Линейная алгебра. Учебное пособие-1

V. Линейные, билинейные и квадратичные функции и формы

Дополним формулы (41.6) еще одним равенством

det (t ) 0 , то преобразование (41.6), (41.7) невырожденно.

Согласно формуле (41.5) оно приводит форму к каноническому виду

нулю. Если форма не является нулевой, то в ней существует хотя бы один коэффициент aij , отличный от нуля. Пусть, на-

Легко убедиться, что преобразование (41.8) является невырожденным и позволяет получить квадраты переменных:

2a12 x1 x2 2a12 ( y1 y2 )( y1 y2 ) 2a12 ( y1 )2 2a12 ( y2 )2 .

Эти квадраты не могут уничтожиться остальными членами квадратичной формы, обязательно содержащими по крайней

мере одну из переменных y3 ,..., yn . Используя теперь прием,

121

Линейная алгебра

описанный в первой части теоремы, форму приведем к ка-

ноническому виду. ▲ Во второй части доказательства теоремы к форме снача-

ла применено преобразование переменных X T1Y ( detT1 0 ), а затем последовательно выполнено еще одно преобразование Y T2 Z ( detT2 0 ). Итоговое преобразование, приводящее форму сразу к каноническому виду, задается формулой

XT1Y T1 (T2 Z ) (T1T2 )Z , det (T1T2 ) detT1 detT2 0

иназывается произведением составляющих его преобразований.

Замечание 1. На практике приведение квадратичной фор-

мы к каноническому виду осуществляется методом выделения полных квадратов (методом Лагранжа), первый шаг которого указан в доказательстве теоремы.

Замечание 2. Если отличным от нуля является коэффициент aii формы , то вспомогательную квадратичную форму

(41.4) нужно выбрать в виде

1 (ai1 x1 ai 2 x2 ... ain xn )2 .

aii

Замечание 3. Так как доказательство теоремы опирается на выбор коэффициента aii , отличного от нуля, то канониче-

ский вид квадратичной формы определяется неоднозначно. Замечание 4. При приведении к каноническому виду квад-

ратичной формы (x1 , x2 , ..., xn ) , заданной над полем P , как

правило, допускаются преобразования переменных с коэффициентами из этого же поля.

Лемма. Количество ненулевых коэффициентов при квадратах переменных в каноническом виде, к которому квадратичная форма приводится невырожденным преобразованием переменных, равно рангу этой формы.

122

V. Линейные, билинейные и квадратичные функции и формы

Доказательство. Пусть (x1 , x2 , ..., xn ) X t AX — произвольная квадратичная форма и rang r . Доказано, что некоторым преобразованием переменных

X TY ( detT 0 )

форму можно привести к каноническому виду

b11 ( y1 )2 b22 ( y2 )2 ... bnn ( yn )2 ,

причем матрица B канонического вида является диагональной. По определению ранга квадратичной формы имеем

rang A rang B r .

Следовательно, среди коэффициентов bii содержится точно r отличных от нуля, а остальные — равны нулю. Канонический вид в этом случае содержит точно r квадратов переменных.▲

§42. Приведение квадратичной формы

кканоническому виду методом элементарных преобразований

Определение. Элементарной называется матрица, полученная из единичной с помощью одного элементарного преобразования.

Очевидно, что существуют три типа элементарных матриц:

Лемма. Выполнение в матрице любого элементарного преобразования равносильно умножению этой матрицы слева или справа на некоторую элементарную матрицу.

123

Линейная алгебра

Доказательство можно осуществить непосредственной проверкой, например

Точно так же устанавливается справедливость леммы в остальных случаях. ▲

Замечание 1. При умножении матрицы на элементарную справа элементарное преобразование выполняется над ее столбцами, при умножении слева — над строками.

Замечание 2. Тип выполняемого элементарного преобразования точно соответствует типу преобразования, которым элементарная матрица получена из единичной.

Замечание 3. При умножении матрицы A справа на эле-

ментарную матрицу T и слева на элементарную матрицу T t в ней выполняются одинаковые преобразования над ее столбцами и строками. Такие преобразования называются согласованными.

