Линейная алгебра для студентов-машиностроителей. В 2 частях. Ч.1. Учебное пособие

Получим рекуррентную формулу:

Dn+1 = −a1 a2 … an−1 +an Dn =

= −a1 a2 … an−1 +an (−a1 a2 … an−2 +an−1 Dn−1) =

Действуя так и дальше, в конечном счете дойдем до D2, которое равно –1. Раскрыв скобки, получим сумму произведений из всех a1,…, an, кроме одного в каждом, умноженном на –1.

Витоге запишем ответ:

=−a1 a2 … an a11 + a12 +…+ a1n .

61

3.4. Обратная матрица

Обратная матрица к квадратной матрице A – это квадратная матрица, для которой выполнено AA−1 =E.

Здесь можно провести аналогию с обратными числами. Рассмотрим, например, число 5 и обратное ему число 15 =5−1. Произ-

ведениеданныхчиселравноединице:5 5–1 =1.Сматрицамивсето же самое.

Обратная матрица обозначается надстрочным индексом –1. ЕслиуквадратнойматрицыA существуетобратнаяматрицаA–1,

то их умножение можно переставить: A−1A = AA−1 =E. Чтобы проверить, правильно ли найдена обратная матрица, нужно найти

произведение A−1A либо A A−1 и убедиться в том, что получилась единичная матрица E.

Для произвольной квадратной матрицы A обратная матрица не всегда существует, для этого должно быть выполнено условие A ≠ 0.

Рассмотрим два метода нахождения обратной матрицы: с по-

мощью элементарных преобразований (метод Гаусса–Жордана) и ал- гебраических дополнений.

Существуют следующие элементарные преобразования над строками (и аналогично над столбцами) матрицы:

1.Строку матрицы можно умножить (разделить) на любое число, отличное от нуля.

2.Строки матрицы можно переставлять местами.

3.К строке матрицы можно прибавить другую строку, умноженную на число.

Перечисленные преобразования позволяют привести матрицу

кступенчатому виду:

–все ненулевые строки (имеющие, по крайней мере, один ненулевой элемент) расположены над всеми нулевыми строками;

–ведущий элемент (первый ненулевой элемент строки при отсчете слева направо) каждой ненулевой строки расположен строго правееведущегоэлементавстроке,находящейсявышерассматриваемой.

62

Нахождение обратной матрицы с помощью элементарных преоб-

разований. Вначале следует записать квадратную матрицу A в тандеме с единичной матрицей: (A|E). Вертикальная черта внутри

матрицы не несет никакого математического смысла – это просто разделение для удобства оформления.

Затем с помощью элементарных преобразований над строками необходимо получить единичную матрицу слева, при этом справа образуется нужная нам обратная матрица:

(A|E)→…→(EA| −1).

Вместо стрелочки можно использовать знак « ». Пример 3.11. Найти обратную матрицу к

с помощью элементарных преобразований.

Решение. Элементарные преобразования над строками будем обозначать римскими цифрами:

1.Ко второй строке прибавили первую строку, умноженную на

–3, – запишем как II – 3I.

2.К первой строке прибавили вторую строку – запишем как

I + II.

3.Вторую строку разделили на –2 – запишем как II/–2. Таким образом,

MATLAB: clear

A = [1 2 3 4]; inv(A)

63

Нахождениеобратнойматрицыспомощьюалгебраическихдопол-

нений. Рассмотрим квадратную матрицу A. Обратную матрицу A–1 можно найти по следующей формуле:

A−1 = A1 (A* )т ,

где A – определитель матрицы A; (A* )т – транспонированная

матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы.

Пример 3.12. Найти обратную матрицу к

Затем найдем алгебраические дополнения ко всем элементам:

64

MATLAB: clear

A = [2 0 2 -3 2 0 6 -2 4]; inv(A)

Видно,чтонахождениеобратнойматрицы–трудоемкийпроцесс, поэтому на практике без необходимости ее не ищут. А такая необходимость может потребоваться, например, для оценки характеристик различных объектов, в том числе систем линейных уравнений.

3.5. Ранг матрицы

Часто слово «ранг» ассоциируется с иерархией. В матрицах схожая ситуация. Варианты обозначений ранга: rang, rank, rg, r.

Ранг матрицы равен максимальному порядку ненулевого минора.

