Добавил:
Nemo_Nemorino
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Шахмейстер А. Х. Серия Математика. Элективные курс в 16 книгах / Уравнения - 2011.pdf
m
Решение зачетной карточки 4
241
24
4.
х +2х х"+х
Так ка к
1
х2+х .х(;с+1) х х+\ 9
ТО
12 12 12 12
л* х+2
12
Г 1
\*4-1 х+2
, ч/ ч - х(х +1) ;
(х+1)(х+2) ’
12 2
• + X + X .
1
х2+2х х(х+2)
с+2) 2 \ х х +2) 9
1 1 1
2 4- 1( 1—
2 \х х+2) х+\)
+ х~ +х ;
.х+1
*" + д;;
12
= !_)
+ х + х .
12 = х(х + 1)(х + 1)(х + 2) .
Сгруппируем первый м нож ите ль с четвертым и второй
с тр еть им мн о жи т ел ем .
12 = (х2 + 2х)(х2 + 2х + 1) .
Тогда х2 + 2х-1;
12 = /(/ +1) ;
/ = -4
г +/-12 = о ;
х2 + 2х = -4
я2 + 2х = 3
1 = 3
х2 + 2х + 4 = 0; О < 0
*2 + 2;с- 3 = 0
1
X
х = 1
1
II
О твет : {— 3 ; 1}.
m
242
Решения
9 - 2 *
\* + * - 4 2 2 * + 5 * -6 3 / \ х —5 х-3
х -6
2 6
: 1 .
а) *2 +* - 42 = 0;
~х = “7 .
х = 6 9
х2 + * - 42 = (* + 7)(* - 6);
б) 2х2 + 5л; - 63 = 0 ;
- 5 1 ^ 2 5+ 5 0 4 - 5 ± 2 3
\2 =~
2 * 2 + 5 * - 6 3 = 2 ( * + 7 ) |х - ^ | = ( * + 7)(2 *;-9 ) ;
9 - 2 *
( * + 7 ) ( * -6 ) (* +7 ) ( 2 * - 9 ) ) ( * - 5 ) ( * - 3 )
4 4
х -6
2 ( * -3 ) + б ( * -5 )
-7
9
х = —
2
х^ б
х * 5
В(У): \ х *4,5;
х*3
хФ-1
• = 1;
( л - б ) 2- ( 2 л - 9 ) 2 8 х - 3 6
(х+ 1 )( х- 6 ) (2 х- 9 ) ( х - 5 ) (х - 3 ) ~~ ’
( л - 6 + 2 х - 9 ) ( л - 6 -2 л + 9 ) 4 (2 л - 9 ) _ ^ _
(дг+7)(дг—б)(2лг —9)(лг—5)(лг—3 ) ’
3 ( х - 5 ) ( 3 -л -) 4 (2 х -9 )
( х + 7 )( л -б )( 2 л -9 )( ; с - 5 ) (х - 3 )
= 1;
-1 2- х" + х — 42; х~+х-30 = 0;
х = -6
х = 5 еО(У).
Ответ: х =-6 .
m
Решение зачетной карточки 4
6* х6 +1 + (х + 1)6 -2^х2 + лг + 1) .
-гг х+х+\ 1
Пусть / = = * + —;
х- (~-
2 2
1
243
х2+х + \ = [х + -
\2 3
) V
Уравнение примет вид + г + 2’) +\
/+± ) \( , - 1 ) 6 + 1 = ^ А +^ + 1 + 1.
2) \ 2) 4 16 32
Но 2(?2+ - ) =2((6 + 3 ( 4 -~ + 3(2 -— + — ) = 2 16 +-14+— 12+ — ,
\ 4/ \ 4 16 64/ 2 8 32 ’
значит м н— * з— * з— — 11 н— г н— / н— •
16г4 -8 /2 +1 = 0 ;
К - О ’
"2/ — 1=0 .
_2* + 1 = 0 ’
6 30 4 , 30 .2 33 6 9 4 . 27 2 , 27
\ 2
= 0:
Г 1 1
2
х + —= —
2 2
1 1 ;
X л— = —
2 2
х = 0
х = -1
м
2
1 = ~ 1
Ответ : {0; -1}.
m
244
Реше ние зачетной карточ ки 5
1. ( х2 + 2 х-1 ^2х 2 + 4 х - 1^ = 10 .
Пусть х2 + 2х -1 = / , тогда 2х2 + 4х -1 = 21 + 1 ;
/(2/ + 1) = 10 ; 2/2 +/ -10 = 0
Решения
-1±л /ГЙ 80 - 1 ± 9
^1,2 —
х~ + 2х —1 = 2
х2 + 2х -1 =
2
'/ = 2
/ =
х +2х -3=0
2л;2 + 4х + 3 = 0; /) < 0
л: =
х =
О т вет : {-3; 1} .
