Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Линейная алгебра. Учебное пособие-1

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.08.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 162 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 > Следующая >>>

I. Векторные пространства

ется через другой, например: a1 ka2 . Значит, для двух векто-

ров линейная зависимость равносильна их пропорциональности. Геометрически это можно интерпретировать как коллине-

арность векторов. 3. Пусть s 3 , т. е. система содержит три вектора: a1 , a2 , a3 .

В случае их линейной зависимости эти векторы связаны, на-
пример, соотношением					, которое в трехмерном
	a	k1 a	k 2 a	2
	3	1

пространстве интерпретируется как компланарность векторов.

Теорема. Если часть системы векторов (подсистема) ли-

нейно зависима, то и вся система векторов линейно зависима.
		( p s ),
Доказательство. Пусть векторы a1 , a2	,..., ap

содержащиеся в системе (2.1), линейно зависимы, т. е. спра-

ведливо равенство						,
k1 a		k 2 a	... k p a	p	0	,
	1	2		p

где, например, k1 0 . Это равенство приводится к другому:

k1 a1 k2 a2 ... k p ap 0 ap 1 ... 0 as 0 ,

из которого следует линейная зависимость всей системы (2.1). ▲

Следствие 1. Система, содержащая нулевой вектор или пару пропорциональных векторов, является линейно зависимой.

Следствие 2. Любая подсистема линейно независимой системы векторов также линейно независима.

Пример. Рассмотрим векторное пространство многочленов

V { f (x);

f (x) P[x],

deg f (x) n}

и векторы

xn этого пространства.

1, a x, a

x2 , ..., a

Равенство

k0 a0 k1 a1

k2 a2

...

kn an

означает, что многочлен k

k x k

x2 ... k

xn является ну-

левым, что

возможно

тогда

только

тогда, когда

k0 k1 k2

... kn 0 . Таким образом, данные векторы линей-

но независимы.

Линейная алгебра

§ 3. Базис векторного пространства. Координаты вектора

Определение. Базисом векторного пространства V называется упорядоченная совокупность линейно независимых векторов этого пространства, через которые любой вектор

пространства линейно выражается.
Пусть векторы	e1 ,e2 ,...,en		составляют базис		векторного
пространства V , а	x	— произвольный вектор этого простран-
ства. Равенство					(3.1)
	x x1 e x		2 e	... xn e	(3.1)
		1	2	n

называется разложением вектора x по базису. Коэффициенты x1 , x2 , ..., xn P этого разложения называются координа-

тами вектора относительно данного базиса.

Используя правило сокращенного суммирования, формулу

(3.1) можно переписать в виде
x xi e	( i		).	(3.1 ' )
x xi e	( i	1, n	).	(3.1 ' )
i

позволит объединить их соответственно в строчную и столб-

							1
					x2
цовую матрицы					X x			. Тогда, в соответст-
цовую матрицы	E	(e	e	... e ) ,	X x			. Тогда, в соответст-
		1	2	n		...
						...
							n
							n
					x

вии с правилом умножения прямоугольных матриц, формуле (3.1) можно придать матричную форму

x E X .	(3.1 '' )
В дальнейшем базисные векторы будем всегда нумеровать
нижними индексами, а координаты вектора — верхними, что

Замечание. Не следует забывать, что умножение матриц свойством коммутативности не обладает.

I. Векторные пространства

Теорема. Координаты вектора относительно заданного базиса определяются однозначно.

Доказательство проведем методом от противного. Предположим, что для некоторого вектора x кроме разложе-

ния (3.1) удалось построить еще одно разложение
								(3.2)
	x y1 e		y2 e	... yn e .				(3.2)
		1	2		n
Тогда
x1 e	x2 e	... xn e y1 e			y2 e ... yn		e	,
1	2		n	1	2		n
или
(x1 y1 )e		(x2 y2 )e		... (xn yn )e		0 .
	1		2		n

Так как базисные векторы линейно независимы, то последнее равенство справедливо тогда и только тогда, когда

x1 y1 x2 y2 ... xn yn 0 ,

что означает совпадение разложений (3.1) и (3.2). ▲

Замечание. Формулы, приведенные в доказательстве предыдущей теоремы, удобнее записывать с помощью сокращенного суммирования или в матричной форме:

(3.2 ' )

, (3.2 '' )

x E Y , где Y

...

xi e

yi e ,

E X

EY ,

E (X Y ) 0

(xi yi )e

xi yi 0 ,

X Y ,

xi yi .

