ
X =
5-УбГ
В(У):
2
2
х ф О
х ф 1
хф2
хфЗ
х ф 4
х Ф 5
б ) е с л и х < 0 у т о в с е д р о б и о т р и ц а т е л ь н ы е ч и с л а , ч т о
означает — +
1 2 3 4 5 6
--------+---+-----+------+-----
х х-1 х -2 х -3 х - 4 х -5
<0 ;
в) з нач ен ия х , р ав ные { 0 ; 1 ;2 ; 3 ;4 ;5 }
не п ри н ад ле жа т 1) ( У ) .
Ответ: решения нет.
m
Решение зачетной карточки 7
5. х4- х3-9х2 +2х + 2 = 0 .
/ (1 ) * 0; /(- 1) * 0 ; / ( 2) * 0 ; /(- 2 ) * 0.
Зна чи т, р ац и он ал ь ны х корн ей уравне ние не имеет.
Предс тав им левую ча сть урав не н ия в виде произ вед е
ния двух тр ехч лен ов, т.е.
а0х4 + а{х3 + а2х2 + аъх + а4 =
-{ъ^х1 + Ъ{х + Ъ2^ с0х2 +с}х + с2^,
где а0; ах; а2; аъ\ а4; Ь0; Ъх; Ъ2; с0; сх; с2 , но замеча ем, что
Ъ0с0 = 1, а Ь2с2 = 2 .
Пров ерим [х2 + Ъхх + 2^[х2 +схх + 1^ = х4 - г* - 9х2 + 2х + 2 ,
тогда
^х + Ъ^х + 2 ^ х + С|Х +1^ —
— х + + С|) х +(Ь1с] + 3)х + ^|+ 2с} ) х + 2,
Ьх +сх = -1
т. е.
3 + Ъ,с,=-9; ГЬ1 + ^ = -1 . Гс, =3
11
2с, + Ъх = 2
* , =- 4
255
Эта пар а подходит д ля 6, с, =- 1 2.
Ита к ,
х4 -х 3 -9х2 + 2х + 2 = ^х2 -4х + 2 ^х2 + Зх + 1^ = 0 ;
х = 2 + >/2
х - 4х + 2 = 0
х“ +Зх + 1 = 0
Ответ: |г->/2 ; 2 + л/2 ; ‘
х -2-ур2
-3+75 .
х =
-------
2
3+75
х =
--------
m
256
х2 (х2 + 4х + 4) + 4х2 = 5 (х2 + 4х + 4 );
х4 + 4Х3 + 4Х2 + 4х2 - 5х2 - 20х - 20 = О;
х4 + 4х3 + Зх2 - 20х - 20 = 0 ;
х4 + 4х3 + Зх2 - 20х - 20 | х + 1
Решения
х ^ -2
х ^ О
х + х
х3 + Зх2 - 20
Зх3 + Зх2
Зх3 + Зх2
- 20х-20
-20х -20
О
(р (х) = х3 + Зх2 - 20 ;
<р{ 2 ) = 0 ;
х3 +3х 2 - 20 | х -2
х3 - 2х2 х2 + 5х +10 (I) < 0)
5х2 - 20
5х2 - 10х
1 Ох - 20
1 Ох - 20
О
Ответ: {-1 ; 2 }.
m
Решение зачетной карточки 8
Реше ние зачетной кар точ ки 8
257
Зх2+ЗОх+75 х4-1 0х 2+9
1.
7 + 5 х 2-25 х -1 25 ^х2- 4 х^ - 2 х2+8 х- \5
з (х 2+1 0х + 25) ( х2- 9 ) ( х2-1 )
( х -5 ) ( х 2+5 х + 25 ) + 5х ( х -5 ) ( х 2- 4 л ) 2 - 2 ( л 2- 4 л:) - 1 5
3(х + 5)" (л + 3)(л—3)(л + 1)(л— 1) _
(л— 5)(л + 5)" (х2-4 х - 5 ) (х 2- 4х + з)
3 (л + 3)(л — 3)(л + 1)(л — 1)
х -5 (л — 5)(л + 1)(л — 1)(л — 3)
3 х+3 „ З-х-З
х+3 _ 9 .
х-5 х-5
О т ве т: х = 3 - ,
х- 5
3
:2 ;
= 2; - х = 2 х-10; х = 3 -е/) (У ) .
■ = 2 .
2 : ^ +2+?. - *-4 + 711 28
х-1 х+1 х-3 х+3 15
1
1 1 1 1 1 1
] ь I ч — 1
х—1 х+1 х-3 х+3 15
_1 1^ _ 1
х+1 х-1 х+3 х-3 15
Пусть х2 -1 = / .
-----
1-1 + -
___
28^ ]
/ / - 8 + ~15
28
1 _ 3 14
~ х 2- 9 1 5 ’
14
; 15 ( /- 8 ) = 45/ + 14(/2 —8/);
= 2;
О(У ):
О(У ):
х^±5
х ^ 3
^ = ±1
I х ^ ±1
и = ± з '
15/ — 120 = 45/ч-14/ -112/; 14Г-82 / +120 = 0; 7Г -41 / + 60 = 0;
41 + 71681-1680
'и - ]4
41 + 1
14 ’
7 =3
_ 20 ’
~~ 7
1
1
1!
