Линейная алгебра для студентов-машиностроителей. В 2 частях. Ч.1. Учебное пособие

Пусть M – множество с операцией , а N – множество с операцией ◊. Алгебраические структуры (M, ) и (N, ◊) называются изо-

морфными, если существует такое биективное отображение вида f :M → N (т. е. взаимно-однозначное соответствие между элементами этих множеств), что f (a b)= f (a)◊ f (b) для любых a, b ϵM.

В этом случае записывают (M, ) (N,◊). Отображение f называется изоморфизмом структур (M, )и (N, ◊).

Аналогично определяют изоморфизм алгебраических структур с двумя или большим числом операций.

Например, отображение f : → >0, которое ставит в соответствие элементу a→2a, является изоморфизмом множества всех действительных чисел с операцией сложения и множества положительных действительных чисел >0 с операцией умножения, так как 2a+b = 2a 2b. Здесь можно заменить 2 на любое другое положительное число, большее единицы. Отсюда делаем вывод, что между изоморфными алгебраическими структурами может существовать много изоморфизмов.

Прикладной пример можно взять из дискретной математики. Один из ее разделов – теория графов – посвящен изучению множеств точек, определенным образом соединенных между собой линиями (необязательно прямыми) и называемых графами [6]. Такие математические объекты нашли широкое применение при проектировании и описании коммуникационных сетей в различных областях науки и техники.

Два графа называются изоморфными, если вершинам одного графа можно сопоставить вершины другого графа так, чтобы соединенным вершинам первого графа соответствовали соединенные вершины второго графа, и наоборот. Иными словами, два графа изоморфны, если они «одинаковы» (с точностью до переименования вершин).

Проверка на изоморфность может потребоваться, например, для установления соответствия системы электрических соединений на печатной плате и в принципиальной электрической схеме, заданных своими топологическими моделями в виде графов, или

11

при поиске в базе данных химических соединений, подобных заданной молекуле, по ее структурной формуле (опять же представленной в виде графа).

Когда две алгебраические структуры изоморфны, то любое утверждение, формулируемое только в терминах заданных операций, будет справедливым в одной из этих структур тогда и только тогда, когда оно справедливо в другой. Таким образом, с точки зрения алгебры в принципе все равно, какую из изоморфных друг другу алгебраических структур изучать: все они являются различными моделями одного и того же объекта (хотя для решения задачи какая-то из них может оказаться удобнее).

Рассмотрим примеры алгебраических структур, связанных с числовыми множествами. Начнем с группы (от англ. group).

Группа–множествоA салгебраическойоперацией◊,длякоторого: 1) (a◊ b)◊ c =a◊(b◊ c), a,b,c A – ассоциативность операции; 2) в A существует такой элемент 0 (нейтральный), что

a◊ 0 =a, a A;

3) для любого элемента a ϵ A существует такой элемент –a ϵ A (обратный), что a◊(−a)=0.

Если еще выполнена коммутативность операции a◊ b=b◊ a,

a, b A, то такая группа называется коммутативной или абелевой. Легко понять, что в группе:

1)нейтральный элемент единствен. Иначе, если есть хотя бы два разных элемента 01 и 02, то 01 =01 ◊ 02 =02;

2)обратный элемент единственен. Иначе если есть хотя бы два разных элемента (–a)1 и (–a)2, то

(−a)1 =(−a)1 ◊ (a◊(−a)2 )=((−a)1 ◊ a)◊ (−a)2 =(−a)2 .

=0 =0

Кроме того, сумма произвольного числа (а не только трех) элементов не зависит от расстановки скобок, поэтому скобки обычно опускают.

Например,дляоперациисложениямножество неявляетсягруппой (нет обратного элемента), – тоже (нет нейтрального элемента), а множества , , являются группой; для операции умножения

12

множества и не являются абелевой группой (нет обратного элемента), –тоже(нетнейтральногоэлемента),амножества , ,если исключитьизнихчисло0,являютсяабелевойгруппой.