X Y .

Пусть

— любые векторы векторного пространства

V , а

(e1

... en

)

— базис этого пространства. Тогда

Линейная алгебра



x xi e , y		yi e		( i 1, n ),	x E X ,		y	E Y ,
	i		i				(X Y ) ,
	x y	(xi yi )e ,			x y	E
	k x (kxi )e			i	k x E (kX ) .
			( k P ).
		i

Таким образом, при сложении векторов их соответствующие координаты складываются, при умножении вектора на число каждая координата умножается на это число. Другими словами, линейным соотношениям векторов отвечают такие же соотношения между их соответствующими координатами.

Рассмотрим примеры базисов в каждом из векторных пространств, приведенных в § 1:

1.На прямой базисным является любой ненулевой вектор этой прямой.

2.На плоскости базис составят любые два неколлинеарных вектора.

3.В трехмерном пространстве базисом является любая тройка некомпланарных векторов.

4.В пространстве прямоугольных матриц одного и того же типа базис составит, например, совокупность матриц, в которых один элемент равен единице, а остальные — нулю.

5.В n -мерном арифметическом пространстве Pn в качест-

ве базисных можно выбрать векторы

		1				0				0
e		0		e		1		, ..., e		0
e		0	,	e		1		, ..., e		0		.
1		...		2		...		n		...
		0				0				1
		0				0				1
6. Векторы		1,									xn составляют
6. Векторы	a	1,		a	x, a		2	x2 , ..., a			xn составляют
	0			1			2		n

один из базисов пространства многочленов

V{ f (x); f (x) P[x], deg f (x) n}.

7.Нулевое пространство V {0} не содержит ни одного

базиса, так как его единственный вектор не является линейно независимым.

I. Векторные пространства

§ 4. Теоремы о базисах. Размерность векторного пространства

Теорема I. Если в векторном пространстве V содержится хотя бы один базис, состоящий из n векторов, то любые s векторов этого пространства при s n линейно зависимы.

Доказательство. Пусть векторы e1 ,e2 ,...,en составля-

ют базис пространства V . Рассмотрим произвольные векторы

a1 , a2

,...,as

( s n ) этого пространства. Каждый из них линей-

но выражается через базисные:

a a1

a2 e ... an

( i

(4.1)

1, n

1, s

Составим равенство

(4.2)

k1 a

k 2 a

... k s a

0 .

В силу формул (4.1) оно приводится к виду

k1ai

k2 ai

e ... k s ai

e 0

или

)e 0 .

(k1ai k 2 ai

... k s ai

Так как базисные векторы линейно независимы, то каждый коэффициент здесь равен нулю:

k1ai	k 2 ai	... k s ai	0	( i	1, n	).	(4.3)
1	2	s

Итак, равенство (4.2) приводит к системе линейных уравнений (4.3). Эта система однородна, т. е. всегда совместна. Она со-

стоит из n уравнений и содержит s неизвестных k1 , k2 , ..., k s ,

причем s n . Решая систему методом Гаусса (исключения неизвестных), ее можно привести к виду трапеции, а значит, она имеет бесконечно много решений. Таким образом, система (4.3) имеет ненулевые решения, а равенство (4.2) справедливо в случае, когда некоторые из его коэффициентов отличны от

Линейная алгебра


нуля. Тем самым линейная зависимость векторов a1 , a2		,..., as
доказана. ▲
Следствие. Все базисы векторного пространства	V		со-

держат одно и то же количество векторов.

Действительно, по предыдущей теореме, ни в одном базисе не может быть больше векторов, чем в другом, следовательно, не может быть и меньше, чем в другом.

Определение. Размерностью векторного пространства называется количество векторов в любом из базисов этого пространства.

Обозначается размерность векторного пространства V символом dimV (от английского dimension). Если размер-

ность пространства известна, например dimV n , то ее принято указывать при обозначении этого пространства: Vn .

