Линейная алгебра. Сборник задач

Министерство образования и науки Российской Федерации

Новосибирский государственный университет экономики и управления «НИНХ»

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Сборник задач

Составители Л. Л. Ефименко, Ю. Н. Исмайылова, И. В. Фролова

Новосибирск

2015

ББК 22.143 Л59

Издается в соответствии с планом учебно-методической работы НГУЭУ

Р е ц е н з е н т ы:

Ю. Н. Владимиров — кандидат физико-математических наук, доцент, заведующий кафедрой высшей математики НГУЭУ; О. Е. Белоусова — кандидат технических наук, доцент, заведующая кафедрой физики НТИМГУДТ

Л59 Линейная алгебра : сборник задач / сост. Л. Л. Ефименко, Ю. Н. Исмайылова, И. В. Фролова ; Новосиб. гос. ун-т экономики и управления. — Новосибирск : НГУЭУ, 2015. — 52 с.

ISBN 978-5-7014-0686-3

Сборник содержит задачи по всем темам, входящим в традиционный курс линейной алгебры экономических университетов. Сборник задач по линейной алгебре предназначен в первую очередь для студентов всех форм обучения по направлению подготовки 080100 «Экономика», для всех категорий учащихся, изучающих в том или ином объеме высшую математику, так как вопросы, рассмотренные здесь, входят в курс математики, изучаемый на всех направлениях подготовки.

Предложенные задания разделены на задачи для решения на практических занятиях и задачи для самостоятельного решения.

ББК 22.143

ISBN 978-5-7014-0686-3 © Новосибирский государственный университет экономики и управления, 2015

2

Предисловие

Математическая подготовка студента начинается с изучения основной дисциплины, а именно линейной алгебры. Сборник содержит задачи по всем темам, входящим в традиционный курс линейной алгебры экономических университетов. В этом пособии представлены следующие главы: «Векторная алгебра», «Аналитическая геометрия», «Операции над матрицами», «Системы линейных уравнений». Предложенные задания разделены на задачи для решения на практических занятиях и задачи для самостоятельного решения. Каждый раздел разбит по темам, в среднем 20–25 заданий. Задачи подобраны таким образом, чтобы студент мог отработать все нюансы разбираемой темы. В пособии включены задачи разного уровня сложности — от простейших к более сложным. Кроме того, в конце каждой темы приведены ответы ко всем задачам, что позволит значительно упростить проверку домашних заданий.

Сборник задач подготовлен преподавателями кафедры высшей математики НГУЭУ, имеющими многолетний опыт лекционной и семинарской работы со студентами.

3

1.ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА

ИАНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

1.1.Понятие вектора. Линейные операции над векторами

Задачи для решения на практическом занятии

1.Даны точки А(3; – 1; 2) и В(– 1; 2; 1). Найти координаты векторов AB и BA.

2.Даны две координаты вектора x = 4, y= – 12. Определить его третью координату z при условии, что a 13.

3.Вычислить длину вектора a {6; 3; – 2}.

4.Определить точку N, с которой совпадает конец вектора

– 16}.

8.Может ли вектор составлять с координатными осями следующие углы:

а) α = 45°, β = 60°, γ = 120°; б) α = 45°, β = 135°, γ = 60°; в) α = 90°, β = 150°, γ = 60°?

9. Вектор составляет с осями Ох и Oz углы α = 120° и

γ = 45°. Какой угол он составляет с осью Оу?

10.Вектор a составляет с координатными осями Ох и Оу углы α = 60°, β = 120°. Вычислить его координаты при условии,

что a 2.

4

11.Даны два вектора a {3; – 2; 6} и b {– 2; 1; 0}. Определить проекции на координатные оси следующих векторов:

b{– 6; 3; – 9}. Установить, какой из них длиннее другого

иво сколько раз, как они направлены — в одну или в противоположные стороны.

a {3; – 5; 8} и b {– 1; 1; – 4}.

Задачи для домашнего задания

16.Даны точки А(3; –1; 2) и В(– 1; 7; 1). Найти координаты вектора AB, его длину и направляющие косинусы.

c {4; 8; 1} быть сторонами треугольника?

5

22.Вычислить направляющие косинусы вектора a 3; 4;12 .

