Линейная алгебра. Учебное пособие-1

V. Линейные, билинейные и квадратичные функции и формы

Перенумеровав в случае необходимости переменные, квадратичную форму окончательно приведем к виду

(z1 )2 (z2 )2 ... (zk )2 (zk 1 )2 ... (zr )2 . (44.3 ' )

Определение. Нормальным видом квадратичной формы,

заданной над полем R , называется ее канонический вид с коэффициентами 1, 1, 0 .

Таким образом, любую квадратичную форму с действительными коэффициентами можно привести к нормальному виду, но только лишь рангом формы этот вид не определяется.

§45. Закон инерции квадратичных форм с действительными коэффициентами

Теорема. Число положительных и число отрицательных коэффициентов в нормальном виде квадратичной формы, заданной над полем R , определены однозначно и не зависят от способа приведения формы к этому виду.

Доказательство. Пусть (x1, x2 ,..., xn ) aij xi x j ( i, j 1,n)

— произвольная квадратичная форма с действительными коэффициентами и rang r . Предположим, что форму мож-

но привести к различным нормальным видам:

а к виду (45.2) — преобразованием

131

Линейная алгебра

Точнее, к нормальному виду форму приводят преобра-

зования, обратные к преобразованиям (45.3) и (45.4). Запишем формулы (45.3) и (45.4) подробно:

По предположению нормальные виды (45.1) и (45.2) различны, т. е. k l . Пусть, например, k l . Рассмотрим вспомогательную систему уравнений

x1 , x2 ,..., xn и в силу однородности всегда совместна. Так как при

k l уравнений в ней меньше, чем неизвестных, то система имеет бесконечно многодействительныхненулевых решений. Пусть

— одно из таких решений.

Если в равенства (45.1) и (45.2) подставить значения всех переменныхизформул(45.3 ' ) и(45.4 ' ), тополучитсятождество

( y1 (xi ))2 ... ( yk (xi ))2 ( yk 1 (xi ))2 ... ( yr (xi ))2

132

V. Линейные, билинейные и квадратичные функции и формы

Вместо переменных x1 , x2 ,..., xn в это тождество подставим компоненты решения (45.6):

Числа (45.6) удовлетворяют всемуравнениям системы (45.5), т.е.

С учетом соотношений (45.8) равенство (45.7) принимает вид

( yk 1 ( i ))2 ... ( yr ( i ))2 (z1 ( i ))2 ... (zl ( i ))2 . (45.9)

Напомним, что в условиях теоремы все коэффициенты в формулах (45.3 ' ), (45.4 ' ) действительные, поэтому равенство (45.9) справедливо тогда и только тогда, когда

Из формул (45.8) и (45.10) следует

z1 ( i ) 0, ..., zl ( i ) 0, zl 1 ( i ) 0, ..., zn ( i ) 0 ,

т. е. квадратная система линейных однородных уравнений

133

Линейная алгебра

имеет ненулевое решение (45.6), чего быть не может. Таким образом, предположение k l привело к противоречию. Аналогично к противоречию приводит предположение k l . Итак, окончательно получаем равенство k l , доказывающее

теорему. ▲

Определение. Количество положительных коэффициентов в нормальном виде квадратичной формы, заданной над полем действительных чисел, называется положительным индексом инерции этой формы, а количество отрицательных коэффици-

ентов — отрицательным индексом инерции. Обозначим их I

и I соответственно. Разность I I называется сигнатурой квадратичной формы и обозначается sign . Очевидно, что

I I r rang ,

откуда

I 12 ( rang sign ) , I 12 ( rang sign ) .

Следствие закона инерции. Две квадратичные формы с действительными коэффициентами тогда и только тогда переводятся одна в другую невырожденным преобразованием переменных, когда они имеют одинаковые ранги и одинаковые сигнатуры (т.е. приводятсякодномуитомуженормальномувиду).

Доказательство аналогично приведенному в предыдущем параграфе.

§ 46. Положительно определенные квадратичные функции и формы

Пусть Vn — действительное n -мерное векторное про-

V. Линейные, билинейные и квадратичные функции и формы

Определение. Квадратичная функция , заданная на дей-

ствительном векторном пространстве, называется положи-

ми коэффициентами называется положительно определенной, если она принимает положительные значения при любых действительных значениях переменных, хотя бы одно из которых отлично от нуля.

Теорема. Квадратичная форма

от n переменных тогда и только тогда положительно определена, когда

Условия (46.2) равносильны утверждению, что форму

можно привести к нормальному виду, все коэффициенты которого равны единице.

Необходимость. Пусть форма положительно опре-

делена, но хотя бы одно из условий (46.2) не выполняется, например sign n . Это значит, что форму можно привести к

нормальному виду, содержащему n квадратов, некоторые из коэффициентов которого равны 1. Для определенности предположим, что нормальным для формы будет следую-

щий вид:

точнее, обратным к этому преобразованию. Запишем формулу (46.4) подробно:

135

Линейная алгебра

y1 bi1 xi ,

...