Размерности векторных пространств, рассмотренных в § 1 и 3, легко определить, подсчитав количество базисных векторов в каждом из них. Например, базис n-мерного арифметического пространства Pn действительно состоит из n векторов.

Замечание. Если в пространстве V можно найти произвольное число линейно независимых векторов, то пространство называется бесконечномерным. Например, бесконечномерным является пространство многочленов всех степеней.

В линейной алгебре рассматриваются преимущественно конечномерные векторные пространства.

Теорема II. Любые n линейно независимых векторов n - мерного векторного пространства Vn составляют базис это-

го пространства.
Доказательство. Пусть векторы
		Vn
a1 ,a2	,..., an	Vn	(4.4)

линейно независимы и x — произвольный вектор из Vn . Рас-

смотрим совокупность всех векторов a1	, a2	,...,an	, x . Так как их

I. Векторные пространства

количество n 1 больше размерности					n пространства Vn , то
по теореме I эти векторы линейно зависимы, т. е. для них спра-
ведливо равенство						(4.5)
k1 a	k 2 a	... kn a	n	k0 x 0 ,
1	2

в котором хотя бы один коэффициент отличен от нуля. Если

при этом окажется, что k0			0 , то равенство (4.5) можно пере-
писать короче:
		k2				,	(4.5 ' )
	k1 a		a	... k n a	0
	1		2	n

где по-прежнему не все коэффициенты равны нулю. Однако в силу независимости векторов (4.4) это невозможно. Следова-

тельно, k0 0 , и из равенства (4.5) находим

	k1		k 2			k n
x		a		a	...		a .
x	k0	a	k0	a	...	k0	a .
	k0	1	k0	2		k0	n

Таким образом, векторы (4.4) линейно независимы, и любой вектор пространства Vn через них линейно выражается. По

определению векторы (4.4) составляют базис этого пространства. ▲

Теорема III. Любую линейно независимую систему векто-

ров можно дополнить до базиса векторного пространства.
Доказательство. Пусть векторы			Vn
	a1 ,a2	,..., ap		ли-

нейно независимы. При p n их совокупность не является ба-

зисом. Следовательно, существует хотя			бы один	вектор

ap 1 Vn , который через них линейно не выражается. Присое-

динив вектор	ap 1	к заданным, получим новую систему, со-
держащую	p 1	линейно независимых	векторов.	Если
p 1 n , то базис уже построен. Если p 1			n , то этот прием

следует повторять до тех пор, пока новая система не будет включать n векторов. По теореме II они и составят базис про-

странства Vn . ▲

Линейная алгебра

Следствие. Любой ненулевой вектор пространства Vn

можно дополнить до базиса этого пространства.

Замечание. В учебной литературе можно встретить другие

определения базиса векторного пространства, например:

1) система векторов e1 ,e2 ,...,en V называется базисом векторного пространства V , если любой вектор x V однозначно

представляется				в		виде	линейной	комбинации
			... xn			;
x x1 e		x2 e	... xn		e	;
	1	2			n

2) базисом векторного пространства V называется максимальная линейно независимая система векторов этого пространства.

Нетрудно убедиться, что в силу доказанных теорем такие определения равносильны определению базиса, данному в § 3. В дальнейшем всегда будем пользоваться только этим определением.

§ 5. Формулы преобразования базиса. Формулы преобразования координат

Пусть в n -мерном векторном пространстве Vn над полем
P (действительных или комплексных чисел) даны два раз-

личных базиса E	(e1 e2	... en )	и E	' (e1 ' e2 ' ... en ') . Первый

из них будем условно называть «старым», а второй — «но-

вым». Так как векторы E составляют базис, то любой вектор пространства Vn через них линейно выражается. В том

числе через них линейно выражаются все векторы «нового»
базиса		' :
базиса	E	' :
		e ' t1 e		t2 e	... tn e	tk e	,	(5.1)
		i	i 1	i 2	i n	i k

здесь и в дальнейшем i, j, k 1, n .

