Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1327 вузов, 5481 предметов.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Башкирский Государственный Аграрный Университет
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:

Линейная алгебра. Учебное пособие-1

.pdf
Скачиваний:
0
Добавлен:
15.08.2026
Размер:
1 Мб
Скачать
☆

РОССИЙСКИЙГОСУДАРСТВЕННЫЙУНИВЕРСИТЕТим. ИММАНУИЛАКАНТА

Е.В. Скрыдлова О.О. Белова

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Рекомендуется Редакционно-издательским советом РГУ им. И. Канта в качестве учебного пособия

Издательство Российского государственного университета им. Иммануила Канта

2010

1

УДК 512.64 (07) ББК 22.143я73

С458

Рецензент А.А. Туганбаев, д-р физ.-мат. наук,

проф. кафедры высшей и прикладной математики Российского государственноготоргово-экономического университета

Скрыдлова Е.В., Белова О.О.

С458 Линейная алгебра: учеб. пособие. — Калининград: Изд-во РГУ им. И. Канта, 2010. — 151 с.

ISBN 978-5-9971-0062-9

Излагается теория векторных пространств с ее приложениями к решению систем линейных уравнений, теория линейных операторов, в том числе в евклидовых пространствах, и рассматриваются наиболее важные вопросы теории билинейных и квадратичных форм. Подготовлено в соответствии с государственным стандартом на основе многолетнего опыта чтения лекций в РГУ им. И. Канта.

Предназначено для студентов математических и физикотехнических специальностей университетов, преподавателей вузов и колледжей.

УДК 512.64 (07) ББК 22.143я73

© Скрыдлова Е.В., Белова О.О., 2010 ISBN 978-5-9971-0062-9 © Издательство РГУ им. И. Канта, 2010

2

ВВЕДЕНИЕ

Предлагаемое вниманию читателей учебное пособие подготовлено на основе многолетнего опыта чтения лекций в РГУ им. И. Канта. Оно содержит подробное и максимально доступное изложение фундаментальных понятий и аппарата линейной алгебры. В пяти разделах книги рассмотрена теория n -мерных векторных пространств с ее приложениями к решению систем линейных уравнений, отражены основные вопросы теории линейных операторов, в том числе в евклидовых пространствах, приведены наиболее существенные факты теории билинейных и квадратичных форм. За рамками книги оставлены теория матриц и определителей, жорданова нормальная форма, которые изучаются в курсе алгебры, а также геометрические приложения линейной алгебры. Пособие предназначено для студентов I курса специальности «математика». Его содержание соответствует также программе второго семестра курса алгебры для студентов, обучающихся по специальностям «прикладная математика и информатика», «математическое обеспечение и администрирование информационных систем», «компьютерная безопасность». Для понимания изложенных вопросов студентам всех специальностей достаточно владеть материалом первого семестра курса алгебры.

При подготовке пособия были использованы широко известные учебники по алгебре, написанные А.Г. Курошем [10], А.И. Кострикиным [7—9], П.С. Александровым [1], А.И. Мальцевым [11] и др. Рекомендуем эти учебники и своим читателям. Нужно иметь в виду, что большинство названных книг достаточно объемны, что не всегда удобно при первом знакомстве с предметом. Их лучше использовать для более детальной проработки материала.

3

Линейная алгебра

Авторы благодарны доктору физико-математических наук, профессору Московского энергетического института Аскару Акановичу Туганбаеву и кандидату физико-математических наук, доценту РГУ им. И. Канта Катерине Валентиновне Поляковой за ценные замечания, которые учтены при окончательной редакции пособия.

Надеемся, что учебное пособие будет полезно студентам математических, а возможно, и физико-технических специальностей при изучении линейной алгебры, но уверены, что оно не может заменить общения с преподавателем на лекциях и практических занятиях.

Основные обозначения

— квантор общности;

— знак логического следования;

— знак равносильности (эквивалентности);

def

— равенство по определению;

{x; y f (x)} — множество всех таких x , что f (x) y ;

— знак принадлежности элемента множеству;

— знаквключениямножеств, неисключающий их совпадения;

▲— конец доказательства.

Все другие обозначения объясняются в тексте.

4

I.ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА

§1. Понятие векторного пространства

Определение. Множество V элементов произвольной природы называется векторным (линейным) пространством

над полем P , а элементы этого множества — векторами, если для них выполнены следующие аксиомы:

I. На множестве V заданы две бинарные операции: одна внутренняя операция — сложение векторов и одна внешняя

операция — умножение векторов на элементы поля P .