23.Может ли вектор составлять с двумя координатными осями следующие углы: а) α = 30°, β = 45°; б) β = 60°, γ = 60°; в) α = 150°, γ = 30°?

24.Найти координаты вектора a , если a 2 3 и углы между вектором и координатными осями равны.

25.Вектор a составляет с координатными осями Ох и Оу углы

α= 45°, β = 120°. Вычислить его координаты при условии,

что a 2 2 .

26. Даны точки А(– 1; 2; 1), В(2; – 1; 4), С(1; 4; – 1). Вычислить:

27.Даны точки А(– 1; 5; – 10), В(5; – 7; 8), С(2; 2; – 7) и D(5; – 4; 2).

Проверить, что векторы AB и CD коллинеарны; установить, какой из них длиннее другого и во сколько раз, как они направлены — в одну или в противоположные стороны.

28.Определить, при каких значениях α, β, векторы

ai –3j – βk и b αi – 9j +3k коллинеарны.

29.Показать, что четырехугольник с вершинами А(– 5; 3; – 4),

В(5; 13; 1), С(15; 2; 3), D(5; – 8; – 2) является ромбом.

30.Определить модули суммы и разности векторов

a={– 2; 5; 4} и b {– 1; 1; – 4}.

Ответы

1.AB = {– 4; 3; – 1}, BA = {4; – 3; 1}.

2.z 3.

3.а 7.

4.N(4; 1; 1).

5.(1; 2; – 5).

6.а { 2;1; 1}.

6

7.cos α = 1225 , cos β = – 53 , cos γ = – 1625 .

8.а) может; б) не может; в) может.

9.60° или 120°.

д) {0; – 1; 12}; е) {5; – 3; 6}.

12.Вектор b длиннее вектора а в 3 раза; они направлены в противоположные стороны.

13.α 4, β 1.

17.Нет.

18.z 4.

19.(– 1; 2; 3).

20.(2; 2; – 1).

21.а {1; 0; 1}.

22.cos α = 133 , cos β = – 134 , cos γ = 1213 .

23.а) не может; б) может; в) не может.

24.а {2; 2; 2} или а { 2; 2; 2}.

д) {7; 11;11}; е) 0 {0; 0; 0}.

27.Вектор AB в два раза длиннее вектора CD ; они направлены

водну сторону.

28.α 3, β 1.

7

1.2. Скалярное произведение векторов

Задачи для решения на практическом занятии

д) 3а 2b а 2b ; е) а b 2 ; ж) 3а 2b 2 .

2.Дано, что а 3 , b 5 . Определить, при каком значении α векторы а b и а b будут взаимно перпендикулярны.

3.Векторы a , b, c попарно образуют друг с другом углы,

9.Даны две точки М(– 5; 7; – 6) и N(7; – 9; 9). Вычислить проекцию вектора а {1; 3;1} на ось вектора MN.

8

с3i – 4j + 12k. Вычислить прс а b .

11.Даны два вектора: a {3; – 1; 5} и b {1; 2; – 3}. Найти вектор х при условии, что он перпендикулярен к оси Oz и удовлетворяет условиям: х а 9 ; х b 4 .

qa b .

14.Даны точки А(– 1; 3; – 7), В(2; – 1; 5) и С(0; 1; – 5). Вычис-

лить:

а) (2 AB – CB )·(2 BC + BA );

б) AB2 ; в) AC2 ;

г) найтикоординатывекторов( AB AC )· BC и AB ·( AC BC ).

17.Показать, что четырехугольник с вершинами А(– 5; 3; – 4),

В(5; 13; 1), С(15; 2; 3), D(5; – 8; – 2) является квадратом.

9

Ответы

1.а) – 6; б) 9; в) 16; г) 13; д) – 61; е) 37; ж) 73.

2.53 .

3.10.

4.а) 22; б) 6; в) 7; г) – 200; д) 129; е) 41.

6.α π arccos 94 .

8.х { 24; 32; 30}.

9.прMN а 3 .

10.прс а b 1364 .

11.х {2; 3; 0} .

12.а) – 62; б) 162; в) 373.

13.arccos 27 .

14.а) – 524; б) 13; в) 3; г) { 70; 70; 350} и { 78;104; 312}.

15.α 6 .

16.β 45 .

18. х {4; 6; 12} .

10