Линейная алгебра для студентов-машиностроителей. В 2 частях. Ч.1. Учебное пособие

Упражнение 3.7. Найти ранг матрицы A методом окаймляющих миноров:

Упражнение3.8.НайтирангматрицыA спомощьюэлементарныхпреобразований:

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1.Филимоненкова Н. В. Множества и отображения. Интенсивное введение в математический анализ для студентов технических вузов / Н.В.Филимоненкова,П.А.Бакусов.–СПб.:Лань,2022.–180с.[Элект-

ронный ресурс]. URL: https://e.lanbook.com/book/209801.

2.New Proof Settles How to Approximate Numbers Like Pi | Quanta Magazine [Электронный ресурс]. URL: https://www.quantamagazine.org/ new-proof-settles-how-to-approximate-numbers-like-pi-20190814/.

3.e – from Wolfram MathWorld [Электронный ресурс]. URL: https:// mathworld.wolfram.com/e.html.

4.Ильин В. А. Математический анализ. В 2 кн. Кн. 1, ч. 1 : учебник для вузов/В.А.Ильин,В.А.Садовничий,Б.Х.Сендов.–М.:Юрайт,2023.– 324 с. [Электронный ресурс]. URL: https://urait.ru/book/matematicheskiy- analiz-v-2-ch-chast-1-v-2-kn-kniga-1-513351.

5.Винберг Э. Б. Курс алгебры / Э. Б. Винберг ; МЦНМО. – М., 2021. – 592 с. [Электронный ресурс]. URL: https://biblio.mccme.ru/node/123973.

6.Шевелев Ю. П. Дискретная математика : учеб. пособие / Ю. П. Шевелев. – СПб. : Лань, 2022. – 592 с. [Электронный ресурс]. URL: https:/ e.lanbook.com/book/206510.

7.Доступно о криптографии на эллиптических кривых [Электронный ресурс]. URL: https://habr.com/ru/articles/335906/.

8.Тыртышников Е. Е. Матричный анализ и линейная алгебра : учеб. пособие/Е.Е.Тыртышников.–М.:Физматлит,2007.–480с.[Электрон-

ный ресурс]. URL: https://e.lanbook.com/book/2352.

71

9.Потапов А. П. Линейная алгебра и аналитическая геометрия : учебник и практикум для вузов / А. П. Потапов. – М. : Юрайт, 2023. – 309с.[Электронныйресурс].URL:https://urait.ru/book/lineynaya-algebra- i-analiticheskaya-geometriya-511926.

10.Самая красивая теорема математики: тождество Эйлера [Элект-

ронный ресурс]. URL: https://habr.com/ru/post/454136/.

11.Касперски К. Могущество кодов Рида–Соломона, или Информация,воскресшаяизпепла/КрисКасперски[Электронныйресурс].URL: https://konyakov.ru/pubs/books/kris-kaspersky-r_i_p/kris-kaspersky-04.pdf.

12.Коды Рида–Соломона. В 2 ч. Ч. 2. Арифметика полей Галуа [Элек-

тронный ресурс]. URL: https://habr.com/ru/company/yadro/blog/341506/.

13.Шаманов А. П. Системы счисления и представление чисел в ЭВМ : учеб. пособие / А. П. Шаманов. — Екатеринбург : Изд-во Урал.

ун-та, 2016. – 52 с. [Электронный ресурс]. URL: https://elar.urfu.ru/bitstre am/10995/40676/1/978-5-7996-1719-6_2016.pdf.

14.Теория цвета в цифрах [Электронный ресурс]. URL: https://habr. com/ru/post/189766/.

15.KiB, Kib, KB, Kb [Электронный ресурс]. URL: https://habr.com/ ru/post/193256/.

16.A Media-Aware Cloud Storage Acceleration Layer (CSAL) Cache Solution [Электронный ресурс]. URL: https://cdrdv2-public.intel.com/765062/ a-media-aware-cloud-storage-acceleration-layer-cache-solution-with-intel- optane-ssds-011623.pdf.