 

 

 

 

 

 

 

 

II.

Сложение любых векторов

x1 , x2 , x3

V

удовлетворяет

следующим условиям:

 

 

 

1)

 

 

 

 

 

 

 

x

x

x

x (коммутативность);

 

 

2 2 1

2)(x1 x2 ) x3 x1 (x2 x3 ) (ассоциативность);

3)существует 0 V (нулевой вектор), такой, что x 0 x для любого x V ;

4)для каждого x V существует x V (противоположный вектору x ), такой, что x ( x) 0 .

III. Умножение всех векторов на произвольные элементы

поля P удовлетворяет следующим условиям:

 

1)

k (k

 

x) (k k

)

x (ассоциативность);

 

 

1

2

 

1

2

 

 

 

2)

(k1 k2 )x k1 x

k2 x

(дистрибутивность

относительно

сложения чисел);

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3)

k(x1

x2 ) k x1

k x2

(дистрибутивность

относительно

сложения векторов);

 

 

 

4)

e x

x , где e — единица поля P (унитарность).

 

 

 

 

 

 

 

 

5

Линейная алгебра

Здесь и далее, следуя традициям аналитической геометрии, векторы будем отмечать стрелкой.

В качестве поля P рассматривается либо поле R действительных чисел, либо поле C комплексных чисел. В первом случае векторное пространство V называется действительным, а во втором случае — комплексным. Роль единицы e каждого из этих полей играет число 1. Однако следует подчеркнуть, что значительная часть теории векторных пространств справедлива для произвольного поля P .

Замечание. Операции сложения векторов и умножения векторов на числа называют линейными, поэтому векторные пространства называются также линейными.

Следствия из определения векторного пространства

I. Свойства операции сложения векторов означают, что векторное пространство V является аддитивной абелевой

группой, следовательно: нулевой вектор 0 в пространстве V единственен; противоположный вектор x для каждого вектора x V единственен; противоположным вектору x является вектор x . В пространстве V однозначно определена опе-

рация вычитания векторов, обратная по отношению к опера-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ции сложения:

x1 x2

x1

( x2 ) .

 

 

 

II. Операция умножения векторов на числа удовлетворяет

следующим свойствам:

 

 

 

 

 

1. k0 0 , k P .

 

 

 

 

 

Действительно,

 

 

x V . Значит,

k x k(x 0)

k x k0 ,

вектор k0

играет роль нулевого вектора, который в простран-

стве V

единственен.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. 0 x

0 ,

x V .

 

 

 

 

 

Аналогично предыдущему свойству имеем k x (k 0)x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k x

0x ,

k P . Вданномслучаенулевымоказалсявектор 0x .

6

 

 

 

 

 

I. Векторные пространства

3.

Если k x 0 , то или k 0 , или x 0 .

 

 

 

В самом деле, если

k 0 , то существует k 1 . Умножив обе

части равенства k x 0

на k 1 , получим k 1 (k x) k 1

0 , отку-

да x 0 .

 

 

 

 

 

 

 

 

4.

( k)x k x .

( k)x k x ( k k)x 0

x 0 .

 

Действительно,

Следова-

тельно, векторы ( k)x и k x противоположны.

 

 

 

5.

k( x) k

x .

 

 

 

 

x x) k 0 0 .

Доказывается аналогично: k( x) k x k(

6.

(k1 k2 )x k1 x k2 x .

 

 

 

x ( k2 )x

В

самом

деле,

(k1 k2 )x (k1 ( k2 ))x k1

k1 x k2 x .

 

 

 

 

 

 

 

 

7.

k(x1 x2 ) k x1

k x2 .

 

 

 

 

 

Доказывается

аналогично:

 

k(x1

x2 )

k(x1 ( x2 ))

k x1 k( x2 ) k x1 k x2 .

 

 

 

 

 

Примеры векторных пространств

Непосредственная проверка всех условий определения показывает, что векторными пространствами являются следующие множества:

1.Все направленные отрезки, принадлежащие одной прямой и исходящие из одной точки этой прямой.

2.Все направленные отрезки, принадлежащие одной плоскости и исходящие из одной точки этой плоскости.

3.Все направленные отрезки трехмерного пространства, исходящие из одной точки.

В этих трех примерах операции сложения векторов и умножения векторов на действительные числа осуществляются, как в аналитической геометрии (используется правило параллелограмма).

7

Линейная алгебра

Следующие векторные пространства рассмотрим над полем P (действительных или комплексных чисел).

