Линейная алгебра. Сборник задач

Задачи для решения на практическом занятии

Вычислить определители:

1.

1

2

.

2.

x

xy

.

3.

cos x

sin x

.

3

4

1

y

sin x

cos x

Решить уравнения:

4.

2x 1

3

0.

5.

2x 1

x 1

6.

6.

sin 2x

sin x

0.

x 5

2

x 5

x 1

cos x

cos 2x

Вычислить определители:

7.

1

2

3

8.

3

2

1

9.

1

1

1

4

5 6

.

2 2

3

.

4

5

9

.

7

8

9

4

2

3

16

25

81

2

3

5

2

1

3

x

y

z

10.

0

1

0

.

11.

2

1

1

.

12.

0

y

z

.

6

7

8

3

0

2

x

0

z

13.

1 3 2

14.

3

4 5

15.

1 2 1

2

8

1

.

8

7

2

.

3

1

5

.

1

1

2

2

1

8

4

2

5

2

3

0

2

1

1

3

4

16.

1

1

2

2

.

17.

2

0

0

8

.

3

1

5 2

3

0

0

2

0

2

4

1

4

4

7

5

3

5

2

4

18.

3

4

5

3

.

5

7

7

5

8

8

5

6

Решить уравнения и неравенство:

1

2

2

0

3

3

19.

1

7

x 3

0.

20.

2 3x

0

5

0.

5

3

6

3

2

1

1

0

2x 3

21.

3 x

1

1

0.

2x 1

1

2

Задачи для домашнего задания

Вычислить определители:

1

1

1

22.

2

3

.

23.

22

3

3

.

5

4

4

6

7

2

3

5

3

2

2

2

9

8

5

10

24.

2 1

6

.

25.

.

6

7

8

5

8

5

8

6

5 4 7

Решить уравнения и неравенства:

3

2

1

2

0

1

26.

x 1

0

7

0.

27.

1

x 5

2 x

4.

2

1

3

3

1

2

3

x 1 1

3

2

1

28.

x 2

2

3

6.

29.

x 2

0

1

0.

0

1

x

2

3 x

1

6.

x π

πk,

x πn,

x π

πl,

k,n,l Z.

1

2

2

3

6

7.

0.

8.

– 12.

9.

20.

10.

14.

11.

2.

12.

xyz.

13.

– 36.

14.

0.

15.

87.

16.

63.

17.

100.

18.

17.

19.

5.

41 .

20.

x

21

21.

3;

5 .

22.

7.

2

23.

– 19.

24.

60.

25.

– 6.

26.

2.

36 .

27.

x

28.

1.

5

15 .

29.

x

15,

динаты векторных произведений: а)

а

;

б)

2а

;

b

b

b

в) 2а

2а

.

b

b

2.

Даны:

а

10 ,

2 и а

12 . Вычислить

а

.

b

b

b

3.

Векторы

а

и

взаимно перпендикулярны. Зная, что

b

а

3,

b

4, вычислить:

а

а

; б)

3а

а 2

.

а)

b

b

b

b

4.

Векторы

а

и

образуют угол

2 π. Зная, что

а

1,

b

2, вычислить:

а

.

3

b

b

5.

Даны вершины треугольника А(1;

– 1; 2),

В(5; – 6;

2) и

С(1; 3; – 1). Вычислить длину его высоты,

опущенной из

вершины В на сторону АС.

угольника,

построенного на векторах а 2

b

и 3а 2

b

, ес-

а

ли

b

5 .

7.

Найти единичный вектор с,

перпендикулярный вектору

а {1; 4; 3} и оси абсцисс.

8.

Вектор х , перпендикулярный к векторам а {4; 2; 3} и

{0;1; 3},

образует с осью

Оу тупой угол. Зная, что

b

Задачи для домашнего задания

11.

Векторы

а и

образуют угол

π

. Зная, что

а

6,

b

6

5,

вычислить

а

.

b

b

12.

Даны:

а

3,

26 и

а

72.

Вычислить а

.

b

b

b

13.

Векторы

а и

образуют угол

2 π. Зная, что

а

1

b

2,

вычислить:

3

b

а)

2а

а 2

; б)

а 3

3а

.

b

b

b

b

из векторов а {3, 1, 2} и

b

{ 1, 3, 1}.

18. Вектор

m

, перпендикулярный к оси Oz и к

вектору

а {8, 15, 3}, образует острый угол с осью Ох.

Зная, что

т

51,

найти его координаты.

19.

Найти вектор x , зная, что он перпендикулярен векторам

a {3; 1;1}

и

b

{1; 3; 2} и удовлетворяет условию

x (4i – 2j + 3k) = 20.

20.

При каких значениях α и β векторы a αi + 7j + 3k и

i + βj + 2k коллинеарны?

b

Ответы

1.

а) {5;1; 7}; б) {10; 2;14}; в) {20; 4; 28}.

2.

16.

3.

а) 24; б) 60.

4.

3.

5.

h 5.

6.

50

2.

7.

с

3

;

4

0;

5

5

.

17.

5

1

8

5

1

8

;

;

;

;

;

.

3 10

3 10

3 10

3

10

3 10

3 10

2.

Даны вершины тетраэдра

А(6; – 1; – 7),

В(8; – 1; – 8),

С(8; 2; – 5), D(– 1; 3; 2). Найти объем тетраэдра.

3.

Установить,

компланарны

ли

векторы а,

b

, с,

если

a {3; 2;1},

{2;1; 2},

с {3; 1; 2}.

b

4.

Доказать, что точки А(1;

– 1;

2),

В(3; 1; – 1),

С(– 1;

2; 4),

D(3; 6; – 2) лежат в одной плоскости.

Задачи для домашнего задания

8.

Найти

смешанное

произведение

векторов

a {2; 1; 1},

{ 1; 4; 2}, с {1; 1; 5} .

b

9.

Даны

вершины

тетраэдра

А(2; – 2; – 3),

В(3; 1; 1),

С(1; – 3; – 3), D(5; – 6; – 8). Найти объем тетраэдра.

10.

Установить,

компланарны

ли

векторы

а,

b

, с,

если

a {2; 3; 1},

{1; 1; 3}, с {1; 9; 11}.

b

11.

Доказать, что точки А(1; 3;

– 1),

В(2; 3;

5),

С(– 1;

4; 2),

D(– 7; 6; – 4) лежат в одной плоскости.

5. V 9;

SABCD 29.

14.

D1 ( 11; 0; 0),

D2 (13; 0; 0).

1.6. Прямая на плоскости

Задачи для решения на практическом занятии

1.

Определить,

какие

из

точек

М1(3; 1), М2(2; 3), М3(6; 3),

М4(– 3; – 3).

М5(3; – 1),

M6 ( 2;1) лежат

на

прямой

2x 3y 3 0 и какие не лежат на ней.

2.

Записать уравнение

прямой,

проходящей

через

точки

А(1; – 1) и В(4; 3), и привести его к общему виду, парамет-

рическому виду, с угловым коэффициентом, «в отрезках».

А(1; – 3): а) параллельно прямой

x 3

y 1

;

б) перпенди-

4

1

x 5

y 2

кулярно прямой

.

2

3

фициент k этой прямой; б) угловой коэффициент прямой,

параллельной данной; в) угловой коэффициент прямой,

6.

перпендикулярной данной.

Определить,

при каком

значении параметра

α прямая

α2 α x 2

α y 3α 6

0 :

а) параллельна

оси Ох;

б) проходит через начало координат.

7.

Найти точку

пересечения

двух

прямых 3x 4 y 29 0,