Линейная алгебра для студентов-машиностроителей. В 2 частях. Ч.1. Учебное пособие

Министерство науки и высшего образования Российской Федерации

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ПЕТРА ВЕЛИКОГО

Институт физики и математики

Кафедра высшей математики

Р. В. Давыдов

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ДЛЯ СТУДЕНТОВМАШИНОСТРОИТЕЛЕЙ

Часть 1

Учебное пособие

Санкт-Петербургский политехнический университет Петра Великого

Санкт-Петербург

2024

Ministry of Science and Higher Education of the Russian Federation

PETER THE GREAT ST. PETERSBURG

POLYTECHNIC UNIVERSITY

Institute of Physics and Mechanics

Department of Higher Mathematics

R. V. Davydov

LINEAR ALGEBRA

FOR MECHANICAL ENGINEERING

STUDENTS

Part 1

Training manual

Peter the Great

St.Petersburg Polytechnic

University

Saint Petersburg

2024

5

ПРЕДИСЛОВИЕ

Учебное пособие представляет собой конспект лекций вводного модуля в дисциплину «Линейная алгебра» для студентов 1-го курса бакалавриата. Представлены сведения о числовых множествах, элементы курса общей алгебры, архитектуры компьютера, а также сведения о матрицах и работе с ними. Такое сочетание позволяет формироватьустудентовмеждисциплинарныесвязииориентироваться на практический подход к использованию теоретических знаний.

В первую очередь пособие предназначено для студентов машиностроительных специальностей, где линейная алгебра используется в основном не для теоретических расчетов, а для вычислений на компьютере при проектировании и моделировании сложных технических систем и механизмов, а также при создании управляющих программ для них. Потребность в нем возникла потому, что классическое глубокое изложение материала, как это дается для физико-математических специальностей (а точнее, его урезанный засчетотсутствиядоказательствмногихтеоремвариант),здесьнеэффективно: студенты часто имеют недостаточную школьную математическую подготовку, а времени для раскрытия дисциплины оченьмало,инекогданаверстыватьупущенное.Крометого,игнорируетсяразвитиевычислительнойтехникизапоследниеполвека, а оно минимизирует необходимость проведения вручную различных операций при решении задач. Поэтому студентам скучно на лекциях, и пропадает практическая ценность получаемых знаний.

Материал пособия нацелен на любознательных студентов: представлено более 50 источников литературы, среди которых как проверенные временем учебники, так и статьи на современные темы. Основная терминология приведена и на русском, и на английском языках.

6

Г л а в а 1

ЧИСЛА

1.1. Числовые множества

Вначале вспомним некоторые понятия теории множеств [1]. Множество (отангл. set)–совокупностьэлементов,рассматри- ваемых как единое целое. Элементами множества могут быть как реальные объекты, так и абстрактные, например числа. В последнем случае множество называется числовым(от англ. number set).

Под операцией в множестве (от англ. set operation) понимают любое правило, по которому из любых двух элементов множества получают некоторый элемент этого же множества.

Числовые множества имеют свои характеристики, одна из которых – деление по числу элементов в них на конечные и бесконечные множества. Приведем наиболее известные примеры бесконечных числовых множеств.

– множество натуральных чисел (от лат. naturalis – «естественный», от англ. natural numbers). Это числа, которые возникаютприсчете:1,2,3,…или0,1,2,3,….Врусскоязычнойлитературе чаще встречается первый вариант. Любые два таких числа можно складывать и умножать, но операции вычитания и деления здесь доступны не всегда, поскольку их результату тоже надо оставаться в множестве .

– множество целых чисел (от нем. Zahlen – «числа», от англ. integer numbers), являющихся совокупностью нуля, натуральных чисел, а также противоположных им (взятых со знаком «минус»). На этом множестве помимо операций сложения и умножения со всеми его элементами допустима операция вычитания.

– множество рациональных чисел (от англ. ratio – «отношение», и quotient – «частное»), которые представляют собой обыкновенные дроби, возникающие из-за необходимости производить операции с частями целого. На языке математических символов

это множество записывают так: = m,m , n .

n

7

Однакосуществуетбесконечномногочисел,непредставимыхв виде обыкновенной дроби (например, 2, π ,e). Они называются

иррациональными (от англ. irrational) и обозначаются .

Пример 1.1. Доказать, что число 2 не является рациональным. Решение. Доказательство будем вести от противного – предположим, что оно является рациональным. Тогда2 представимо в виде

2 = mn , m , n .