2 л 20 ’
х - 1 = —
~х2 = 4
2 _ 27 ’
7
~ 7
х = 2
х = -2
х — 3.
х = -3.
Л
Ответ: ^ 2 ;- 2; Зл/ | ; - з | -
m
258
, 6б(х2-610)
3. х2 +
2+—^
-----
~ = 15 .
(х+26)2
х2 -6 76 — {х — 2б)(х + 26);
610 = 676- 6 6;
х2 - 61 0 = х2 -6 7 6 + 66;
66(х2 - 610) = 66 (х2 - 67б) + 662;
7 6б(х2-67б) 6б2
- . —\
х" +
--------
(х+26)" (х+26)"
’ +
-------
Решения
П(У)\ х*-26;
15;
6б(2х-(х+2б)) бб2
х+26 (х+26)
2х -66 662 6б(х+2б)
л- ч
---------
(х + - ^Ц ~ =81 ;
\ х+26/
(- _
х+26 (х+2б)~
х+26
х -+ -
х + -
= 15 ;
66
х+26
66
х+26
= 15;
= 9
= -9
х“ + 26х + 66 = 9х + 234
х2 + 26х + 66 = -9х - 234
х = 7
х = -24
х = -20
е Д У ).
х = -15
Ответ: {-24 ;-20 ;-15 ; 7 }.
х2 + 17 х- 168 = 0
х2 +35х + 300 = 0
m
Решение зачетной карточки 8
259
(* -1)Ч*-з )4
4.
4,1
' , 3-л/з
х-1
--------
По ло ж им 1 - х 3 - х - 2
(' + Р Ч -Р -
4,1
а)
4 ' 1+й
V 3 /
(/ + 1) =1Л + 4/3 + 6Г2 + 4/ + 1
\ 3
4 .4
+ ( / - 1) 4= / 4-4 / 3 +6^2-4/ + 1
(/ + !)4 + (/ - 1)4 = 2(/4 + 6/2 +1);
б)
г, л
3
( , л
3
Н )Ч -€
Уравн ение прим ет вид
ЮГ4 +60?2 + 10 = 41/3 +41?;
\3
д:-3 +
з-7з
х=1+2.
\ 3
+
V /
з , иЛ
■-1г +Ъ12 ■ — + 3 / - - +
= Г3 -3 / 2 ^—+ 3/ ---Г—
3 3 3
= 2(/3 + /) .
2(/4 + 6г2 + 1)
4Л
гу/р3
V3 ;
\3
/
10/4 - 4 1/ 3 +60 /2 - 4 1 / +10 = 0 - возвр атно е уравне ние .
о 41 10 1
Ю Г - 4 1 / + 6 0
------
1—— — 0 . Пус ть (+ - = а , тогда
I Г /
/2 + ± = а2-2; ю(а2 - 2 ) - 41 о + 60 = 0; 10а2- 4 1 а + 40 = 0;
_ 41 + ^/1681-1600 _ 41 + 9 .
а1,2 ~
20 20 ’
2Г- 5 * + 2 = 0
5Г2 - 8/ + 5 - 0; Л < 0:
а = —
а - —
1
"/ = 2
/ = -
-
1 ; 1 »
2
5
2 ,
5
*
1
1
С4
И
/ 4 Л
( 2
1 8
/ + - = -
/ 5
Г4
чиГ4
2
х -4
х = 2,5'
О тв е т : {2,5; 4}.
m
260
Решения
(.Г+.*+1)2
5.
(*+1)2(*2+1)
49
45
*2 |х +1+- ^
х н н 1 - /; х и ь 2 — / + 15 х з— — / — 15
X X х
49
45 V
1 1 7
X И
\<Л
2
7 ’
— 2
О т в е т :
-------
х 2
1 7 ;
х + —+1= —
х 2
9 + Уб5 , - 9 + 765 . 1 . ? \
( х 2 +х +1 )~
(х2+2х+1^х2+1^
49
45
= 49(/2 -1) ; 4 г = 49 ;
1~1 — —
2х~ - 5х + 2 = 0
2х + 9х + 2 — 0
4 ’ 4 ’ 2 ’ “ \ ‘
49
45
х = 2
х = -
-9 + Уб5
х = -
X = —
4
9 + л/б5
6. 12х6 + 52*5 - 1 Зх4 -1 5 6 * ’ - 1З*2 + 52* + 12 -
о (:*3) ;
Пол учим возвратное ура вне ни е
12х^ + 52х -1 Зх - 156
1 13 5? Р
----
+ ^ + ^ - 0 ;
X х“ X'
12 *3 + + +52 х2 + + -13 х + - ) -156 = 0.
Пусть х + — - / .
х2 + + = + - 2 ; + + = /"’ - 3/;
X” *■’
12(/3 - З г) + 5 2 (г - 2)- 1 3 / -1 5 6 = 0 ;
X
12/3 + 52/2 -4 9/ -260 - 0 ; /( -4+ 0;