17.Оперативная память в 2023 году: полный разбор [Электронный ре-

сурс]. URL: https://dtf.ru/hard/1770254-operativnaya-pamyat-v-2023-godu- polnyj-razbor.

18.Basics of NAND Flash-Based SSDs [Электронный ресурс]. URL: https://safari.ethz.ch/projects_and_seminars/spring2022/lib/exe/fetch. php?media=pns_modern_ssds_fs2022_2nd_after_meeting.pdf.

19.Магия жёстких дисков: сколько терабайтов поместится в 3,5

дюйма? [Электронный ресурс]. URL: https://3dnews.ru/1094713/magiya- gyostkih-diskov.

20.Ленточные накопители: фантастические твари мира архивирова-

ния [Электронный ресурс]. URL: https://habr.com/ru/companies/x-com/ articles/667542/.

21.Оптимизация кода: память [Электронный ресурс]. URL: https:// habr.com/ru/post/312078/.

22.Зачем процессорам нужен кэш и чем отличаются уровни L1, L2, L3 [Электронный ресурс]. URL: https://habr.com/ru/company/vdsina/ blog/515660/.

72

23.Lecture 10: Memory Hierarchy – Memory Technology and Principal of Locality CSCE 513 Computer Architecture [Электронный ресурс]. URL: https://passlab.github.io/CSCE513/notes/lecture10_MemTechLocality.pdf.

24.РазработканаPCипроизводительность—MemoryLatency[Элект-

ронный ресурс]. URL: https://habr.com/ru/post/43905/.

25.Что ученые должны знать о железе для написания быстрого кода

[Электронный ресурс]. URL: https://habr.com/ru/post/529204/.

26.Логическая организация кэш-памяти процессора [Электронный ресурс]. URL: https://habr.com/ru/articles/179647/.

27.Endianness. Little Endian vs Big Endian [Электронный ресурс]. URL: https://getkt.com/blog/endianness-little-endian-vs-big-endian/.

28.Представление чисел в ЭВМ [Электронный ресурс]. URL: https:// al.cs.msu.ru/static/classes/NumberRepresent.pdf.

29.Computer Number Systems and Arithmetic [Электронный ресурс]. URL: https://johnloomis.org/ece314/notes/carch/node3.html.

30.Arbitrary-Precision Arithmetic – Algorithms for Competitive Programming [Электронный ресурс]. URL: https://cp-algorithms.com/ algebra/big-integer.html#division-by-short-integer.

31.Компактная реализация RSA для встраиваемых применений

[Электронный ресурс]. URL: https://habr.com/ru/post/243425/.

32.Чтонужнознатьпроарифметикусплавающейзапятой[Электрон-

ный ресурс]. URL: https://habr.com/ru/post/112953/.

33.What every computer scientist should know about floating-point arithmetic[Электронныйресурс].URL:https://ece.uwaterloo.ca/~dwharder/ NumericalAnalysis/02Numerics/Double/paper.pdf.

34.IEEE Arithmetic (oracle.com) [Электронный ресурс]. URL: https:// docs.oracle.com/cd/E19957-01/806-3568/ncg_math.html#765.

35.Flush-to-zero behavior in floating-point arithmetic [Электронный ресурс]. URL: https://stackoverflow.com/questions/2083550/flush-to-zero- behavior-in-floating-point-arithmetic.

36.IEEE SA – IEEE 754-2019 [Электронный ресурс]. URL: https:// standards.ieee.org/ieee/754/6210/.

37.Summarizing CPU and GPU Design Trends with Product Data [Электронный ресурс]. URL: https://doi.org/10.48550/arXiv.1911.11313.

38.FPGA. Разбираемся, как устроены программируемые логические схемы и чем они хороши [Электронный ресурс]. URL: https://xakep. ru/2018/11/15/fpga/.

39.16-, 8- и 4-битные форматы чисел с плавающей запятой [Элект-

ронный ресурс]. URL: https://habr.com/ru/companies/wunderfund/articles/776496/.