I. Векторные пространства

Коэффициенты tik P формул (5.1) заполняют квадратную

матрицу T (tk )	порядка n , которая называется матрицей пе-
i
рехода от базиса	E	к базису E ' . Из формул (5.1) следует, что
столбцы матрицы T		состоят из координат «новых» базисных

векторов относительно «старого» базиса. Учитывая правило умножения прямоугольных матриц, формулы (5.1) можно за-

писать в матричной форме:		(5.1 ' )
E	' ET .	(5.1 ' )

Формулы (5.1) и (5.1 ' ) называются формулами преобразования базиса.

Докажем, что матрица перехода от одного базиса к друго-

му всегда невырожденна. Пусть					~
					T — матрица перехода от ба-

зиса E ' к базису	E , т. е. для нее справедлива формула, анало-
гичная формуле (5.1 ' ):
					'T .	(5.2)
			E	E
Тогда
			'T			(TT ) .
	E	E		(ET )T E

В силу линейной независимости базисных векторов отсюда следует

TT E ,

где E — единичная матрица. Таким образом, обе матрицы T

и	~	невырожденны и взаимно обратны: T T		1	.	Формула
и	T	невырожденны и взаимно обратны: T T			.	Формула
(5.2) теперь принимает вид
		E	E 'T 1
и задает обратное преобразование базиса.
	Пусть x — произвольный вектор пространства					Vn . Рас-

смотрим его разложение по каждому из двух заданных бази-
сов		и		' (рассуждение будем проводить одновременно в
	E		E

индексной и в матричной формах):

Линейная алгебра

		,
x xk e		,
	k
x	' xi e ' .
	i

x E X , x E ' X ' ,

' x

где

X '

' x2

...

' x

Воспользовавшись формулами (5.1) или (5.1 ' ), получим

x ' xi e '	' xitk e .		x E ' X '	ETX ' .
i	i	k
В силу однозначности разложения вектора по базису
xk ' xitik .		(5.3)	X TX ' .		(5.3 ' )
Формулы (5.3) и (5.3 ' )			выражают координаты произволь-
	относительно «старого» базиса
ного вектора x	относительно «старого» базиса			E через коор-
динаты этого же вектора относительно «нового» базиса
динаты этого же вектора относительно «нового» базиса					E ' и

элементы матрицы перехода T (tik ) . Эти формулы называют-

ся формулами преобразования координат.

Замечание. Умножив равенство (5.3 ' ) слева на матрицу

T 1 , его можно привести к виду
X ' T 1 X .	(5.4)

Равенства (5.3 ' ) и (5.4) равносильны, поэтому соотноше-

ние (5.4), выражающее «новые» координаты вектора x через

его «старые» координаты, договоримся тоже называть формулами преобразования координат, когда это удобно. При этом не обязательно подчеркивать в явном виде, что матрица коэффициентов в формуле (5.4) является обратной по отношению к матрице T , но помнить об этом необходимо.

§ 6. Изоморфизм векторных пространств

Пусть U и V — векторные пространства, заданные над однимитемжеполем P (действительныхиликомплексныхчисел).

Определение. Пространства U и V называются изоморфными, если между их векторами установлено взаимно

<<< < Предыдущая 12 / 162 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
12.08.2026761 Кб0Линейная алгебра для экономистов. Учебное пособие.pdf
#
12.08.2026876 Кб0Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Учебное пособие.pdf
#
12.08.2026895 Кб0Линейная алгебра. В 2 частях. Ч.1. Учебно-методическое пособие.pdf
#
09.08.2026393 Кб0Линейная алгебра. Сборник задач.pdf
#
12.08.2026856 Кб0Линейная алгебра. Учебно-методическое пособие.pdf
#
15.08.20261 Мб0Линейная алгебра. Учебное пособие-1.pdf
#
15.08.20261 Мб0Линейная алгебра. Учебное пособие-2.pdf
#
12.08.2026698 Кб0Линейная алгебра. Учебное пособие.pdf
#
12.08.20261 Мб0Линейная алгебра. Ч. 2. Системы линейных уравнений. Учебное пособие.pdf
#
12.08.20261 Мб0Линейное программирование. Практикум. Учебное пособие для бакалавриата.pdf
#
12.08.2026836 Кб0Линейное программирование. Ч.1. Учебное пособие для бакалавриата.pdf