(46.4 ' )

yn 1 bin 1 xi ,yn bin xi ,

и рассмотрим вспомогательную систему линейных уравнений

bi1 xi 0,

...

(46.5)

bin 1 xi 0,bin xi 1.

Определитель системы (46.5) отличен от нуля, следовательно, она имеет единственное, причем ненулевое, решение

Найдем значение формы от чисел (46.6). С учетом фор-

мул (46.4 ' ) и (46.3) получим

откуда

( 1 , 2 ,..., n ) 0 ... 0 1 1.

Это противоречит положительной определенности формы .

Аналогичное противоречие возникает в случае, когда rang n . Следовательно, условия (46.2) верны.

Достаточность. Пусть условия (46.2) справедливы. Это значит, что существует линейное преобразование переменных (46.4), приводящее форму к нормальному виду

136

V. Линейные, билинейные и квадратичные функции и формы

Из формулы (46.7) следует, что форма не может принять

отрицательных значений ни при каких действительных значениях входящих в нее переменных. Равенство

( 1 , 2 ,..., n ) 0

достигается тогда и только тогда, когда

y1 ( i ) 0,

...

yn 1 ( i ) 0,yn ( i ) 0,

т.е. когда числа 1 , 2 ,..., n удовлетворяют системе уравнений

BX ( det B 0 ).

Но данная система имеет единственное решение, которое является нулевым. Это значит, что форма положительно оп-

ределена.

Следствие. Если квадратичная форма положительно определена, то определитель ее матрицы положителен.

Доказательство. Пусть форма (46.1) положительно определена. Тогда существует преобразование переменных

X TY ( detT 0 ),

приводящее форму к нормальному виду (46.7). Матрицей этого вида является единичная матрица E , которая связана с

матрицей A (aij ) формулой

E T t AT .

Переходя к определителям, находим

det E det(T t AT ) detT t det A detT det A (detT )2 ,

откуда

137

Линейная алгебра

Аналогично положительно определенным можно рассмат-

ривать отрицательно определенные квадратичные функции и формы. Признаком последних являются условия

rang sign n .

Функции и формы, не являющиеся положительно или отрицательно определенными, называются знакопеременными,

неотрицательно или неположительно определенными, в зави-

симости от принимаемых ими значений.

§ 47. Критерий Сильвестра положительной определенности квадратичной формы

квадратичная форма и A (aij ) — матрица этой формы.

Определение. Главными, или угловыми, минорами квадра-

тичной формы называются миноры

расположенныев левом верхнем углу еематрицы. Главныйминор наивысшегопорядка n совпадаетсопределителемматрицы A .

Теорема (критерий Сильвестра). Квадратичная форма с действительными коэффициентами тогда и только тогда положительно определена, когда все ее главные миноры положительны.

Доказательство проведем методом математической индукциипоколичествупеременных, откоторыхзависитформа .

При n 1 форма имеет вид (x1 ) a11 (x1 )2 и положительно определена тогда и только тогда, когда a11 0 . В этом случае теорема верна.

138

V. Линейные, билинейные и квадратичные функции и формы

Предположим, что для форм от n 1 переменных теорема

форма, составленная из членов формы , не содержащих переменную xn . Очевидно, что все главные миноры форм и

порядков до n 1 включительно совпадают. Необходимость. Пусть форма положительно опре-

делена, тогда форма тоже положительно определена. Если это не так, то найдутся числа p1 , p2 ,..., pn 1 , среди которых хотя бы одно отлично от нуля, такие, что

( p1 , p2 ,..., pn 1 ) 0 .

Добавив к этим числам еще pn 0 , согласно формуле (47.1) получим

( p1 , p2 ,..., pn ) ( p1 , p2 ,..., pn 1 ) 2a n p 0 ann 02 0 ,

чего быть не может.

Так как является формой от n 1 переменных, то для

нее справедливо индуктивное предположение, т. е. из положительной определенности следует, что все ее главные миноры положительны. Последний из главных миноров формы ,

совпадающий с определителем ее матрицы A (aij ) , как дока-

зано в § 46, тоже положителен.

Достаточность. Пусть все главные миноры формы положительны. Тогда главные миноры формы тоже положительны, и по индуктивному предположению положи-

тельно определена. Следовательно, существует преобразование переменных

139

Линейная алгебра

и применим его к форме . Согласно формулам (47.1) и (47.3) получим

которые для дальнейшего доказательства несущественны. Еще одно преобразование

позволит исключить из формы (47.5) произведения различных переменных, после чего получим

Матрица C формы (47.6) связана с матрицей A формулой

C Qt AQ ( det Q 0 ),

где Q — матрица невырожденного преобразования переменных, приводящего форму (47.1) сразу к виду (47.6). Тогда

det C det (Qt AQ) det Qt det A det Q det A (det Q)2 0 .

140