73

Приложение

РЕШЕНИЯ К УПРАЖНЕНИЯМ

Упражнение 1.1

Сведем задачу к примеру 1.1 на иррациональность 2. Для этого возведем число 2 +3 в квадрат: (2 +3)2 =5+26. Если доказать, что

данное число иррациональное, то и исходное число тоже не является рациональным. Это легко доказать от противного – предположим, что оно является рациональным и представимо в виде

2 +3 = mn , m , n .

Но тогда квадрат данного числа – дробь m2 , которая тоже является n2

рациональным числом. Получаем противоречие.

Легко понять, что достаточно доказать иррациональность 6 (умножение на 2 и добавление 5 рациональным его не сделает). Докажем это аналогично 2 .Предположим,что 6 являетсярациональным.Тогдаоно представимо в виде

6 = mn , m, n Z,n≠ 0.

Еслиучислителяизнаменателяестьобщиемножители,товначалесократим на них эту дробь. В результате у m и n не останется общих делителей (кроме ±1).

Теперь умножим обе части равенства на n ≠ 0 и возведем их в квадрат:

6n= m 6n2 = m2 .

Число 6n2 целое и содержит в своем разложении двойку, следовательно, оно четное. Но тогда и m2 тоже четное, так как оно ему равно. Отсюда

следует, что m делится без остатка на 4: 6n2 = m2; 6n2 2 m2 2. Тогда

m2 2 m 2 m2 4.

Но из равенства 6n2 = m2 следует, что m2 4 6n2 4 n2 2 n 2. Таким образом, у m и n есть общий делитель – двойка, чего не должно

былобытьпослесокращения.Получаемпротиворечие,котороевозникает из-за изначального предположения – представления 6 в виде какогото рационального числа. Следовательно, подобрать m и n, не имеющих

75

общих делителей, нельзя и 6 не является рациональным числом. Тогда и исходное число 2 +3 не является рациональным.

Упражнение 1.2

Для того чтобы решить задачу, необходимо проверить, что:

a+n (b+n c)=(pn+(qn+rb + sn+rc )mod n)mod n=

=(ra +(rb +rc )mod n)mod n=(ra +rb +rc )mod n=

=((ra +rb )mod n+rc )mod n=

=((pn+ra +qn+rb )mod n+ sn+rc )mod n=(a+n b)+n c.

Остаток,равныйнулю,являетсянулевымэлементом:a+0=a, a n. Для любого элемента a n существует такой элемент n−a n (противоположный элемент), что a+(n−a)=(a+n−a)mod n=0;

n

2) свойства операций умножения по модулю остаются такими же, как и для целых чисел:

an(b+n c)=((pn+ra )((qn+rb + sn+rc )mod n))mod n=

=(ra (rb +rc ))mod n=(ra rb +ra rc )mod n=

=(ra rb )mod n +(ra rc )mod n =a n b +a n c;

(a+n b)nc =((pn+ra +qn+rb )mod n(sn+rc ))mod n=

=((ra +rb )mod nrc )mod n=((ra +rb )rc )mod n=

=(ra rc )mod n+(rb rc )mod n=anc+bnc.

Таким образом, n – кольцо. Покажем, что оно коммутативное, ассоциативное и с единицей (им является остаток 1):

76

(anb)nc =(((pn+ra )(qn+rb ))mod n (sn+rc ))mod n=((ra rb )mod n rc )mod n=

=(ra rb rc )mod n=(ra (rb rc )mod n)mod n=(a ((b c)mod n))mod n=an(bnc);

=(a ((b c)mod n))mod n=an(bnc); a 1=1 a =a.

nn

Полем это кольцо является не всегда. Всякий ненулевой элемент поля

должен быть обратим: a n,a ≠ 0 a−1 :a a−1 =1. Данное условие вы-

n

полняется тогда и только тогда, когда n – простое число.

Кольцо n – это пример конечного (по количеству элементов) кольца, а для простого n –конечногополя.Конечные поляиграютважнуюрольв теории кодирования, для обнаружения и исправления ошибок при передаче или хранении информации [11, 12].

