Линейная алгебра. Сборник задач

а) вектору a 2; 3; 5 ; б) прямой

x 1

y 2

z 1

;

5

1

в) оси Оx.

2

а) вектору a 2, 3, 4 ; б) прямой

x 1

y 2

z 1

;

2

4

0

в) прямой x 3t 1,

y 2t 3,

z 5t 2.

а) x 2 y 3z 4 0

; б) 5x y z 0

.

3x 2 y 5z 4 0

2x 3y 2z 5 0

а)

x 2

y 1

z

и x y z 0

;

3

2

1

x y 5z 8 0

б) x 2t 5,

y t 2,

z t 7 и

x 3y z 2 0,

x y 3z 2 0.

а)

x

y 1

z

и 3x y 5z 1 0

;

1

2

0

3

2x 3y 8z 3

б)

x y 3z 1 0

2x y 2z 5 0

2x y 9z 2 0

и 2x 2 y z 2 0.

8. Найти

острый

угол между прямыми

x 3

y 2

z

,

1

1

2

x 2

y 3

z 5

.

1

1

2

через данные точки: а) (0; – 2; 3) и (3; – 2; 1); б) (1; 2; – 4) и

10.

(– 1; 2; – 4).

Составить параметрическое уравнение прямой, проходящей

11.

через данные точки: (0; 0; 1) и (0; 1; – 2).

Составить каноническое уравнение прямой:

x 2 y 3z 1

0

.

0

2x y 4z 8

12.

Составить параметрическое уравнение:

x

2y z

6 0

.

13.

Доказать параллельность прямых:

2x y z 1 0

x y 3z 1 0,

и

x 2 y 5z 1

0

.

0

14.

x y z 3 0

x 2 y 3z 9

Доказать перпендикулярность прямых:

x 2t

1, y 3t 2,

z 6t 1 и

2x

y 4z 2

0,

y 5z 4

0.

4x

15. Определить косинус угла между прямыми:

x y 4z 5 0,

x 6y 6z

2 0,

2z 4 0

и

2x y

2x 2 y 9z 1 0.

Ответы

1.

а)

x 2

y

z 3

; б)

x 2

y

z 3

;

2

3

5

5

2

1

в)

x 2

y

z 3

.

1

0

0

2.

а)

x 1

y 1

z 1

; б)

x 3

y 1

z

.

2

2

1

2

2

3

3.

а)

x 2t 1,

y 3t 1,

z 4t 3;

б) x 2t 1,

y 4t 1,

z 3;

в) x 3t 1,

y 2t 1,

z 5t 2.

4.

а)

x 2

y 1

z

;

б)

x

y 1

z 1

.

5

2

7

4

12

13

5.

x t 1,

y 7t,

z 19t 2.

9.

а)

x

y 2

z 3

; б)

x 1

y 2

z 4

.

2

1

3

0

0

0

10.

x 0,

y t,

z 3t 1.

11.

x 3

y 2

z

.

1

2

1

12.

x t 1,

y 3t 2,

z 5t 1.

1. Доказать, что прямая x 3t 2,

y 4t 1,

z 4t 5 па-

раллельна плоскости 4x 3y 6z 5 0.

а)

x 1

y 1

z

; 2x 3y z 1 0.

1

2

6

б)

x 3

y 2

z 3

; x 2y z

0.

3

1

5

3.

Составить уравнение

прямой,

проходящей

через

точку

М (2; – 3; – 5)

перпендикулярно

к

плоскости

6x 3y 5z 2 0.

4.

Составить уравнение плоскости, проходящей

через

точку

А(1; – 1; – 1) перпендикулярно кпрямой

x 3

y 1

z 2

.

2

4

3

5.

При каком значении т прямая

x 1

y 2

z 3

парал-

3

2

m

лельна плоскости x 3y 6z 7 0?

6.

При каких значениях А и В плоскость Ax By 3z 5 0

перпендикулярна

к

прямой

x 2t 3,

y 3t 5,

7.

Найти

точку Q, симметричную точке

P(4; 1; 6) относи-

тельно прямой

x y 4z 12

0,

0.

2x y 2z 3

8.

Найти

проекцию точки

P(5; 2; 1)

на плоскость

x 2t 1,

y 3t 2, z 2t 3 и точку (2; – 2; 1).

Задачи для домашнего задания

10.

Найти точку пересечения прямой и плоскости:

x 2

y 1

z 3

; x 2 y 2z 10 0.