Разделобщейалгебры,изучающийгруппы,называетсятеорией групп.Группыприменяютсякаквразличныхобластяхматематики, таки,например,вкриптографии(см.подробнее,например,в[7]).

В отличие от групп кольца и поля (от англ. ring и field) – это алгебраические структуры с двумя операциями, обычно называемыми сложением и умножением. Их аксиомы, как и аксиомы абелевой группы, подсказаны свойствами операций над действительными числами. Существуют и другие алгебраические структуры, похожие на перечисленные [8].

Кольцо – множество К с алгебраическими операциями + и ×, для которого:

1)при сложении К есть абелева группа;

2)a (b+c)=a b+a c и (a+b) c =a c+b c, a, b, c K.

Если выполнено еще и 3) a b=b a, a, b K, то кольцо называ-

ется коммутативным, а если 4) (a b) c =a (b c), a, b, c K, то

ассоциативным;

5) в К существует такой элемент 1 (единица), что a 1=1 a =a, a K. Такое кольцо называется кольцом с единицей.

Поле–коммутативноеассоциативноекольцосединицей,внем всякий ненулевой элемент обратим (т. е. для него есть элемент, произведение которого с ним равно единице).

Множества , , являются коммутативными ассоциативными кольцами с единицей относительно обычных операций сложения и умножения. Примеры полей – множества и . А вот им не является, в нем обратимы только ±1.

1.3. Поле комплексных чисел

Кроме изучения алгебраических структур еще одной из главных задач алгебры является решение уравнений. Но в каких числах? Если рассматривать только множество натуральных чисел , то, например, уравнение 3 + x = 1 решений на нем не имеет.

13

Дополнив множество нулем и отрицательными числами, добиваются того, что на множестве целых чисел любое уравнение вида a + x = b, где a, b , имеет решение (причем единственное). Но, например, уравнение 4 x = 3 решений в не имеет.

Дополним множество дробными числами до множества рациональных чисел . Здесь всегда будет существовать единственное решение линейного уравнения вида ax + b = c, где a, b, c , еслитолькоa ≠ 0.Однако,например,уравнениеx2 –2=0решений в не имеет.

Пополнив множество рациональных чисел числами иррациональными,получимдварешениявдействительныхчислах иэтого уравнения, но не любого квадратного! Так, не существует действительногочисла,удовлетворяющегоуравнениюx2 +1=0.Более того, естьещекубические уравненияипрочие,болеевысокой степени, для которых тоже хотелось бы, чтобы всегда были решения (а еще лучше, чтобы их число было предсказуемым).

Отсюда и возникла задача расширить поле действительных чисел так, чтобы в этом расширении подобные уравнения всегда имели решения. Помимо этого, было бы хорошо, чтобы такое расширение «наследовало» все свойства действительных чисел, т. е. в данном множестве операции должны подчиняться аксиомам коммутативности, ассоциативности и дистрибутивности. Такую задачу успешно решили, а такое расширенное множество чисел назвали комплексными числами (от англ. complex numbers).

1.3.1. Комплексные числа и арифметические операции, проводимые с ними

Комплексное число – это упорядоченная пара действительных чисел: z = (a; b), где a , b .

Упорядоченность здесь означает, что если a ≠ b, то пары (a; b) и (b; a)– разные комплексные числа.

Для того чтобы полноправно называть эти пары числами, нужно уметь их складывать и вычитать, умножать и делить. Для этого нужносформулироватьзаконы(аксиомы)данныхдействий,атакже ввести понятие равенства таких пар [9]:

14

1. Пары (a; b)и (c; d)считаются равными тогда и только тогда, когда равны их соответствующие компоненты:

(a; b)=(c; d) a =c,

b=d.

2. Суммой пар (a; b) и (c; d) называется пара (a+c; b+d), т. е.

(a; b)+(c; d)=(a+c; b+d).

3. Произведением пар (a; b) и (c; d) называется пара

(ac−bd; ad +bc), т. е. (a; b)(c; d)=(ac−bd; ad +bc).