6л - 1 1л +11
И ^
11хн 6 .
бх6 -1 1х5 + 11 = 11х2 + 11 - бх; бх6 - 1 1х5 - 11х2 + 6х = 0
6х5-И х 4 -И х + 6 = 0; /(-1 ) = -6 -11 + 11 + 6 = 0
бх5 - 11х4 — 11 х + 6 | х + 1
_________
бх5 + бх4 бх4 - 1 7 х 3 + 17х2- 17 х + 6
-1 7х4 - Их
-1 7 х4 - 1 7 х3
17х3 - Их
-3
1
17х3 + 17х2
- 17х - 1 1х
- 17х2 -1 7 х
6х + 6
бх + 6
0
m
Решение зачетной карточки 5
245
6х4 - 17х3 +11х2 —17лг + 6 — 0.
( + )
Пол уч ил и возв ратно е уравн ени е.
6х2 - 17*+ 1 7 - — + 4 = 0; б(х 2 + 2 - |- 1 7 | х + - ^
Пусть * + — - / , тогд а х2 +- ^ = /2 - 2 . б(/ 2 - 2 )- 1 7^ + 17 = 0;
Г 1 5
х н— — —
х 2 ^
1 1 5
х н— = —
х 3
О т в е т :
4х*'+10х+9 2х1+5 х+\
3.
2х~ +5х+ 4 6х“+15х+8
V
Х~
' '
6/ -—17/ + 5 = 0 ; ^ 2 =
2х2 - 5х + 2 = 0
Зх2 - х + 3 = 0; О < 0
■1; \ ' 2<-
= 2 .
17±л/289-120 17±13
12
х -2
л: = —
+ 17- 0.
12
1
По л ож и м 2х2 + 5х + 4 = I .
4х “ -ь 1 Ох + 9 — 2/ +15 6х^ •+■ 15х + 8 — 3/ — 4 > 2х~ + 5х •+■ 1 — I 3 \
( =
/ = -
3
/ Зг-4
0(уу.
1 ’
(2/ +1)(3/ - 4) + ((/ - 3) - 21 (3/ - 4) ;
6/2 -5 /- 4 + / 2 -З /'-бг +8/ = 0; I2 - 4 - 0 ;
2х2 + 5х + 4 = 2
2х2 + 5х + 4 - -2 *
2х2 + 5х + 2 = 0
2х2 + 5х + 6 = 0; О < 0
1 = 2
I - - 2
6
х = -2
х = —
0(У);
1
О твет : ~ч •
m
246
6 Зх-6 х
—
---------
х~-Зх-4 х" -х -2 х+1
( х - 4 )( х + 1 ) ( х -2 ) ( х + 1 ) х+1 ’
1—^
------—----
3(*~2)
- +
Решения
О( У) :
( х - 4 )( х + 1 ) х +1 х+1
6 + (3 - х)(х -4 ) = 0 ;
х~ — 7х + 6 = О \
х = 1 , ч
е /) У .
х = 6 V ;
О твет : {1; 6] .
5. х
Збх"
= 13 .
о 12х“ Збх
X" - + -
х+6
(х+6)"
6х\2 ,, 12х2
х = 1 3
х+6/ х+6
X
х+6
12х
х+6
------
2
Пусть
-----
= I , тогда
х+6
7 = 1 3-
-------
13 = 0,
-0 ;
(х-4)(х+1) х+1
-х + 7 х- 1 2 + 6 = 0;
12х2 ^
Х+6 ^
12х2
х+6
0(У):
3-х л
+— 7 = о ;
-+-12/-13 = 0 ;
"/ = -13
_/ = 1 ’
— = -13
х+6
^1 =1 ;
х2 +13х + 78 = 0; 7)< 0
х2 - х - 6 = 0
х = 3
х = -2
Ответ: {— 2;3}.
m
Решение зачетной карточки 5
6. ( х - 1)4 + ( а + 4)4 = 97 .
у_1_1_у4-4
Пусть / = :—
----
= а + 1,5, тогда а-= / - 1, 5;
( /-2 ,5 ) Ч (/ + 2,5)4 = 9 7;
(/ + 2,5)“ = /4 + 4 /3 -2,5 + 6/2 -(2,5)2 +4 /-( 2, 5)3+( 2,5 )4
+ ( / - 2, 5)4 =/4 -4 / 3 -2,5 + 6/2 -(2,5)2 - 4/ - (2, 5 ) 3 +(2 ,5) 4
(/ + 2,5)4 + (/ -2, 5 )4 = 2 /4 +12/2 -(2,5)2 + 2 ( 2 , 5)4 =97.
