Линейная алгебра. Учебное пособие-1

Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Рассмотрим еще один вектор

br 1 1 br 2

... bn n r .

является линейной комбинацией решений сис-

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.08.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 165 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 > Следующая >>>

II. Системы линейных уравнений

(tbi ) t(a bi ) t 0 0 .

Если вектор

— еще одно решение системы (13.1):

...

. Дейст-

0 , то решением окажется и вектор b

...

вительно,

ai (bi ci ) ai bi ai ci 0 0 0 .

Таким образом, для множества всех решений системы уравнений (13.1) выполняется признак подпространства, что и

доказывает теорему. ▲

Следствие. Всякая линейная комбинация решений однородной системы уравнений тоже является ее решением.

Замечание. Для решений неоднородной системы уравнений доказанная теорема не справедлива, так как признак подпространства для них не выполняется.

Определение. Решения однородной системы уравнений, составляющие базис подпространства ее решений, называются

фундаментальными.

Из этого определения следует:

1)фундаментальные решения однородной системы уравнений линейно независимы, а все остальные ее решения могут быть представлены в виде их линейных комбинаций;

2)фундаментальные решения определяются неоднозначно, но их количество совпадает с размерностью подпространства решений системы уравнений.

§ 14. Теорема о фундаментальных решениях системы линейных однородных уравнений

Теорема. Подпространство решений системы линейных однородных уравнений с n неизвестными имеет размерность n r , где r — ранг матрицы этой системы.

Линейная алгебра

Фактически требуется доказать, что система уравнений (13.1) имеет n r фундаментальных решений.

Доказательство. Пусть ранг матрицы системы (13.1) равен r ( r n ). Это значит, что система содержит только r независимых уравнений, а остальные являются их алгебраическими следствиями, которые из системы можно исключить. Разделив затем все неизвестные системы на основные и свободные, приведем ее к виду

a1 x1

a1 x2

... a1 xr

xr 1

... a1 xn

r 1

a2 x

... ar

ar 1 x

r 1

... an

...

ar x2

... ar

xr 1

... ar

r 1

где

...

a 2

...

a 2

... ... ... ...

a1r

a2r

...

arr

(14.1)

(14.2)

(в случае необходимости уравнения системы и ее неизвестные следует перенумеровать).

Рассмотрим вспомогательный отличный от нуля определитель порядка n r :

	1	0	...	0
	1	0	...	0
n r	0	1	...	0	.	(14.3)
	... ... ... ...
	0	0	...	1
Свободным n r неизвестным			xr 1 , xr 2 , ..., xn			придадим зна-

чения, совпадающие с элементами одного из столбцов определителя n r . А затем в каждом случае однозначно определим

значения основных неизвестных x1 , x2 , ..., xr . Таким образом найдем n r частных решений системы (14.1) и равносильной ей

II. Системы линейных уравнений

системы (13.1). Каждое решение можно интерпретировать как вектор n -мерногоарифметическогопространства Pn :

		1				1
	c1				c2
		c2				c2
		1				2
		...				...
			,				, …,
	c1r		,		c2r		, …,
1		1		2		0
		0				1
		0				1

		...				...
		0				0
		0				0

	c1n r

	cn2 r
	...
				(14.4)
	cnr r		.	(14.4)
n r		0
		0
		0

	...
		1
		1

Остается доказать, что решения (14.4) являются фундаментальными, т. е. составляют базис подпространства решений. Во-первых, эти векторы линейно независимы, так как матрица, составленная из них как из столбцов, содержит отличный от

нуля минор n r максимального порядка n r . Это значит,

что ранг такой матрицы тоже максимален и равен n r . Вовторых, покажем, что любое решение

	b	1
	b
	b2
...
	br
	br
br 1

br 2

...
	b	n
	b

системы уравнений (14.1) линейно выражается через решения

темы уравнений (14.1), то по признаку подпространства он и

Линейная алгебра

сам окажется решением этой системы. Учитывая формулы

(14.4) и (14.5), находим

r 1 1

r 2 1

n 1

... b cn r

br 1c2

br 2c2

... bnc2

n r

...

br 1c1r

br 2c2r

... bncnr r

r 1

br 2

...

т.е. значения всех свободных неизвестных в решении равны

нулю. Но при xr 1	xr 2		... xn 0		система (14.1) имеет единст-
венное решение x1 x2			... xr
				0 . Таким образом, решение

является нулевым (		0 ), аравенство(14.5) приводитсяквиду

	br 1 1 br 2			2	... bn n r .

Тем самым доказано, что решения (14.4) действительно составляют базис подпространства решений, т. е. являются фун-

даментальными. ▲

Замечание 1. На практике фундаментальные решения находятся так же, как при доказательстве теоремы.

Замечание 2. Так как размерность подпространства решений системы линейных однородных уравнений равна n r , то любые n r линейно независимых решений являются фундаментальными. Это значит, что в качестве вспомогательного определителя n r можно выбрать любой определитель по-

рядка n r , отличный от нуля.

Замечание 3. Если r n , то подпространство решений системы уравнений (13.1) является нульмерным и содержит единственное нулевое решение. В этом случае теорема тоже справедлива.

III. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ ВЕКТОРНЫХ ПРОСТРАНСТВ

§ 15. Понятие линейного оператора

Рассмотрим векторное пространство Vn , заданное над по-

лем P (комплексных или действительных чисел).

Определение. Отображение f :Vn Vn называется линей-

ным отображением, или линейным оператором, если оно со-

храняет линейные операции над векторами, т. е. удовлетворяет

следующим условиям:
								V ;
1) f (x x		) f (x ) f (x ),				x	, x
1	2		1		2	1	2	n
2) f (k x) kf (x),			x Vn , k P .
Вектор		def	называется образом вектора x при ли-
	f (x) y
нейном отображении				f .	Условия, входящие в определение

линейного оператора, можно объединить и распространить на

произвольное количество векторов:

V ,

k1 , k2 ,..., kt P :

, x ,..., x

... kt

f (k x

) f (k1 x k

2 x

x ) k1

f (x ) k 2

f (x ) ...

(15.1)

kt f (

x ) k f (x ),

1,t

Свойства линейных операторов

1. Из формулы (15.1) следует, что образ линейной комбинации векторов равен такой же линейной комбинации образов этих векторов.

Линейная алгебра
2.	Для любого линейного оператора				f	:	f (0) 0 .

Действительно, f (0)		f (0 x)		0 f (x)	0 .
3.	Для любого оператора f		:	f ( x)	f (x) .

Доказывается аналогично:

f ( x) f (( 1) x) ( 1) f (x) f (x) .

4. Если векторы линейно зависимы, то их образы также

линейно зависимы.
Если векторы x1	, x2	,..., xt	линейно зависимы, то существу-

ют числа k1 , k2 ,..., kt ,	среди которых хотя бы одно отлично от
нуля, такие, что

k1 x k 2 x			... kt x		0 .
Тогда	1		2	t
						,

f (k1 x k		2 x	... kt x ) f (0)
	1	2		t			,
k1 f (x ) k 2		f (x ) ... kt			f (x )	0
1			2		t

где по-прежнему не все коэффициенты равны нулю. Из по-

следнего равенства следует линейная зависимость векторов
			) .
f (x1 ), f (x2 ),..., f (xt

5. Если образы некоторых векторов линейно независимы, то и сами векторы тоже линейно независимы.

Предположив противное, сразу получим противоречие с предыдущим свойством.

6. Если линейный оператор f :Vn Vn является биективным (взаимно однозначным), то для него существует обрат-

ный оператор f 1 :V V , тоже линейный.
		n	n					f (x) y , то
Пусть оператор			f	биективен. Если				f (x) y , то
f 1 ( y)	x , откуда	f 1 ( f (x)) x ,			x V . Тогда
f 1 (k1 y	k2 y ) f 1 (k1 f (x ) k 2				n					k 2 x ))
f 1 (k1 y	k2 y ) f 1 (k1 f (x ) k 2				f (x )) f 1 ( f (k1 x					k 2 x ))
1	2			1	2				1	2
						f 1			),
	k1 x k 2 x			k1 f 1 ( y ) k2		f 1	( y	2	),
		1		2	1			2
т. е. обратный оператор			f 1	линеен.
46

Рис. 3

III. Линейные операторы векторных пространств

Определение. Оператор, для которого существует обратный, называется невырожденным.

Очевидно, что оператор тогда и только тогда невырожден, когда он взаимно однозначен.

Рассмотрим несколько примеров линейных операторов.

1.Тождественный оператор: (x) x , x Vn .

2.Нулевой оператор: (x) 0 , x Vn .

3.Оператор подобия: f (x) t x ( t const 0 ), x Vn .

Следующие примеры приведем для двумерного пространства E2 направленных отрезков, исходящих из одной точки O

евклидовой плоскости.

4. Оператор проектирования векторов на ось l , проходящую через точку O . При этом отображении каждому век-

тору x ставится в соответствие его ортогональная проекция y f (x) на ось l

(рис. 1).

5. Оператор поворота векторов относительно точки O на угол const

(рис. 2).

6. Оператор отражения (симметрии) от оси l , проходящей через точку O . При таком отображении каждому вектору

x ставится в соответствие симмет-

ричный ему относительно оси l век-

тор y f (x) (рис. 3).

O	l

f (x)

Рис. 1

f (x)

O x

Рис. 2

l O

f (x)

Линейность каждого из этих отображений легко установить либо непосредственной проверкой, либо из геометрических соображений.

Линейная алгебра

§ 16. Матрица линейного оператора

Пусть

f :V V

— оператор, действующий в векторном

пространстве

Vn ;

E (e1 e2

...en )

—

некоторый базис

этого

пространства.

Рассмотрим

образы

базисных векторов

f (e ), f ( e ), ..., f (e ) , которые объединим в матрицу

f (E)

( f (e1 )

f ( e2 ) ...

f ( en )) .