4.Пара (a; 0) отождествляется с действительным числом a:

(a;0)=a.

Легкопроверить,чтоаксиома4непротиворечитобычнымдействиям над действительными числами. Отсюда следует, что действительныечисламожнорассматриватькакчастныйслучайкомплексных (с нулевой второй компонентой).

Обычные свойства действий над действительными числами сохраняются и при переходе к комплексным числам (за нуль принимается пара (0; 0), за единицу – пара (1; 0)):

1.Коммутативность сложения: (a; b)+(c; d)=(c; d)+(a; b).

2.Ассоциативность сложения: ((a; b)+(c; d))+(e; f )=(a; b)+

+((c; d)+(e; f )).

3.Свойство нуля при сложении чисел: (a; b)+0 =(a; b)+(0; 0)=

=(a; b).

4. Существование противоположного числа: (a; b)+(−a−b)=

=(0;0)=0.

5.Коммутативность умножения: (a; b)(c; d)=(c; d)(a; b).

6.Ассоциативность умножения: ((a; b)(c; d))(e; f )=(a; b)×

×((c; d)(e; f )).

7. Дистрибутивность: ((a; b)+(c; d))(e; f )=(a; b)(e; f )+

+(c; d)(e; f ).

8.Свойство единицы при умножении чисел: (a; b)1=

(a; b)1=(a; b)(1;0)=(a; b).

15

9. Существование обратного числа: если (a; b)≠ 0, то (a; b)−1 такое, что (a; b)(a; b)−1 =1.

После введения действий сложения и умножения комплексных чиселможноввестидействиявычитанияиделениякакобратныек действиям сложения и умножения: (a; b)−(c; d)=(a; b)+(−c; −d); (a; b):(c; d)=(a; b)(c; d)−1,(c; d)−1 ≠ 0. Теперь определены все четыре арифметических действия над комплексными числами, причем свойства этих действий аналогичны свойствам действий над действительными числами.

Множество действительных чисел является упорядоченным множеством(также,какимножества , , ),т.е.наданныхмножествах введены отношения «<» (меньше), «=» (равно) и «>» (больше). Множество комплексных чисел неупорядоченное. Это означает,чтокомплексные числа несравнимы,т.е.нельзяпонять,какое из чисел больше или меньше другого.

Множество всех комплексных чисел обозначим буквой :

={z =(a; b):a, b }.

Таккакдействительныечислаявляютсячастнымслучаемкомплексных чисел, то множество действительных чисел – подмножество множества комплексных чисел.

Первая компонента комплексного числа z называется действи-

тельной (вещественной) частью этого числа, она обозначается Re z

(от англ. real). Вторая компонента называется его мнимой частью, онаобозначаетсяImz (отангл.imaginary).Имнимая,идействительная части комплексного числа являются действительными числами.

Особо выделяют комплексное число i =(0;1), его называют

мнимой единицей. Мнимая единица обладает свойством i2 = –1, i2 =(0;1)(0;1)=(0 0−1 1;0 1+1 0)=(−1;0)= −1.

Теперь, вернувшись к уравнению x2 + 1 = 0 и переписав его в виде x2 = –1, легко понять, что у него есть два решения: x1,2 = ±i. Более того, два решения будет и для произвольного квадратного уравнения на множестве комплексных чисел (при нулевом дискриминанте они совпадают).

16

1.3.2. Алгебраическая форма записи комплексных чисел

Пусть z =(a; b)–комплексноечисло.Представимеговследую-

щем виде: (a; b)=(a;0)+(0; b)=a+b(0;1)=a+bi.

Записьz = a + biназываетсяалгебраическойформойкомплексного числа z, при этом a = Re z, b = Im z.

Комплексные числа вида z =(0; b)=bi называются чисто мни-

мыми числами, а z =(a; b)=a+bi и z =(a; −b)=a−bi – комплексно-

сопряженными (сопряженными) (от англ. complex conjugate).