С минором мы уже сталкивались ранее, но здесь он состоит из чисел,которыенаходятсянапересеченииразличныхk-строкираз- личных k-столбцов матрицы. Число k называют порядком минора.

Нахождение ранга матрицы методом окаймляющих миноров. Вы-

бираемкакой-либоненулевойминорmr порядкаr матрицыA, рассматриваем миноры mr+1 порядка r + 1, содержащие (окаймляющие)минорmr:еслионивсенулевые,торангравенr,еслиимеется ненулевой минор mr+1, то необходимо рассмотреть его окаймляющие миноры и т. д.

Пример3.13.НайтирангматрицыA методомокаймляющихминоров:

65

Решение. Дана квадратная матрица «четыре на четыре», и, понятно, ее ранг не больше четырех. Поскольку в матрице есть ненулевые элементы, то ее ранг не менее единицы.

Проверку миноров второго порядка начнем с углового минора:

Перейдем к минору:

Значит, ранг матрицы не менее двух.

А что было бы, если бы этот минор оказался нулевым? Тогда нужно было бы рассмотреть минор из следующих элементов:

Принеобходимости(когдаполучаютоднинули)следуетпродолжить перебор миноров по аналогичной схеме: у первой и третьей строки; у первой и четвертой строки; у второй и третьей строки;

66

у второй и четвертой строки; у третьей и четвертой строки – до тех пор, пока не найдется минор, отличный от нуля.

Если все миноры второго порядка оказались нулевыми, то rank A =11.

Но в нашем случае уже на втором шаге обнаружен «хороший» минор, и теперь мы переходим к рассмотрению миноров третьего порядка, которые будут содержать этот минор:

Добавим к числам в квадратах отмеченные жирным шрифтом

Не помогло. Тогда рассмотрим следующие варианты:

Значит, ранг матрицы не менее трех. Если бы этот минор оказался равным нулю, то следовало бы вычислить еще один аналогичный определитель. Других миноров третьего порядка, которые

67

тоже оказался нулем, то ранг был бы равен двум.

На самом деле миноров третьего порядка больше, и рассматриваемый метод в данном случае позволяет сократить вычисления максимум до четырех определителей. Успех нас ждал на третьем шаге – ненулевой минор:

1 2 0

M3 = 2 4 −1. 1 0 2

Теперь он должен входить во все миноры более высокого порядка.Такой,совпадающийсопределителемматрицы,осталсятолько один:

у него строки 2 и 3 пропорциональны.

Такимобразом,максимальныйпорядокненулевогоминораравен трем, значит, rankA =3.

MATLAB: clear

A = [1 2 0 5 2 4 -1 0 -2 -4 1 0 1 0 2 1]; rank(A)

Нахождение ранга матрицы с помощью элементарных преобразо-

ваний. Элементарные преобразования над строками и столбцами не изменяют ранг матрицы. Для доказательства этого достаточно убедиться в том, что в результате элементарных преобразований нулевойопределительостаетсянулевым,аненулевой–ненулевым.

68

Перестановка строк или столбцов матрицы изменяет только знак определителя. При умножении строки (столбца) матрицы на ненулевое число определитель умножается на это число. Определительнеизменяется,есликстроке(столбцу)прибавляетсядругая строка (столбец).

Получается, что в результате элементарных преобразований нулевой минор не сможет стать ненулевым и наоборот.

Приведя матрицу элементарными преобразованиями к ступенчатому виду, считать миноры очень легко. Если в матрице есть (илипоявились)пропорциональные(какчастныйслучай–одина- ковые) строки, то можно удалить из матрицы все эти строки, кроме одной. Нулевую строку тоже можно удалить.

Пример 3.14. Найти ранг матрицы A с помощью элементарных преобразований:

В приведенной к ступенчатому виду матрице две строки, и сразу видно, что rank A = 2.

MATLAB: clear

A = [3 1 -1 -2 8; 7 1 -2 -1 12; 11 1 -3 0 16]; rank(A)

69

УПРАЖНЕНИЯ

Упражнение 3.1. Умножить матрицу A на матрицу B:

строкелибостолбцу,приэтомиспользуянаиболеерациональныйспособ. Упражнение 3.3. Вычислить методом приведения к треугольному виду

Упражнение 3.4. Найти определитель n-го порядка:

Упражнение 3.5. Найти обратную матрицу к A с помощью элементарных преобразований:

Упражнение 3.6. Найти обратную матрицу к A с помощью алгебраических дополнений:

70