Каждый из векторов

f (ei )

линейно выразим через базис-

ные векторы:

f (e ) a1 e a2 e ... an e a j e ( i, j

(16.1)

1, n

i j

Коэффициенты формул (16.1) заполняют квадратную матри-

цу A (a j )

порядка n , которая называется матрицей линейного

относительно базиса E . Столбцы матрицы A со-

оператора

стоят из координат образов базисных векторов относительно этого базиса. Учитывая правило умножения прямоугольных матриц,

формулы(16.1) можно записатьвматричнойформе:
		(16.1 ' )
f (E) EA .

Таким образом, матрица линейного оператора показывает,

как оператор действует на векторы некоторого базиса.

Пусть x — произвольный вектор пространства Vn . Разло-

жим этот вектор по базису E и найдем его образ f (x) (все формулы запишем параллельно в индексной и в матричной

формах):

	x xi e ,			x EX ,
		i
f (x) f (xi ei ) xi f (ei ) ;				f (x) f (EX ) f (E) X .
Используя теперь формулы (16.1) и (16.1 ' ), получим


f (x) xi aij e j			, (16.2)	f (x) EAX .	(16.2 ' )
48

III. Линейные операторы векторных пространств

Таким образом,	для нахождения вектора		f (x) необходимо
знать координаты самого вектора x в некотором базисе					и
знать координаты самого вектора x в некотором базисе				E	и
матрицу оператора f в этом базисе.
Обозначим f (x) y :

y y j	ej ,	y	EY .

Формулы (16.2) и (16.2 ' ) теперь можно записать в координатной форме:

	y j aij xi ,		(16.3)					Y AX .			(16.3 ' )


	Рассмотрим другой базис					E	' (e1 '	e2 ' ... en		')	пространства
Vn	и матрицу A'	оператора			f	в этом базисе. В соответствии
с формулой (16.1 ' )
				')
			f (E	')			E ' A ' .
	Пусть T — матрица перехода от базиса
	Пусть T — матрица перехода от базиса								E	к базису E ' , т.е.

E	' ET . Тогда
		f (E ')	f (ET )			f (E)T		EAT ,
		f (E ') E ' A' ETA' ,
откуда

			E AT ETA' .
	Ввидуоднозначностиразложениявекторовпобазисуполучим
			AT TA ' .
	Так как матрица T		перехода от базиса к базису всегда не-
вырожденна, то			A ' T 1 AT .								(16.4)
			A ' T 1 AT .								(16.4)
	Определение. Матрицы A и A' , связанные равенством
(16.4), называются подобными, а матрица										T	называется
трансформирующей.
	Из формулы (16.4) следует, что матрицы оператора в раз-

ных базисах подобны, а роль трансформирующей играет мат-

рица перехода от базиса E к базису E ' . Таким образом, множество всех подобных матриц задает один и тот же оператор.

Линейная алгебра

Выясним теперь, какими матрицами задаются операторы,

рассмотренные в предыдущем параграфе.
1. Тождественный оператор: (x) x ,						x Vn .

Пусть E	(e1 e2	...en )	— произвольный базис пространства
Vn . Тогда	(e1 ) e1		1 e1 0 e2		... 0 en ,

	(e2 ) e2		0 e1 1 e2		... 0 en ,
			…
	(en ) en		0 e1	0 e2	...	1 en .

Коэффициенты этих формул заполняют единичную матрицу E , т. е. тождественный оператор в любом базисе задается

единичной матрицей.
2. Нулевой оператор: (x) 0 , x Vn .
В этом случае
f (ei ) 0	0 e1	0 e2 ... 0 en ( i		).
			1, n
Это значит, что нулевой оператор в любом базисе задается
нулевой матрицей.		f (x) t x ( t const 0 ), x Vn .
3. Оператор подобия:
Имеем
f (ei ) tei 0 e1 0 e2 ... t ei ... 0 en ( i						).
					1, n

Это значит, что в любом базисе оператор подобия задается матрицей

Такая матрица называется скалярной.
В следующих примерах в пространстве E2 выберем пря-

моугольный декартовый базис E	(e1 e2 ) .
50

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 165 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
12.08.2026761 Кб0Линейная алгебра для экономистов. Учебное пособие.pdf
#
12.08.2026876 Кб0Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Учебное пособие.pdf
#
12.08.2026895 Кб0Линейная алгебра. В 2 частях. Ч.1. Учебно-методическое пособие.pdf
#
09.08.2026393 Кб0Линейная алгебра. Сборник задач.pdf
#
12.08.2026856 Кб0Линейная алгебра. Учебно-методическое пособие.pdf
#
15.08.20261 Мб0Линейная алгебра. Учебное пособие-1.pdf
#
15.08.20261 Мб0Линейная алгебра. Учебное пособие-2.pdf
#
12.08.2026698 Кб0Линейная алгебра. Учебное пособие.pdf
#
12.08.20261 Мб0Линейная алгебра. Ч. 2. Системы линейных уравнений. Учебное пособие.pdf
#
12.08.20261 Мб0Линейное программирование. Практикум. Учебное пособие для бакалавриата.pdf
#
12.08.2026836 Кб0Линейное программирование. Ч.1. Учебное пособие для бакалавриата.pdf