Пусть (x1 , x2 , ..., xn ) X t AX — произвольная квадратич-

ная форма. Напомним, что матрица A формы является симметрической. С помощью нескольких пар согласованных элементарных преобразований эту матрицу можно привести к диагональному виду

124

V. Линейные, билинейные и квадратичные функции и формы

В соответствии с доказанной леммой матрицы A и B будут связаны следующим равенством:

B Tk t (...(T2t (T1t AT1 )T2 )...)Tk (Tk t ...T2tT1t ) A(T1T2 ...Tk )(T1T2 ...Tk )t A(T1T2 ...Tk ) T t AT ,

Поскольку каждая из элементарных матриц невырожденна, то и матрица T тоже невырожденна.

Рассмотрим преобразование переменных

и применим его к форме . Матрица формы примет вид

T t AT и, следовательно, совпадет с B . Так как матрица B диагональна, то преобразование (42.2) приводит квадратичную форму к каноническому виду

Из равенства (42.1 ' ) согласно лемме следует, что матрица T может быть получена из единичной с помощью тех элементарных преобразований столбцов, которые привели матрицу A квадратичной формы к диагональному виду B . На прак-

тике эти преобразования можно выполнять одновременно в

125

Линейная алгебра

ний получается матрица TB , в верхней части которой распо-

лагается матрица канонического вида квадратичной формы, а в нижней — матрица преобразования, приводящего форму к этому каноническому виду.

§43. Приведение квадратичной формы

кканоническому виду ортогональным преобразованием переменных

Теорема. Для всякой симметрической матрицы A с действительными элементами существует такая ортогональ-

ная матрица T , что матрица B T 1 AT диагональна.

который ортонормированный базис евклидова пространства

V. Линейные, билинейные и квадратичные функции и формы

с матрицей A (aij ) .

Подвергнем переменные этой формы невырожденному ли-

также будем называть ортогональным. В результате этого преобразования квадратичная форма (x1 , x2 ,..., xn ) перей-

дет в форму от новых переменных с матрицей T t AT . В силу ортогональности матрицы T и равенства (43.1) имеем

T t AT T 1 AT B .

Так как матрица B квадратичной формы оказалась диагональной, то сама форма (x1 , x2 ,..., xn ) , следовательно, приведена к каноническому виду

Коэффициентами канонической формы (43.3) (см. замечание § 32) являются характеристические корни матрицы A (aij ) квадратичной формы , взятые с учетом их крат-

ностей.

127

Линейная алгебра

§ 44. Нормальный вид квадратичной формы

квадратичная форма, заданная над полем комплексных чисел ( aij C ), и rang r . Доказано, что некоторым невырожден-

ным преобразованием переменных форму можно привести

от нуля. Применим к форме еще одно преобразование переменных:

128

V. Линейные, билинейные и квадратичные функции и формы

Преобразование (44.2) приводит форму к виду

Определение. Нормальным видом квадратичной формы,

заданной над полем C , называется ее канонический вид с коэффициентами 1 и 0 .

Таким образом, любую квадратичную форму с комплексными коэффициентами можно привести к нормальному виду, который для данной формы определяется однозначно с точностью до обозначения и нумерации переменных и зависит только от ранга этой формы.

Две квадратичные формы

ными коэффициентами тогда и только тогда переводятся одна в другую невырожденным преобразованием переменных, когда эти формы имеют один и тот же ранг.

Необходимость. Если существует преобразование переменных X TY ( det T 0 ), переводящее форму 1 в форму

же нормальному виду (44.3). Пусть форма 1 приводится к

ную над полем действительных чисел ( aij R ). Тогда коэффи-

129

Линейная алгебра

циенты b11 ,b22 , ...,brr в ее каноническом виде (44.1) также дей-

ствительные. Если хотя бы один из них оказался отрицательным, преобразование (44.2) имело бы комплексные коэффициенты. Следовательно, это преобразование нужно заменить другим:

Каждое слагаемое квадратичной формы (44.1) под действием преобразования (44.2 ' ) меняется следующим образом:

130