Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Линейная алгебра для студентов-машиностроителей. В 2 частях. Ч.1. Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

11.08.2026

Размер:

608 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 99

Рис. П.2. Функция f(k)

(δ)(f(k))

Рис. П.3. Относительная погрешность вычисления значений функции f(k)

plot(k_range,rel_error_single,'LineStyle','-','DisplayName','Одинарная точ-

ность') hold on

plot(k_range,rel_error_double,'LineStyle','-.','DisplayName','Двойная точ-

ность') xlabel('k')

ylabel('Относительная погрешность') ax = gca;

ax.YScale = 'log'; grid on

legend('show', ''Location'',''northeastoutside'')

Изрис.П.2следует,чтозначенияf(k)и1–f(k)близкидругкдругу(оба лежат в пределах 0–1). Их перемножение приводит к потере значимых разрядов (по одному через несколько k), а следовательно, к совершенно неприемлемым результатам (рис. П.3) даже для чисел с двойной точностью (для значений k, близких к 60).

Упражнение 3.1

Умножим матрицы А и В:

5 8		−4 3		2 5
	6 9	−5	4	−1 3	=
AB =
	4 7	−3	9	6 5

	5 3	+8 4	−4 9 5 2+8	(−1)−4 6	5 5+8 3−4 5	11		−22 29
	6 3	+9 4	−5 9 6 2+9	(−1)−5 6	6 5+9 3−5 5		9	−27 32
=						=			.
	4 3	+7 4	−3 9 4 2+7	(−1)−3 6	4 5+7 3−3 5		13	−17 26

MATLAB: clear

A = [5 8 -4; 6 9 -5; 4 7 -3]; B = [3 2 5; 4 -1 3; 9 6 5]; A*B

Упражнение 3.2

Определитель удобнее всего вычислить по третьей строке:

4	−2	1	=	4	1	+2	4	−2	=(8−3)+2 (20+6)=5+52=57.
4	−2	1
3	5	2
0	−1	2		3	2		3	5
0	−1	2

MATLAB: clear

A = [4 -2 1; 3 5 2; 0 -1 2]; det(A)

Упражнение 3.3

Вычитаем первую строку из всех остальных:

a1	x	x	…	x
x −a1 a2 − x		0	… 0		.
x −a1	0	a3 − x … 0			.
…	…	…	…	…
x −a1	0	0	… an − x

Из первого столбца выносим a1 – x, из второго a2 – x, …, из n-го an – x:


a1		x	x	…		x
a	− x a	− x a	− x	…	a	− x
1	2	3			n

(a − x)(a − x)…(a − x) −1

… 0 .

−1

…

−1

…

Положим

=1+

и все столбцы прибавим к первому:

− x

(a1 − x)(a2 − x)…(an − x)×

+…+

…

− x

a − x

− x a − x a − x

− x

…

= x(a − x)(a − x)…(a − x)

+…+

x a1 − x a2 − x

an − x

Упражнение 3.4

Преобразуем определитель: вынесем из первой строки a1, а затем из первой строки вычтем вторую, поделенную на a2:

a1b1 a1b2 a1b3

a1b2	a2b2	a2b3
a1b3	a2b3	a3b3

a1bn a2bn a3bn

a1bn

a2bn

a3bn

anbn

	b1	b2	b3	bn
	a1b2 a2b2 a2b3			a2bn
=a1	a1b3	a2b3	a3b3	a3bn	=

	a1bn a2bn a3bn			anbn

b −		a1b2	0		0		…	0
b −			0		0		…	0
1		a
		2					… a2bn
=a	a1b2		a2b2		a2b3		… a2bn			=
1	a b		a b		a b		…	a b
	1	3	2	3	3	3		3	n