Преимущество алгебраической формы записи состоит в том, что она упрощает арифметические действия с комплексными числами. На самом деле сложение, вычитание и умножение двух комплексных чисел, представленных в алгебраической форме, можно производить по обычным правилам перемножения действительных чисел:

(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i;(a+bi)−(c+di)=(a–c)+(b+d)i;

Такимобразом,полученытежерезультаты,чтобылиопределены аксиомами.

Отдельно необходимо рассмотреть деление комплексных чисел — оно выполняется умножением делимого на сопряженное к делителю, а затем упрощением знаменателя по формуле разности

17

MATLAB: clear

z1 = 13 + 1i;

z2 = 7 – 6i;

z1 + z2

z1 – z2

z1 * z2 z1/z2

Возьмем на плоскости прямоугольную систему координат XOY. Тогдакаждоекомплексноечислоz =x +yi можетбытьизображенона этой плоскости точкой M = (x; y), координатами которой являются

действительная и мнимая компоненты данного числа. Очевидно, что и каждой точке на плоскости соответствует определенное комплексноечисло.Всвязисэтимрассматриваемуюплоскостьназываютком- плексной плоскостью. Действительные числа изображаются точками на осиOX, а чисто мнимые числа – точками на осиOY. Поэтому ось абсцисс называют действительной (вещественной) осью, а ось орди-

нат–мнимой осью.Началокоординатсоответствуетчислу0 =(0; 0).

1.3.3. Тригонометрическая и показательная форма записи

Любое комплексное число (кроме нуля) z = a + bi можно запи-

сать в тригонометрической форме: z = z (cosϕ+isinϕ), где z – мо-

дуль комплексного числа; ϕ – аргумент комплексного числа.

У нуля модуль равен нулю, а аргумент не определен. Для всех остальных комплексных чисел модуль положительный и аргумент может быть определен.

Изобразим на комплексной плоскости число z = a + bi (пусть

a >0,b>0).

Модулем комплексного числа z называется расстояние от начала координат до соответствующей точки комплексной плоскости.

На рис. 1.1 модуль – это длина отрезка, который на чертеже обозначен красным цветом. Модуль комплексного числа z ( от англ. absolute value, или modulus) обозначают z или r.

Используя теорему Пифагора, можно легко вывести формулу для его нахождения: z = a2 +b2 .

18

Рис. 1.1. Геометрическое представление числа z = a + bi

Аргументом комплексного числа z называется угол φ между по-

ложительной полуосью действительной оси Re z и отрезком, соединяющим начало координат и соответствующую числу точку на комплексной плоскости.

Аргумент (от англ. argument) комплексного числа z обозначают ϕ или arg z. Он не определен только для числа z = 0. Величину

называют главным значением аргумента комплексного числа z, при этом значения всех возможных углов ϕ обозначают Arg z. Очевидно,чтоArgz = argz + 2πk, k Z.Найтиегоможновпрямоугольном треугольнике (см. рис. 1.1):

tgϕ= ab.

Пусть −π<argz ≤ π. Тогда для разных координатных четвертей

19

Переход от тригонометрической формы к алгебраической форме осуществляется намного проще – необходимо вычислить произведениямодулянакосинусисинусаргумента,чтодаст,соответственно, действительную и мнимую часть.

Пример 1.3. Представить в тригонометрической форме комп-

лексные числа z1 =3+3,i z2 = −2+4i, z3 = −2−2i, z4 =1−3i. Решение. Представим в тригонометрической форме число

z1 =3+3i: z1 = 32 +(3)2 = 9+3 = 12 = 23.

Поскольку а > 0, то argz1 =arctg33 = π6. Таким образом,

Представим в тригонометрической форме число z2 = −2+4i:

=π−arctg2.

Ксожалению, в таблице значений тригонометрических функций отсутствует значение arctg2, поэтому в подобных

Найдем его модуль и аргумент: z4 = 12 +(−3)2 = 1+3 = 4 = 2.

20