Линейная алгебра. Учебное пособие-1

V. Линейные, билинейные и квадратичные функции и формы

называется линейной формой от этих переменных. Из формул (37.2) и (37.3) следует, что значение линейной функции f от

произвольного вектора x равно линейной форме от координат этого вектора, а коэффициентами формы служат значения той

коэффициентов линейных форм, задающих значение функции f относительно разных базисов.

Сравнивая формулы (37.4) и (37.5), видим, что при замене базиса коэффициенты линейной формы меняются точно так же, как и базисные векторы.

111

Линейная алгебра

§ 38. Сопряженное векторное пространство

Пусть Vn — векторное пространство над полем P , а V * —

множество всех линейных функций, заданных на этом пространстве.

Теорема. Множество V * является векторным пространством.

Доказательство. Достаточно проверить, что на мно-

Аналогично проверяется линейность функции kf .

Коммутативность и ассоциативность сложения функций следует из способа задания этой операции. Нулевой назовем

V. Линейные, билинейные и квадратичные функции и формы

очевидны все свойства операции умножения функции на числа, обязательные в векторном пространстве. Следовательно,

теорема доказана. ▲

Определение. Векторное пространство V * , элементами которого являются линейные функции, заданные на простран-

стве Vn , называется сопряженным, или двойственным, по от-

ношению к Vn .

тическим пространством строк, при котором каждой функции f ставится в соответствие вектор (a1 , a2 ,..., an ) Pn . Легко

проверить, что это соответствие сохраняет линейные операции над функциями, т. е. является изоморфизмом. Изоморфные векторные пространства, как было доказано ранее, имеют одинаковые размерности:

dimV * dim Pn n dimVn .

где ij — символ Кронекера.

113

Линейная алгебра

Из равенства

функции составляют базис сопряженного векторного пространства V * .

Определение. Базис сопряженного пространства V * , состоящий из функций f 1 , f 2 ,..., f n , определенных формулами

Функции, принимающие одинаковые значения на базисных векторах, в силу линейности принимают одинаковые зна-

чения на всех векторах пространства Vn , а значит, они равны:

Из формулы (38.3) следует, что числа a1 , a2 , ..., an — координаты функции f в дуальном базисе.

114

V. Линейные, билинейные и квадратичные функции и формы

равно линейной форме от координат этого вектора в базисе

E , причем коэффициентами формы являются координаты самой функции f в дуальном по отношению к E базисе.

§39. Билинейные

иквадратичные функции и формы

Пусть Vn — векторное пространство, заданное над полем

P (комплексных или действительных чисел).

Определение. Отображение : Vn Vn P называется

скалярной функцией двух векторных аргументов. Функция называется билинейной, если она линейна относительно каждого из своих аргументов, т. е. для любых векторов и чисел

115

Линейная алгебра

Правая часть формулы (39.2) представляет собой однородный многочлен второй степени, линейный относительно каж-

дой из двух групп переменных x1 , x2 ,..., xn и y1 , y2 ,..., yn , и на-

зывается билинейной формой от этих переменных. Коэффициенты aij билинейной формы, определенные равенством (39.1),

заполняют квадратную матрицу A (aij ) , которая называется

матрицей билинейной формы (билинейной функции) относи-

тельно базиса E .

Из формулы (39.1) следует, что матрица A (aij ) симметриче-

ской билинейной функции также симметрическая. В дальнейшем нас будут интересовать только симметрические билинейные функции.

где — произвольная симметрическая билинейная функция. Например, квадрат длины вектора в евклидовом пространстве является квадратичной функцией.

Из формул (39.2) и (39.3) следует

Однородный многочлен второй степени от переменных x1 , x2 ,..., xn , находящийся в правой части формулы (39.4), на-

зывается квадратичной формой от этих переменных. Симметрическую матрицу A (aij ) будем теперь называть матрицей

квадратичной функции и квадратичной формы.

