Линейная алгебра. Учебное пособие-1

III. Линейные операторы векторных пространств

f (kv) kv v, f (v) kv v.

Вычитая из первой формулы вторую, умноженную на k ,

получим противоречивое равенство

(1 k 2 )v 0 .

что и доказывает инвариантность подпространства L2 . ▲

Замечание 1. Если характеристический многочлен оператора f , заданного в действительном векторном пространстве,

имеет комплексный корень i , то комплексно сопряженное число i тоже является корнем этого многочлена. Ис-

пользуя свойства комплексно сопряженных чисел, несложно убедиться, что паре корней i и i соответствует од-

но и то же двумерное инвариантное подпространство L2 .

Замечание 2. При больших значениях размерности векторного пространства Vn оператор f может иметь несколько

одномерных или несколько двумерных инвариантных подпространств, а также он может одновременно иметь одномерные и двумерные инвариантные подпространства.

Замечание 3. Для оператора, действующего в комплексном векторном пространстве, аналогично доказывается существование только одномерного инвариантного подпространства.

Теорема. Сумма и пересечение подпространств, инвариантных относительно оператора f , также инвариантны

относительно этого оператора.

71

Линейная алгебра

Доказательство. Пусть L1 и L2 — подпространства,

f(x) L1 , f (x) L2 ,

азначит, f (x) L1 L2 . ▲

Для каждого подпространства L , инвариантного относи-

отображение fL является линейным оператором подпространства L . Оператор fL :L L называется сужением оператора f на подпространство L .

§24. Разложение векторного пространства

впрямую сумму инвариантных подпространств

Пусть L — k -мерное подпространство векторного пространства Vn , инвариантное относительно оператора f . Вы-

берем в подпространстве L произвольный базис e1 ,e2 ,...,ek и

III. Линейные операторы векторных пространств

тогда представимо в виде прямой суммы двух подпространств, инвариантных относительно оператора f , когда

матрица этого оператора в некотором базисе является блоч- но-диагональной.

Необходимость. Пусть векторное пространство Vn представимо в виде прямой суммы двух подпространств L1 и

антности каждого из этих подпространств получим

73

III. Линейные операторы векторных пространств

Пусть Vn — действительное векторное пространство и f :Vn Vn — оператор, все характеристические корни кото-

рого действительны. Любая из матриц этого оператора имеет такие же характеристические корни, а следовательно, подобна некоторой жордановой матрице

с действительными элементами. На главной диагонали этой матрицы расположено t жордановых клеток Ik1 , Ik2 ,..., Ikt по-

рядков k1 , k2 ,..., kt соответственно, причем k1 k2 ... kt n . Так как подобные матрицы задают один и тот же оператор,

то существует базис E (e1 e2 ... en ) , относительно которого оператор f задается матрицей I . Всякая жорданова матрица при t 1 является блочно-диагональной, а значит, пространство Vn можно представить в виде прямой суммы

подпространства размерностей k1 , k2 ,..., kt соответственно.

Очевидно, что матрица оператора, действующего в комплексном векторном пространстве, всегда приводима к жордановой нормальной форме (24.5), разумеется, с комплексными элементами. Следовательно, комплексное векторное пространство Vn при t 1 всегда можно представить в виде пря-

мой суммы подпространств, инвариантных относительно заданного в этом пространстве оператора.

75

Линейная алгебра

Отметим еще одно важное свойство каждого из прямых слагаемых разложения (24.6). Для определенности рассмотрим

ные, соответственно, следующими совокупностями базисных векторов: {e1};{e1 ,e2 };{e1 ,e2 ,e3};...;{e1 ,e2 ,e3 ,...,ek1 } . Очевидно,

что эти подпространства удовлетворяют условию

L1 L2 L3 ... Lk1 Lk1 .

Из формул (24.7) следует инвариантность каждого из подпространств L1 , L2 , L3 ,..., Lk1 Lk1 . Таким образом, каждому прямо-

му слагаемому Lk разложения (24.6) соответствует система

последовательного вложенных друг в друга инвариантных подпространств размерностей 1,2,3,..., k .

76

IV. Евклидовы пространства

По условию все векторы попарно ортогональны, следовательно, все скалярные произведения, кроме первого, в форму-

ле (25.3) равны нулю, а значит,

k1 a1 a1 0 .

Так как k1 0 , а a1 a1 0 , то последнее равенство ложно.

Противоречие доказывает, что предположение о линейной зависимости векторов a1 , a2 ,..., ap неверно. ▲

§ 26. Процесс ортогонализации векторов

евклидова пространства En существует эквивалентная ей сис-

тема ненулевых попарно ортогональных векторов

b1 ,b2 ,...,bp . (26.2)

Доказательство. Алгоритм построения векторов сис-

темы (26.2) обычно называют процессом ортогонализации

Грама — Шмидта. В качестве первого вектора b1 можно вы-

Все остальные векторы будем искать в виде суммы следующего из заданных векторов и некоторой линейной комби-

любом значении коэффициента . Выберем этот коэффициент так, чтобы b2 b1 , т. е.

79