Пусть (2 - а .
2сг + 15а + — -97 = 0;
16а + 60 0 а - 1 5 1 = 0 ;
_ -З00±лу/3002 + 16-151 _ —300±4*л/752-Ы51 _ -75±76
1,2
16 16 ~~ 4
247
а~ —
4
а :
151 ’
4
(^ + 1.5)! 4
(х + 1,5)г = - ^ ; 0
х +1,5 — —
2
х + 1,5 = --
* = -1
х -- 2
Ответ : {-2 ; -1},
m
248
Реше ние зачетной кар точ ки 6
Решения
„ х2 + 2 х-15 48
х-2 8 - х
х2 +2 х - 1 5
48
= 0:
х-2 (х - 2) (х2 + 2х + 4 ^
(х2 + 2х - 1 5 ) (х 2 + 2х + 4) + 48 = 0.
По ло ж им х2 + 2 х - 15 = / , тогда х2+2х + 4 = / + 19.
/ (/н-19) + 48 — 0 ; /2+19/ + 48 = 0;
/ = -3
/ = -16
х" + 2х -15 = -3
х2 + 2 х -15 = -16
х2 + 2х -12 = 0
х2 +2 х + 1 = 0
х = -1 +л/Гз
х = —1 — л/Тз еП(У)
х = -1
О т ве т: {-1 - л/13; -1; - 1 + л/Тз) .
2. 4х3 - 21х + 10 = 0.
/ (2 ) = 4 -23- 21-2 + 10 = 0;
0(У):
хф2 .
4х -21 х + 10 I
4х3- 8х 2
х- 2
4х + 8х - 5
8х -2 1 х + 10
8х2 -1 бх
-5х + 10
—5л: -ь 10
0
4х2 + 8х - 5 = 0; х12 =
-4±л/16+20 -4+6
О т ве т: { - 2 ,5 ; 0,5 ; 2 }.
1
х = —
2
х = -2,5'
m
Решение зачетной карточки 6 249
Зл-(7х2-9 2л:-147)(7;Г-20л:-147)
3.
(л-2- 8 ^ - 2 1)3
10.
= -1 0 .
По ло ж и м х
3(7/-36)(7/+36)
-------
8 = ?.
/3
10/3 + 3 • 49/2 -3 1296 = 0 ; 10/3 + 147/2 -38 88 = 0.
Так к а к 3888 = 35 -42 и / 2 (10/ + 147) = 35-42 , то д ели те ли
7 = ±3; ±3 -4; ±3- 42;±3 2;±32 -4;...
/ (3)*0 ; /(- 3 )* 0 ; /(12)* 0;
У ( —12) = 0 , та к ка к 122 (10 (-12) + 147) = 122 - З3 ;
122-(27) = 122-З3 ;
10/3 + 147/2 -3 888 | У+ 12
10/3 + 120/2 10/2 + 27 ?- 32 4
27/2 -3 88 8
27/2 +324/
-3 2 4/- 3 8 8 8
-32 4 /- 3 88 8
0
10/2 +2 7 / -32 4 = 0;
/
-----------------------------------
-27 + 7729 + 4-10-324 -27 + 117
1 —
____2__________
20
— * 7 41 *
20
Г/=г4’5
5
m
250
Решения
а) х~ — -8 = -12 ;
X
х2 +4 х - 2 1 = 0 ;
х — -1
х = 3
б) х--
21 „ 9
2х2 -25х-42 = 0;
25 + ^/625 + 336 _ 25 + 31
4 ,2
. 21 „ 36
в) х 8 = “Т ;
-V 5
х = 14
х = —
5л2 - 4.x -105 = 0;
2 + 74 + 525 _ 2 ±23 _
х = 5
Х\ 1
х - -4,2
О т ве т: {- 7; - 4, 2; - 1, 5; 3; 5; 14}.
9 8х 1 2х~+х 10
2л-2—11лг-ь5 5 + 9х-2 л2 4л2- 1 / 2 л-9 л -5
+ т + —^Г-Г • - — г"
3
-----
т = 2 ;
а) 2л 2 -11л + 5 = 0;
_ 11 + 7121-40 _ 11 ±9 .
Х \,2 ~
4 4
х = 5
х — —
2
2х2 — 11х + 5 = 2(л: -5 )| л: --^ | = (х- 5 )( 2 ; с- 1 ) ;
б) -2х2 + 9* + 5 = О
9 ± л/81 + 40 9± 1 1
х12 ~ й 7“ >
х = 5
х - -
1 ’
-2х2 +9х + 5 -- 2 ( т - 5 )| х + ^ |--(л '-5 ) (2 х + 1);
в) 8х2 - 40л: + 18 = 0;