Если у числителя и знаменателя есть общие множители, то вначале сократим на них данную дробь. После этого у m и n не останется общих делителей (кроме ± 1). Такие пары целых чисел назы-

ваются взаимно простыми (от англ. coprime).

Умножим обе части равенства на n ≠ 0 и возведем их в квадрат: 2n= m; 2n2 = m2.

Число 2n2 целое и содержит в своем разложении двойку, следовательно, оно четное. Но тогда и m2 тоже четное, так как оно ему равно. Отсюда следует, что m делится без остатка на 4:

2n2 2 m2 2 m 2 m2 4.

Но из равенства 2n2 = m2 следует, что m2 4 2n2 4 n2 2 n 2. Такимобразом,уm и nестьобщийделитель–2,чегонедолжно было быть после сокращения. Получаем противоречие, которое

возникаетиз-запредположения–представления2 ввидекакогото рационального числа. Отсюда делаем вывод, что подобрать такие m и n нельзя и 2 не является рациональным числом.

Как рациональные, так и иррациональные числа очень часто можно обнаружить на числовой прямой: между любыми двумя числами можно найти бесконечно много и рациональных, и иррациональных чисел. Таким образом, можно с любой точностью приблизить рациональным числом любое иррациональное число [2]. А вот понять, является число рациональным или нет, иногда очень сложно. Например, до настоящего времени неизвестно, является ли число π + e или π/e иррациональным [3].

Объединение и в единое множество позволяет охватить обе ситуации и получить новое множество – действительных (веще-

ственных) чисел (от англ. real) = .

8

Определить можно разными способами, опираясь на рациональные числа [4]. На множестве можно вести работу с непрерывными геометрическими и физическими величинами. Геометрически его можно сопоставить прямой, точки которой соответствуют элементам множества. Кроме того, можно дополнить множество особым элементом ∞ (или двумя +∞ и – ∞) и правилами работы с ним. Такое множество обозначается и

в первом случае называется проективно-расширенной числовой пря- мой, а во втором – аффинно-расширенной числовой прямой.

Арифметические операции с числами в проводят так же, как и в . Рассмотрим, что получается, если в них участвует ∞:

a±∞ =∞±a =∞ (a ≠ ∞); a ∞ = ∞ a = ∞ (a ≠ 0);

∞a =∞, ∞a =0 (a ≠ ∞); a0 =∞ (a ≠ 0).

У операций ∞ ± ∞, 0 ∞, ∞ 0, ∞∞, 00 результат не определен.

Видно, что для проективно-расширенной числовой прямой возможно деление ненулевых чисел на нуль.

При работе в аффинно-расширенной числовой прямой для любого вещественного числа x полагают выполненным неравенство –∞ < x < +∞. Здесь сохраняется отношение порядка, имеющееся в , и появляется максимальный (+∞) и минимальный (–∞) элемент, чего в нет.

Длявещественныхчиселиэлементов+∞ и –∞ определеныследующие арифметические действия и возведение в степень:

a±∞=±∞+a =±∞ (a ≠ ∞); a(±∞)=±∞ a =±∞ (a (0,+∞]); a(±∞)=±∞ a = ∞ (a [−∞,0)); ±∞a =0 (a );

9

±∞a = ±∞ (a (0,+∞)); ±∞a = ∞ (a (−∞,0));

a+∞ = +∞ (a >1); a+∞ =0 (0≤a<1); a−∞ = +∞ (0<a<1); a−∞ =0 (a >1);

(+∞)a = +∞ (a >0);

(+∞)a =0 (a<0).

Уопераций ±∞±∞, 00 ,1±∞,0 ±∞,∞−∞,(±∞)0 ,00 результат не опре-

делен.

Результат операции a0 , где a ≠ 0, здесь не определен. Однако

еслимыработаем,например,толькоснеотрицательными(илинеположительными)числами,тодопустимосчитать,что a0 = +∞ (или,

1.2. Алгебраические структуры

Однойизважнейшихзадачалгебрыявляетсяизучениетакназыва-

емыхалгебраическихструктур (отангл.algebraicstructure)–множеств с определенными в них операциями. В принципе можно рассматривать любые операции в любых множествах (необязательно числовых). Однако лишь немногие алгебраические структуры представляют реальный интерес. Кроме того, важны в основном те их свойства, которыемогутбытьвыраженывтерминахзаданныхопераций.

Важным понятием здесь является изоморфизм (от англ. isomorphism) – соотношение между математическими объектами, выражающее общность их строения [5].

10