4. Множество всех прямоугольных матриц одного и того же типа с элементами из поля P :

V {A (a );

a P,

1, s

,

i

1, n

} .

i

i

 

 

 

5. Множества строчных или столбцовых матриц одной и той же длины n . Эти пространства называются n -мерными

арифметическими и обозначаются Pn :

 

 

a1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

;

i

 

 

 

 

 

P

 

P,

i 1, n

.

 

 

 

a

 

n

 

 

...

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

Действительное арифметическое пространство Rn и комплексное арифметическое пространство Cn называются также

координатными.

6. Множество всех многочленов от одного неизвестного с коэффициентами из поля P степени, не превосходящей заданного числа n :

V{ f (x); f (x) P[x], deg f (x) n}.

7.Множество, состоящее из единственного, нулевого вектора, также удовлетворяет определению векторного про-

странства. Это пространство называется нулевым: V {0}.

§ 2. Линейная зависимость векторов

 

Пусть V — векторное пространство над полем

P (ком-

плексных или действительных чисел),

 

 

 

 

a1 , a2

,...,as

(2.1)

— некоторые векторы этого пространства.

8

k1 a1 k 2 a2 ... k s as 0 .

I. Векторные пространства

Выражение вида

 

 

def

 

 

 

 

 

k1 a

k2 a

... k s a

s

k a

( 1, s ),

(2.2)

1

2

 

 

 

 

 

 

 

где k1 , k2 , ..., k s

— произвольные элементы поля P , называет-

ся линейной комбинацией векторов (2.1).

Замечание. Здесь и в дальнейшем будем пользоваться следующим правилом сокращенного суммирования: если в некоторой формуле встречаются два одинаковых буквенных индекса, причем они расположены на разных уровнях, то по этой паре индексов в формуле предполагается суммирование.

Если

 

 

 

 

 

 

,

 

b k1 a

k2 a

... k s a

s

 

 

1

2

 

 

то говорят, что вектор b линейно (т. е. с помощью операций сложения векторов и умножения векторов на числа) выражается через векторы (2.1).

Определение. Система векторов (2.1) называется линейно зависимой, если существуют такие числа k1 , k2 , ..., k s P , сре-

ди которых хотя бы одно отлично от нуля, что имеет место равенство

(2.3)

Определение. Система векторов (2.1) называется линейно независимой, если равенство (2.3) имеет место тогда и только тогда, когда все коэффициенты равны нулю, т. е.

k1 k 2 ... k s 0 .

Очевидно, что любая система векторов отвечает только одному из этих определений.

Теорема (признак линейной зависимости векторов).

Система векторов тогда и только тогда линейно зависима, когда хотя бы один из этих векторов линейно выражается через остальные.

Необходимость. Пусть система векторов (2.1) линейно зависима, т. е. для нее справедливо равенство (2.3), в кото-

9

Линейная алгебра

ром хотя бы один коэффициент отличен от нуля. Пусть, на-

пример, k1 0 , тогда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k 2

 

k s

 

 

,

a

k1

a

...

k1

 

a

s

1

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а значит, вектор a1 линейно выражается через остальные век-

торы системы (2.1).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Достаточность. Пусть хотя бы один из векторов сис-

темы (2.1) линейно выражается через остальные, например:

 

 

 

 

 

.

a

 

 

k2 a

... k s a

s

1

 

 

 

2

 

 

 

 

 

Это равенство можно переписать иначе:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

k 2 a

... k s a

s

 

0 ,

1

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

т. е. представить в виде (2.3), где k1 1 0 . Тогда по опреде-

лению векторы (2.1) линейно зависимы. ▲

Следствие. Система векторов тогда и только тогда линейно независима, когда ни один из ее векторов не может быть выражен через остальные.

Справедливость этого утверждения легко установить от противного.

Замечание. Определение и признак линейной зависимости векторов равносильны, но признак применим к системе, содержащей не менее двух векторов, а определение справедливо и для одного вектора тоже.

Рассмотрим системы, состоящие из одного, двух или трех векторов.

1. Пусть s 1 , т. е. система содержит только один вектор

a . Если a 0 , то равенство ka 0 выполняется тогда и только тогда, когда k 0 . Следовательно, система, состоящая из

одного ненулевого вектора, линейно независима. Если a 0 , то равенство ka 0 справедливо при k 0 , а значит, в этом

случае система линейно зависима.

 

 

 

и

2. Пусть s 2 , т. е. система содержит два вектора: a1

a2 . Если векторы линейно зависимы, то один из них выража-

10

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности