Линейная алгебра. Учебное пособие-1

Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

3. Множество

— подпространст-

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.08.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 163 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 > Следующая >>>

I. Векторные пространства

однозначное (биективное) соответствие, сохраняющее линейные операции.

Взаимно однозначное соответствие предполагает, что каждому вектору u U сопоставлен единственный вектор v V ,

называемый образом вектора u , причем различные векторы из U имеют разные образы (инъективность), и каждый вектор из

V является образом некоторого вектора из U (сюръективность). Соответствующие при изоморфизме векторы будем

отмечать символом u v . Изоморфизм векторных пространств будем отмечать аналогично: U V .

Сохранение линейных операций при изоморфизме означа-

ет справедливость следующих условий:									v ;
1) если u		v ,	u	v	, то u u v				v ;
	1	1	2	2		1	2	1	2
2) если u v , то ku kv ( k P ).
Указанные условия могут быть записаны в более общем
виде: если u1		v1 ,	u2	v2 , …,		us	vs , то
k1 u	k 2 u ... k s u k1 v k 2 v					... k s v		( k1 , k 2 ,..., k s P ).
1	2		s	1	2		s

Отметим простейшие свойства изоморфизма векторных пространств, следующие непосредственно из определения.

1.Нулевые векторы 0U и 0V изоморфных пространств соответствуют: 0U 0V .

2.Противоположные соответствующим векторам также соответствуют: u v u v .

3. При изоморфизме векторных пространств линейно зависимым векторам из U соответствуют линейно зависимые векторы из V .

4. Линейно независимым векторам из U соответствуют линейно независимые векторы из V .

Теорема (признак изоморфизма векторных пространств).

Векторные пространства изоморфны тогда и только тогда, когда их размерности равны.

Линейная алгебра

Необходимость. Пусть пространства U и V изо-

морфны: U V , и dimU n . Рассмотрим произвольный базис

u1,u2 ,...,un пространства

U и соответствующие ему линейно не-

зависимые векторы v1,v2 ,...,vn V . Предположим, что эти векторы

не составляют базис пространства V , тогда их можно дополнить

до

базиса

векторами

vn 1, ...,vm .

При

изоморфизме базису

v ,v ,...,v ,v , ...,v

пространства V соответствуют линейно неза-

2 n n 1

в n -мерном

висимые векторы u1

,u2 ,...,un

,un 1 , ...,um

U . Но

пространстве U

любые

m векторов при m n

линейно за-

висимы. Противоречие доказывает, что векторы

v1 ,v2 ,...,vn на

самом деле составляют базис пространства V , следовательно,

dimV n .

Достаточность. Пусть dimU dimV n . В каждом из

пространств

выберем

базис:

u1 ,u2 ,...,un U ; v1 ,v2 ,...,vn V .

Рассмотрим любой вектор x U :

x xi u

( i

). Поставим

1, n

ему в соответствие вектор

: y xi v . Заданное таким

образом соответствие x y

взаимно однозначно и сохраняет

линейные операции, т. е. является изоморфизмом. ▲ Следствие. Каждое n-мерное векторное пространство изо-

морфно n-мерному арифметическому пространству Pn , кото-

рое можно считать моделью всех пространств одной и той же размерности.

§ 7. Подпространства векторного пространства

Определение. Подпространством векторного пространства V называется такое его подмножество L , которое является самостоятельным векторным пространством относительно тех же операций, которые заданы в V .

k1 x1 k2 x2 L ( k1 , k2 P) .

I. Векторные пространства

Теорема (признак подпространства). Подмножество L

— векторного пространства V тогда и только тогда является подпространством этого пространства, когда выпол-

няются следующие условия:

x1 , x2 L		x1	x2	L ;	(7.1)
x L	k x L		( k P) .		(7.2)

Необходимость. Если подмножество L — подпространство пространства V , то условия (7.1), (7.2) выполняются, так как означают задание на L линейных операций.

Достаточность. Пусть на множестве L V выполняются условия (7.1), (7.2), т. е. на нем заданы линейные операции. Сложение на L коммутативно и ассоциативно, так как эти свойства справедливы для всех векторов из V , в том числе и для тех, которые содержатся во множестве L . Точно так же обосновываются ассоциативность, дистрибутивность и унитарность операции умножения векторов на элементы поля P (пункт III определения векторного пространства). Кроме того,

из условия (7.2) следует:

x L 0 x 0 L ;x L ( 1) x x L ,

где 0 — нулевой вектор пространства V . Таким образом, на множестве L выполняется определение векторного пространства, а значит, оно является подпространством векторного

пространства V . ▲

Замечание. Условия (7.1), (7.2) предыдущей теоремы называются условиями замкнутости подмножества L относительно указанных операций. Их можно объединить, записав

следующим образом:

x1 , x2 L

Линейная алгебра

Примеры подпространств векторных пространств

1. Для любого векторного пространства V само это пространство, а также L0 {0} — подпространства, которые в от-

личие от остальных называются тривиальными, или несоб-

ственными.

2. В трехмерном векторном пространстве направленных отрезков, исходящих их одной точки, подпространство составит совокупность векторов, принадлежащих прямой (или плоскости), проходящей через эту точку.

во четырехмерного пространства всех квадратных матриц второго порядка с действительными элементами, dim L 2 .

4. Подпространством пространства Mn всех квадратных

матриц порядка n является, например, множество всех матриц A , каждая из которых равна своей транспонированной:

A At . Такие матрицы называются симметрическими.

§ 8. Сумма и пересечение подпространств

Определение. Суммой двух подпространств L1 и L2 век-

торного пространства V называется множество L1 L2 всех векторов из V , каждый из которых можно представить в виде

суммы некоторого вектора из L1	и некоторого вектора из L2 :
L1 L2 {x x1 x2 ;	x1 L1 , x2 L2 } .

Определение. Пересечением двух подпространств L1 и L2

векторного пространства V называется множество L1 L2 всех векторовиз V , одновременносодержащихсякакв L1 , такив L2 :

I. Векторные пространства

L1 L2 {x; x L1 , x L2 } .

Теорема. Сумма и пересечение двух подпространств из V также являются подпространствами пространства V .

Для доказательства воспользуемся признаком под-

пространства.			L L ,						следовательно,													,
1. Пусть x, y			L L ,						следовательно,				x x		x ,			y	y	y		,
					1		2							1			2		1		2
причем x	, y L , а					x , y		2	L . Тогда для k1 , k 2 P имеем
1		1	1			2		2		2				2 y ) (k1 x k2 y ) .
k1 x k 2 y		k1 (	x		x ) k2 ( y					y ) (k1 x			k	2 y ) (k1 x k2 y ) .
			1			2			1	2		1		1				2		2
Так как		L	и	L		— подпространства, то для них признак
		1			2												L .		Следова-
выполняется, т. е.					k	1 x	k 2 y L и					k1 x k 2			y	2	L .		Следова-
тельно, k1 x k2 y						1				1	1		2			2		2
тельно, k1 x k2 y				L L .
						1		2										L2 . Тогда
2. Пусть x1 , x2 L1							L2 ,			т. е.	x1 , x2 L1			и	x1 , x2			L2 . Тогда
для k1 , k 2		P
									L ,			k		L ,
		k1 x			k2 x				L ,		k1 x	k	2 x	L ,
а следовательно,				1				2		1	1		2		2
а следовательно,				k1 x k2 x L L . ▲
						1			2	1	2

Замечание. Понятие суммы и пересечения подпространств легко распространить на произвольное количество подпространств, причем доказанная теорема в этом случае тоже справедлива.

Теорема. Для любых подпространств L			и L		простран-
ства V справедливо равенство		1	2
ства V справедливо равенство
dim(L1 L2 ) dim L1 dim L2		dim(L1	L2 ) .			(8.1)
Доказательство.	Пусть	dim L1 p ,			dim L2	q ,
dim(L1 L2 ) r . Выберем в подпространстве L1				L2 произ-
вольный базис
e1 ,e2 ,...,er .						(8.2)
Векторы (8.2) принадлежат каждому из подпространств						L1 и
L2 и линейно независимы,	поэтому их можно дополнить до
базиса подпространства L1 векторами
						25

Линейная алгебра

			ar 1 ,..., ap					(8.3)
и до базиса подпространства L					векторами
				2
			br 1	,...,bq .				(8.4)
Рассмотрим всю совокупность построенных векторов

e1	,e2	,...,er	, ar 1 ,..., ap			,br 1	,...,bq	(8.5)

и докажем, что они составляют базис подпространства L1 L2 .

Сначала выясним, при каких коэффициентах может быть справедливым равенство

1e1

2 e2

... r er

r 1 ar 1

... p ap

r 1 br 1

... q bq

0 .

Рассмотрим вспомогательный вектор

c 1 e

2 e

... r e

r 1 a

... p a

r 1

(8.6)

(8.7)

	c r 1 b	... q b .	(8.8)
	r 1	q
Из формул (8.7)	и (8.8) соответственно следует, что		c L1 и
c L2 , а значит,	c L1 L2 . Тогда вектор c линейно выража-
для которого согласно соотношению (8.6) существует и другое
разложение:

ется через векторы (8.2), составляющие базис пересечения подпространств L1 и L2 :

c 1 e	2 e	... r e .	(8.9)
1	2	r

В силу однозначности разложения вектора c по базису (в данном случае подпространства L1 ) из формул (8.7) и (8.9), в частности, получим

		r 1 0, ..., p	0 .				(8.10)
Равенство (8.6) тогда принимает вид				... q b	0
1 e	2 e	... r e r 1 b		... q b	0	,	(8.6 ' )
1	2	r	r 1	q

I. Векторные пространства

откуда в силу независимости векторов (8.2) и (8.4) следует

1 2 ... r r 1 ... q 0 .

Таким образом, равенство (8.6) справедливо тогда и только тогда, когда все его коэффициенты равны нулю. Следовательно, векторы (8.5) линейно независимы.

Пусть теперь		x	— произвольный вектор подпространства
L1 L2 . Тогда							L1			L2
L1 L2 . Тогда	x x1			x2	, где	x1	L1	, а	x2	L2	. Каждый из

этих векторов разложим по базису того подпространства, ко-

торому он принадлежит:
									,
x	x1 e	x2 e	... xr e		xr 1 a		... x p a	p	,
1	1	2		r		r 1		p
x	y1 e	y2 e		... yr e		yr 1 b	... yq b .
2	1	2		r		r 1		q

Окончательно получим

x x1 x2 (x1 y1 )e1 (x2 y2 ) e2 ... (xr yr )er

xr 1 ar 1 ... x p ap yr 1 br 1 ... yq bq .

Таким образом, векторы (8.5) линейно независимы и любой вектор x L1 L2 через них линейно выражается. По определению эти векторы составляют базис подпространства L1 L2 , а их количество p q r задает размерность этого подпро-

странства. Тем самым формула (8.1) доказана. ▲

Замечание. Сумму подпространств не следует путать с их объединением, которое подпространством, как правило, не является.

Определение. Подпространство L1 L2 называется прямой суммой подпространств L1 и L2 , если L1 L2 {0} . Прямая сумма обозначается символом L1 L2 .

Формула (8.1) для прямой суммы подпространств прини-

мает вид
dim(L1 L2 ) dim L1 dim L2 .	(8.1 ' )
	27

Линейная алгебра

Замечание. Базис прямой суммы, как следует из доказа-

тельства предыдущей теоремы, можно составить, объединив
			подпространства L1 и базис
базис	a1 , a2	,..., ap	подпространства L1 и базис	b1 ,b2	,...,bq	под-

пространства L2 .

Теорема. Любой вектор, принадлежащий прямой сумме подпространств L1 и L2 , однозначно представим в виде сум-

мы векторов из

и L .

Доказательство проведем от противного.

Предположим,

что существует вектор x L1 L2 , который

допускает

различные

представления x x1

x y1

y2 ,

где

, y1 L1 ,

x2 , y2 L2 .

Тогда

y1 y2 , откуда

L1 , а

L2 . Если один и тот

x1 y1 y2

x2 . Но x1

же вектор принадлежит двум подпространствам L1

и L2 , то он

принадлежит

их

пересечению

L1 L2 .

По

условию

L1 L2

{0} , следовательно,

x1 y1 y2 x2 0 ,

или

▲

x1 y1 ,

y2 .

Определение.

Подпространство

L1 L2 ... Lk

называет-

ся прямой суммой подпространств L1 , L2 ,..., Lk , если

Li (L1 ... Li 1 Li 1

... Lk ) {0}

( i

1, k

Обозначается прямая сумма символом L1 L2

... Lk . Ее

размерность равна сумме размерностей прямых слагаемых L1 , L2 ,..., Lk . Каждый вектор, принадлежащий прямой сумме,

однозначно представим в виде суммы векторов из подпространств L1 , L2 ,..., Lk .

I. Векторные пространства

§ 9. Линейная оболочка векторов. Ранг системы векторов

Пусть
a1 , a2 ,..., as	(9.1)

— произвольные векторы векторного пространства Vn .

Определение. Линейной оболочкой системы векторов (9.1)

называется множество L всевозможных линейных комбина-

ций этих векторов:

L {k a ; k P, 1, s} .

Сами векторы (9.1) называются системой образующих линейной оболочки L . Говорят также, что векторы (9.1) порождают линейную оболочку L .

Из признака подпространства следует, что линейная оболочка любых векторов является подпространством пространства Vn . Если при этом векторы (9.1) линейно независимы, то

они составляют базис линейной оболочки L , а значит, dim L s . Если же векторы (9.1) линейно зависимы, то базис

линейной оболочки можно выделить из системы образующих, исключив из нее векторы, которые линейно выражаются через оставшиеся. В этом случае dim L s .

Определение. Рангом системы векторов (9.1) называется

размерность линейной оболочки L этих векторов:

rang {a1	, a2	,..., as	} dim L .

Таким образом, ранг системы векторов совпадает с максимальным количеством линейно независимых векторов, содер-

жащихся в данной системе.
Рассмотрим еще одну систему векторов
b1 ,b2 ,...,bt	(9.2)
	29

Линейная алгебра

пространства Vn . Пусть L1 — линейная оболочка векторов (9.1), а L2 — линейная оболочка векторов (9.2).

Определение. Говорят, что система векторов (9.1) линейно выражается через систему (9.2), если каждый вектор a яв-

ляется линейной комбинацией векторов системы (9.2):

	a	a1 b a2 b			... at	b	( 1, s) .
			1	2		t
	Очевидно, что в этом случае все векторы a								содержатся в
L2 ,	L1 L2 ,

	rang{a1		, a2	,..., as	} rang {b1		,b2	,...,bt } .	(9.3)
	Определение. Две системы векторов называются эквивалент-
ными, если каждая из них линейновыражается черездругую.
	Для эквивалентных систем векторов наряду с неравенст-
вом (9.3) справедливо и неравенство

	rang {b1		,b2 ,...,bt } rang{a1 , a2					,..., as } ,
а также L2 L1 . Откуда следует, что линейные оболочки L1 и
L2	эквивалентных систем векторов совпадают,								а ранги этих
систем равны.

<<< < Предыдущая 1 23 / 163 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
12.08.2026761 Кб0Линейная алгебра для экономистов. Учебное пособие.pdf
#
12.08.2026876 Кб0Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Учебное пособие.pdf
#
12.08.2026895 Кб0Линейная алгебра. В 2 частях. Ч.1. Учебно-методическое пособие.pdf
#
09.08.2026393 Кб0Линейная алгебра. Сборник задач.pdf
#
12.08.2026856 Кб0Линейная алгебра. Учебно-методическое пособие.pdf
#
15.08.20261 Мб0Линейная алгебра. Учебное пособие-1.pdf
#
15.08.20261 Мб0Линейная алгебра. Учебное пособие-2.pdf
#
12.08.2026698 Кб0Линейная алгебра. Учебное пособие.pdf
#
12.08.20261 Мб0Линейная алгебра. Ч. 2. Системы линейных уравнений. Учебное пособие.pdf
#
12.08.20261 Мб0Линейное программирование. Практикум. Учебное пособие для бакалавриата.pdf
#
12.08.2026836 Кб0Линейное программирование. Ч.1. Учебное пособие для бакалавриата.pdf