116

V. Линейные, билинейные и квадратичные функции и формы

Формулы (39.2) и (39.4) показывают, что значение билинейной или квадратичной функции от некоторых векторов равно соответственно билинейной или квадратичной форме от координат этих векторов. Коэффициентами формы в обоих случаях являются значения билинейной функции от пар базисных векторов. Таким образом, очевидно, что относительно разных базисов как билинейная, так и квадратичная функции задаются разными формами.

Для записи билинейных и квадратичных форм пользуются следующими обозначениями:

при этом форма называется полярной по отношению к форме .

§40. Ранг билинейной функции

иквадратичной формы

Рассмотрим симметрическую билинейную функцию и

где X и Y — столбцы координат каждого из этих векторов.

117

Линейная алгебра

Формулам (40.3) преобразования базиса соответствуют формулы преобразования координат векторов x и y :

Отметим, что полученная матрица B , так же как и A , является симметрической:

Bt (T t AT )t T t At (T t )t T t AT B .

Это значит, что относительно нового базиса билинейная функция задается другой билинейной формой от новых пе-

ременных ' x1 ,' x2 , ...,' xn ;' y1 ,' y2 ,...,' yn , а матрица функции и

формы меняется по формуле (40.5). Аналогично при замене базиса изменится квадратичная форма, задающая значение квадратичной функции :

(x) ( X ')t BX ' .

Так как матрица перехода T — невырожденная, то rang B rang A (см. теорему III и замечание § 11), т. е. при замене базиса меняются матрицы билинейных и квадратичных функций и форм, но сохраняются ранги этих матриц.

Определение. Рангом билинейной (квадратичной) функ-

ции и формы называется ранг ее матрицы относительно любого базиса.

118

V. Линейные, билинейные и квадратичные функции и формы

Замечание. Билинейные и квадратичные формы можно рассматривать как формальные объекты, зависящие от некоторых переменных, заданные соответственно формулами

(39.5) и (39.6). Матрицу A (aij ) , составленную из коэффици-

ентов квадратичной формы всегда следует считать симметрической. Формулы (40.4), при условии detT 0 , задают линей-

ное невырожденное преобразование переменных, а сами формы под действием этого преобразования меняются следующим образом:

( X ')t BY ' , ( X ')t BX ' ( B T t AT ).

Рангом билинейной и квадратичной формы при их формальном определении считается ранг матрицы этой формы, который не изменяется при применении к форме любого линейного невырожденного преобразования переменных.

§ 41. Канонический вид квадратичной формы

Определение. Канонической называется квадратичная форма вида

плексных или действительных чисел, причем некоторые из них могут быть равны нулю.

Очевидно, что матрица канонической квадратичной формы является диагональной.

Теорема. Для всякой квадратичной функции существует базис, относительно которого эта функция задается канонической квадратичной формой.

119

Линейная алгебра

Достаточно доказать, что существует невырожденное преобразование переменных, приводящее квадратичную форму

к каноническому виду. Доказательство проведем методом математической индукции по количеству переменных, от которых зависит форма. Сначала рассмотрим форму только от од-

ной переменной: (x1 ) a11 (x1 )2 . Такая форма уже является

канонической, т. е. в этом случае справедливость теоремы очевидна. Предположим, что для форм от n 1 или меньшего количества переменных теорема также справедлива, и рассмотрим форму (41.3) от n переменных. Пусть сначала форма

содержит квадрат одной из своих переменных, например a11 (x1 )2 , где a11 0 . Рассмотрим вспомогательную квадратичную форму

Она получена с помощью элементов первой строки матрицы A (aij ) и содержит точно такие же члены с переменной x1 ,

что и форма . Разность

следовательно, является квадратичной формой от n 1 переменных x2 ,..., xn . По индуктивному предположению некоторым преобразованием переменных

форма может быть приведена к каноническому виду

b22 ( y2 )2 ... bnn ( yn )2 .

Точнее, к каноническому виду форму приводит преобразование, обратное к преобразованию (41.6).

120