2

11.

3

2

Составить уравнение плоскости,

проходящей через точку

x 2 y z 3

0,

А(1; –2; 1) перпендикулярно к прямой

0.

x y z 2

12.

3x 2y z 3 0,

парал-

При каком значении С прямая

4x 3y 4z 1 0

13.

При каких значениях l и С прямая

x 2

y 1

z 5

пер-

l

4

3

пендикулярна к плоскости 3x 2 y Cz 1 0?

14.

Найти точку Q, симметричную точке

P(2; 5; 7) относи-

тельно прямой, проходящей через точки

M1 (5; 4; 6) и

M2 ( 2; 17; 8).

x 2

y 1

z 3

;

x 1

y 2

z 3

.

3

3

2

2

2

2

Ответы

2.

а) (2; – 3; 6);

б) (0; 1; 2).

3.

x 2

y 3

z 5

.

6

3

5

Найти линейные комбинации заданных матриц:

2

1

2

1.

A λE,

5

3

3

A

.

1

0

2

2

1

0

3 1

2

2.

4A

3

4 2

2 1

3

5B, A

, B

.

3

1 5

0 2

4

7

2

3 4

2

1

3

1

3.

3A

0

2 1 1

7

1

0 4

4B, A

, B

.

5

3 2 0

8

2

1 5

4.

2A

1

2 3

B

2 3 0

3B, A

0

,

.

1 1

2 1 1

Найтипроизведенияматриц AB и BA (еслионисуществуют):

5.

3

2

3

4

A

5

, B

5

.

4

2

3

1

6. A 4

0 2

3 1 , B

1

.

5

2

1

2

1

3

7.

2

2

A

3

, B

.

4

1

0

1

2

,

2

6

8. A

3

6

B

1

3

.

Найти значение матричного многочлена f ( A) :

9.

f x 2x2

5x 9,

1

2

A

3

.

0

10.

f x 3x3 x2 2,

A

1

5

0

.

3

1

2

0

11.

f (x) 3x

2

5х 2,

A

0

2

1

.

2

1

4

1

0

0

12.

f x x

3

6x

2

9x

4,

0

2

1

A

.

0

1

4

Проверить, коммутируют ли матрицы А и В:

13.

1

2

,

B

2

3

A

4

4

.

1

1

14.

1

3

,

B

1

1

A

1

3

.

2

2

1 0

0

3 0

0

15.

0

3

0

0

4

0

A

и B

.

0

0

2

0

0

2

1

2

1

2

0

3

16.

0

1

3

2

4

A

и B 1

.

1

2

4

4 1

2

Транспонировать следующие матрицы:

3

0

1

0

17.

A

18.

A

3

.

2 .

2

5

5

1

Вычислить произведения AAT и

AT A при заданной матри-

це А:

1

1

2

2

19.

A

.

20.

A

3

0

.

3

2

4

0

21.

A

1

2

1

3

22.

A 1

2

3

4 .

4

1

5

.

1

Привести к ступенчатому виду матрицы:

2 3

2

2 3

2

3

23.

3

1

1

24.

3

1

1

2

.

.

1 5

5

1 5

5

4

1

3 1

13

1 1 1

1 1 7

3

1

7

9

3

2

1

1

3

2

25.

.

26.

.

1 2 0

10

0 1 2

2 6 23

2

1 5

5

5 4 3

3 1 12

Задачи для домашнего задания

Найти линейные комбинации заданных матриц:

27.

3A 2B,

1

2

0

1

A

3

4

, B

2

.

1

28.

2A 5B,

0

2

4

B

0 5

10

A

6

4

0

,

15 10

0

.

29.

A λE,

2

3

A

.

3

2

1 2

5 3

0 2

7 5

30.

4A 7B,

2

0

3

1

,

8 1

3

0

A

B

.

5 1

0 4

4 2

2

5

Найти произведения матриц АВ и ВА (если это возможно):

31.

1

2

B

0

1

A

3

4

,

2

.

1

5

A 1

0 ,

3

32.

2

3

B

.

4

1

2

0

3

4

33.

3

A

1

, B

.

2

1

5

Ответы

2 λ

1

2

1.

5

3 λ

3

.

1

0

2 λ

7

9

10

2.

22

11

23 .

12

6

40

29

10

3

8

3.

28

2

3

13

.

17

1

10

20

4.

4

13

6

6

5

1

.