Упражнение 1.3

Усопряженных комплексных чисел действительные части равны,

амнимые по знаку противоположны. Используя это, составим систему уравнений:

2x2 = 2 x = ±1 y =2− x2 =1.

MATLAB: clear

syms x y assume(x,’real’) assumeAlso(y,’real’) z1 = x^2 + 4*y - y*1i; z2 = 4+y - 2/1i - x^2*1i;

S = solve([real(z1) == real(z2), imag(z1) == -imag(z2)],[x y]); [S.x S.y] % найденные пары x и y, записанные построчно

77

Упражнение 2.1

Представим число 0,16525 в двоичной системе счисления:

0,15625=0,125+0,03125=1 2−3 +0 2−4 +1 2−5 =1,012 2−3.

В числах одинарной точности порядок состоит из 8 бит, мантисса – из 23 бит. Так как у нас положительное число, бит знака равен нулю. Порядок равен –3, но нужно учесть смещение (размером 127 для одинарной точности). Получим −3+127=12410 =011111002.

Мантиссу составляем как 101 из 1,012 и записываем все, кроме первой единицы(явнонехранится),остальныебитызаполняемнулями(рис.П.1).

Рис. П.1. Представление числа 0,15625

MATLAB: clear format long

a = single(0.15625);

a_hex = num2hex(a); % встроенная функция выдает результат в шестнадцатиричной системе счисления

a_bin = '' '';

for i = 1:length(a_hex) % конвертируем в двоичную систему a_bin = a_bin + dec2bin(hex2dec(a_hex(i)), 4);

end a_bin

Упражнение 2.2

Сложение:

δ(a+b)= ∆(aa++bb);

a+b δ(a+b)= ∆(a+b)= (a+b)−(a+b) = (a−a)+(b −b) ≤

78

Умножение:

a b δ(a b)= ∆(a b)= a b −a b = (a−a) b+(b −b)a+(a−a) (b −b) ≤

b = b−(b−b) x−y ≥≥x − y b − b−b = b −∆b = b (1−δ(b))

79

Упражнение 2.3

Вычислим первые 60 значений функции f (k)= rf (k −1)(1− f (k −1)),

k , f (0)=c 0;1 ,ипостроимееграфик,атакжеграфикпогрешности

вычислений.

MATLAB: clear

N = uint32(60); k_range = 1:N; c_single = single(0.22);

f_num_single = zeros(1, N, 'single'); f_num_single(1) = single(4) * c_single * (1 - c_single); c_double = double(0.22);

f_num_double = zeros(1, N);

f_num_double(1) = 4 * c_double * (1 - c_double); c_vpa = vpa(0.22);

f_exact = @(k,c) sin(2^vpa(k) * asin(sqrt(c)))^2; f_exact_k = vpa(zeros(1, N));

f_exact_k(1) = f_exact(1, c_vpa); rel_error_single = zeros(1, N); rel_error_double = zeros(1, N);

rel_error_single(1) = abs(f_num_single(1) - f_exact_k(1)) / abs(f_exact_k(1)); rel_error_double(1)=abs(f_num_double(1)-f_exact_k(1))/abs(f_exact_k(1)); for k = 2:N

f_num_single(k) = single(4) * f_num_single(k-1) * (1 - f_num_single(k-1)); f_num_double(k) = 4 * f_num_double(k-1) * (1 - f_num_double(k-1)); f_exact_k(k) = f_exact(k, c_vpa);

rel_error_single(k)=abs(f_num_single(k)-f_exact_k(k))/abs(f_exact_k(k)); rel_error_double(k)=abs(f_num_double(k)-f_exact_k(k))/abs(f_exact_k(k)); end

figure

plot(k_range,f_num_single,'LineStyle,'-','DisplayName','Одинарнаяточность') hold on

plot(k_range,f_num_double,'LineStyle','-.','DisplayName','Двойнаяточность') plot(k_range,f_exact_k,'LineStyle','--','DisplayName','Длинная арифметика') xlabel('k')

ylabel('f(k)') grid on

legend('show', ''Location'',''northeastoutside'') figure

80