…… … … …

a1bn	a2bn a3bn … anbn

Разложим полученный определитель по первой строке:

a2b2 a2b3

… a2bn

a b

a b a b

… a b

= a

b −

1 2

2 3

3 3

3 n

…

… …

a2bn a3bn

… anbn

a2b2 a2b3 … a2bn

(b a

−a b

)

a2b3 a3b3

… a3bn

1 2

…

… …

a2bn a3bn … anbn

Получили рекуррентную формулу. Аналогично преобразуя новый определитель, получим

a3b3

a3b4 … a3bn

(b a

−a b

)

(b a

−a b

)

a3b4

a4b4 … a4bn

1 2

2 3

… … … …

a3bn a4bn … anbn

n−1

=…=

∏(biai+1 −aibi+1)

anbn

=a1bn∏(biai+1 −aibi+1).

n i=1

i=1

Упражнение 3.5

Найдем обратную матрицу:

					3 4 2 1 0											0					1					5 1 0 0 1
						2	−1		−3\|0			1				0		→				2			−1					−3\|0		1		0			→
	(A\|E)=					2	−1		−3\|0			1				0		→				2			−1					−3\|0		1		0			→
						1	5		1	0		0				1	I↔III					3				4				2	1	0		0	II–2I
						1	5		1	0		0				1						3				4				2	1	0		0	III–3I
			1			5		1 0 0 1											1				5						1 0 0					1
				0	−11		−5\|0			1		−2				→				0		−11						−5\|0				1		−2			→
→				0	−11		−5\|0			1		−2				→				0		−11						−5\|0				1		−2			→
				0 −11 −1 1 0 −3											III−II					0				0					4 1 −1 −1								I(−20)
				0 −11 −1 1 0 −3																0				0					4 1 −1 −1							II 4
																																					III5
−20				−100		−20 0				0			−20								−20						−100				0 5			−5			−25
		0		−44		−20\|0				4			−8				→						0				−44				0\|5			−1			−13				→
→		0		−44		−20\|0				4			−8				→						0				−44				0\|5			−1			−13				→
		0			0		20 5		−5				−5				I+III						0							0	20 5			−5				−5
		0			0		20 5		−5				−5			II+III							0							0	20 5			−5				−5
		−20			−100 0 5						−5			−25								−4						−20			0	1		−1			−5
→				0	−44			0\|5			−1			−13						→				0					44		0\|−5				1		13			→
→				0	−44			0\|5			−1			−13						→				0					44		0\|−5				1		13			→
I/5				0		0 20 5 −5										−5			I/5					0						0 4 1 −1 −1
II(−1)				0		0 20 5 −5										−5		II(−1)						0						0 4 1 −1 −1
III/5																			III/5
		−44				0 0 −14 −6								10							44						0			0 14			6 −10
→				0	220			0\|−25				5		65				→					0			44				0\|−5		1					13		→
→				0	220			0\|−25				5		65				→					0			44				0\|−5		1					13		→
I11																	I(−1)
II5				0		0 4 1 −1								−1 II									0				0 4 1 −1 −1
																			5
									44			0				0 14							6				−10
							→			0 44						0\|−5							1						13		→
							→			0 44						0\|−5							1						13		→
							III11			0		0				44 11					−11						−11
										0		0				44 11					−11						−11


								14			6			−		10														14		6			−		10

				1	0	0		44		44						44														44		44					44
				1	0	0		44		44						44														44		44					44
							−	5			1					13							−1							5		1					13
→				0 1 0														A							=			−											.
→				0 1 0				44		44						44		A							=			−		44		44					44		.
		I		0	0	1		44		44						44														44		44					44

44								11	−11					−11																11	−11				−		11
	II							11	−11					−11																11	−11				−		11
					Е
	44				Е			44		44						44														44		44					44
	44							44		44						44														44		44					44
III
III											−1
44										A

MATLAB: clear

A = [3 4 2; 2 -1 -3; 1 5 1]; inv(A)

Упражнение 3.6

Найдем A :

		1	1	2	= 2	1	2	+2	1	1	= 2(−6)+2(3−4)= −14.
	=
A		4	3	0

		2	0	2		3	0		4	3

Найдем алгебраические дополнения ко всем элементам:

		3 0						4 0									4 3
A =		3 0			=6, A = −			4 0				= −8, A =					4 3					= −6;
11		0		2			12	2			2			13			2		0
A = −			1 2			= −2, A =			1 2			= −2, A = −								1 1				= 2;
A = −			1 2			= −2, A =			1 2			= −2, A = −								1 1				= 2;
21			0	2			22		2		2			23						2		0
		1 2				= −6, A = −				1 2								1 1
A =		1 2				= −6, A = −				1 2			=8, A =					1 1				= −1.
31		3		0			32			4	0			33				4	3
6 −8						−6							1	(A	* )							1	6 −2			−6
									A−1 =				1			т						1
Итак, A* =	−2		−2		2		. Тогда											= −							−8 −2	8	.
Итак, A* =	−2		−2		2		. Тогда						A					= −			14				−8 −2	8	.
	−6 8					−1							A								14				−6 2	−1
	−6 8					−1																			−6 2	−1
MATLAB:
clear

A = [1 1 2; 4 3 0; 2 0 2]; inv(A)

Упражнение 3.7

Поскольку в матрице есть ненулевые элементы, ее ранг не меньше единицы:

M2 =	2	3	=4−3=1≠ 0,

	1	2

значит, ранг матрицы не менее двух.

Рассмотрим миноры третьего порядка, в которых содержится ненулевой минор 12 32 . Таких миноров два:


M3 =	2			3		7	=5		3		7		+10		2		3	=5(12−14)+10(4−3)=0;
	2			3		7
	1		2		4
	5			0		10			2		4				1		2
	5			0		10
M3 =		2 3				11		=5		3	11			+5		2	3	=5(21−22)+5(4−3)=0.


		1		2 7
		5		0		5				2		7				1	2
		5		0		5

Максимальный порядок ненулевого минора равен двум, значит, rank A = 2.

MATLAB: clear

A = [2 3 7 11; 1 2 4 7; 5 0 10 5]; rank(A)

Упражнение 3.8

Найдем ранг матрицы:

2 1 3				0				1 4				2 1					1		4	2	1
	1 4 2			1					2 1			3 0
						→								→				2	1	3	0		→
	3 2		2	6					3		2	2 6
						I↔II							IIи IVодинаковы,					1 1		−1	6	I↔III
														уберем IV
	8 5 7			12	IV−2III				2 1			3 0
														III–II

	1 1			−1 6						1		1 −1		6		1 1 −1							6
		2 1		3 0				→			0	−1 5 −12					0		−1 5		−12
	→														→									.
		1	4	2		1	II−2I				0	3	3	−5	III+3II		0		0	18		41
							III−I

В приведенной к ступенчатому виду матрице три строки. Отсюда следует, что rank A = 3.

MATLAB: clear

A = [2 1 3 0; 1 4 2 1; 3 2 2 6; 8 5 7 12]; rank(A)

Давыдов Роман Вадимович

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ДЛЯ

СТУДЕНТОВМАШИНОСТРОИТЕЛЕЙ

Ч а с т ь 1

Учебное пособие

Редактор О. В. Махрова Корректор Н. Б. Цветкова

Компьютерная верстка Е. Н. Никулкиной Дизайн обложки О. А. Костюшенко

Свод. темплан 2023 г.

Санитарно-эпидемиологическое заключение

№ 78.01.07.953.П.001342.01.07 от 24.01.2007 г.

Налоговая льгота – Общероссийский классификатор продукции ОК 005-93, т. 2; 95 3005 – учебная литература

Подписано в печать 10.09.2024. Формат 60×84/16. Печать цифровая. Усл. печ. л. 5,5. Тираж 50. Заказ 4467.

Отпечатано в Издательско-полиграфическом центре Политехнического университета.

195251, Санкт-Петербург, Политехническая ул., 29.

Тел.: (812) 552-77-17; 550-40-14.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 99

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]