Линейная алгебра. Учебное пособие-1

Линейная алгебра

метического пространства Pn , а значит, к строкам и столбцам

матрицы A можно применять понятия теории векторных пространств.

Определение. Рангом матрицы называется ранг системы векторов, являющихся ее столбцами. Иными словами, ранг матрицы — это максимальное число ее линейно независимых столбцов.

Теорема. Наивысший порядок отличных от нуля миноров матрицы равен рангу этой матрицы.

Доказательство. Пусть наивысший порядок отличных от нуля миноров матрицы A равен r . Это значит, что в

матрице содержится по крайней мере один минор Mr 0 по-

рядка r , а все миноры порядков r 1 и выше равны нулю. Не умаляя общности, будем считать, что минор Mr расположен в

левом верхнем углу матрицы

Убедимся сначала, что первые r столбцов матрицы A линейно независимы. Действительно, если они зависимы, то по крайней мере один из них линейно выражается через осталь-

ные. Такая же зависимость связывает и столбцы минора Mr .

Тогда по свойствам определителей этот минор не может быть отличным от нуля.

Докажем затем, что все остальные столбцы матрицы A линейно выражаются через ее первые r столбцов. Выберем

любой столбец с номером l ( l r 1, n ) и, воспользовавшись его элементами, построим s вспомогательных определителей

32

Линейная алгебра

рицы A при l r 1, n является линейной комбинацией ее первых r линейно независимых столбцов. Это значит, что ранг матрицы A равен r . ▲

Замечание. Из доказательства теоремы следует: ранг матрицы равен r , если в ней содержится по крайней мере один минор Mr порядка r , отличный от нуля, а все его окаймляю-

щие миноры равны нулю. Минор Mr , удовлетворяющий этим

условиям, называется базисным минором матрицы A . Доказанную теорему теперь можно сформулировать иначе: ранг матрицы равен порядку ее базисного минора. При этом нужно иметь в виду, что базисный минор матрицы определен неоднозначно, однако все базисные миноры имеют один и тот же порядок, а столбцы матрицы, проходящие через любой базисный минор, линейно независимы.

§ 11. Теоремы о ранге матрицы

Теорема I. Ранг матрицы A равен рангу транспонирован-

ной матрицы At .

Доказательство. Пусть rang A r , т. е. матрица A содержит базисный минор порядка r . При транспонировании матрицы все ее миноры тоже транспонируются, а их величина

при этом не изменяется. Значит, базисный минор матрицы At тоже имеет порядок r и rang At r . ▲

Следствие. Так как столбцами транспонированной матри-

цы At являются строки матрицы A , то число линейно независимых строк в любой матрице равно числу ее линейно независимых столбцов и равно рангу этой матрицы.

Теорема II. Определитель порядка n тогда и только тогда равен нулю, когда между его строками (столбцами) существует линейная зависимость.

34

Линейная алгебра

2)умножение строки (столбца) на любое число, отличное от нуля;

3)прибавление к одной строке (столбцу) другой строки (столбца), умноженной на произвольное число.

В каждом случае новая система векторов эквивалентна исходной и, следовательно, имеет тот же ранг. ▲

§ 12. Критерий совместности системы линейных уравнений

Пусть A (ai ) — матрица, составленная из коэффициентов системы, а A (ai b ) получена присоединением к матрице A столбца свободных членов. Матрицу A обычно назы-

36

Линейная алгебра

матрице, и ее ранг тоже равен r , то все остальные столбцы расширенной матрицы через них линейно выражаются, в том

числе столбец свободных членов b . Тогда имеет место равенство (12.2 '' ), в котором некоторые из коэффициентов, возможно, равны нулю. Равенство (12.2 '' ) можно переписать в виде (12.2 ' ), а затем в виде (12.2). Из соотношений (12.2) сле-

дует, что числа k1 , k2 ,..., k n удовлетворяют всем уравнениям системы (12.1), т. е. являются ее решением. Таким образом, совместность системы уравнений (12.1) доказана. ▲

Метод решения системы линейных уравнений

Пусть система уравнений (12.1) совместна, т. е.

rang A rang A r . Тогда матрицы A и A содержат общий базисный минор порядка r .

Строки расширенной матрицы, проходящие через базисный минор, линейно независимы, а остальные s r строк через них линейно выражаются. Следовательно, в системе уравнений (12.1) содержится точно r независимых уравнений, а остальные s r уравнений являются их алгебраическими следствиями. Исключив такие следствия, систему (12.1) можно заменить равносильной ей, состоящей только из r уравнений, причем r n . Если при этом r n , то неизвестные, входящие в систему, следует разделить на две группы — основные (зависимые) и свободные (независимые). В качестве основных выбирают те r неизвестных, коэффициенты при которых составляют базисный минор

матриц A и A , а остальные n r неизвестных объявляют свободными и переносят в правую часть каждого из уравнений. Если, например, базисный минор расположен в левом верхнем углу матрицы A , то система уравнений (12.1) в результате указанных преобразований приведется к следующему виду:

38

Линейная алгебра

содержит не один базисный минор. Множество решений системы уравнений не зависит от выбора основных неизвестных.

§ 13. Подпространство решений системы линейных однородных уравнений

Рассмотрим систему s линейных однородных уравнений с n неизвестными:

В соответствии с теоремой Кронекера — Капелли такая система совместна при любых коэффициентах. Впрочем, наличие у системы (13.1) нулевого решения легко установить и непосредственно. Метод решения системы (13.1) описан в

§ 12. В частности, нулевое решение системы линейных однородных уравнений тогда и только тогда является ее единственным решением, когда ранг r ее матрицы равен количеству n неизвестных. Если r n , то система (13.1) имеет бесконечно много решений, отличных от нулевого.

Пусть k1 , k2 ,..., k n — произвольное решение системы одно-

родных уравнений (13.1). Это решение можно интерпретировать как вектор n -мерного арифметического пространства Pn .

Тогда множество всех решений системы (13.1) составит некоторое подмножество пространства Pn .

Теорема. Множество всех решений системы линейных однородных уравнений (13.1) является подпространством n -мер-

также является решением:

40