Линейная алгебра. Учебное пособие-1

III.Линейные операторы векторных пространств

§20. Собственные векторы

исобственные значения линейного оператора

венные векторы относятся к одному собственному значению

торов, не являются собственными, так как для них f (x) x .

61

Линейная алгебра

5. Оператор поворота векторов пространства E2 на уголk ( k Z ) относительно их общего начала вообще не

имеет собственных векторов, так как f (x) x , x 0 .

6. Оператор отражения (симметрии) от оси l , порожденной базисным вектором e1 , имеет два класса собственных век-

Векторы, не коллинеарные ни одному из базисных векторов, собственными для оператора симметрии не являются.

Теорема. Собственные векторы линейного оператора, относящиеся к его различным собственным значениям, составляют линейно независимую систему.

Доказательство проведем методом математической индукции по количеству векторов.

Система, состоящая из одного собственного вектора, всегда линейно независима, так как по определению этот вектор нену-

левой. Предположим, что для любых k собственных векторов теорема справедлива, а собственные векторы c1 ,...,ck ,ck 1 , от-

носящиеся к различным собственным значениям 1 ,..., k , k 1 ,

оказались линейно зависимы. Это значит, что векторы связаны некоторым равенством

в котором хотя бы один коэффициент отличен от нуля, например t1 0 . Образы равных векторов также равны:

62

III. Линейные операторы векторных пространств

Вычитая из равенства (20.3) равенство (20.2), умноженное наk 1 , получим

речит индуктивному предположению. Таким образом, векторы c1 ,...,ck ,ck 1 линейно независимы. ▲

Теорема. Линейный оператор тогда и только тогда задается в некотором базисе диагональной матрицей, когда все базисные векторы являются собственными векторами этого оператора.

Доказательство. Пусть матрица A линейного оператора f относительно некоторого базиса E (e1 e2 ...en ) диагональна:

63

Линейная алгебра

Наоборот, если базисные векторы являются собственными для некоторого оператора f , т. е. справедливы равенства

(20.5), то матрица оператора диагональна и задается формулой

(20.4). ▲

Замечание. На главной диагонали матрицы (20.4) линейного оператора в этом случае расположены собственные значения оператора, к которым относятся базисные векторы.

§21. Характеристический многочлен

ихарактеристические корни линейного оператора

Пусть A (aij ) ( i, j 1, n ) — произвольная квадратная мат-

рица порядка n .

Определение. Характеристической по отношению к мат-

в которой — некоторая переменная.

Определитель характеристической матрицы A E назы-

вается характеристическим многочленом матрицы A и обо-

значается det( A E) . Очевидно, что степень характеристического многочлена матрицы A равна порядку n этой матрицы, а его старший коэффициент равен ( 1)n . Отсюда, в частности,

следует, что характеристический многочлен любой матрицы не может быть нулевым.

Характеристическими корнями матрицы A называются корни ее характеристического многочлена.

64

III. Линейные операторы векторных пространств

Лемма. Все матрицы линейного оператора имеют один и тот же характеристический многочлен и, следовательно, одинаковые характеристические корни.

играет матрица T перехода от базиса E к базису E ' . Тогда det( A' E) det(T 1 AT T 1 ( E)T ) det(T 1 ( A E)T )

det(T 1 )det( A E)detT det( A E) ,

что и требовалось доказать. ▲ Характеристический многочлен любой из матриц линейно-

го оператора f , а также характеристические корни любой из

его матриц в дальнейшем будем называть характеристиче-

ским многочленом и характеристическими корнями самого оператора.

§22. Теорема о характеристических корнях

исобственных значениях линейного оператора

Теорема. Действительные характеристические корни линейного оператора, заданного в действительном векторном пространстве, и только они являются собственными значениями этого оператора.

Доказательство. Рассмотрим векторное пространство

65

Линейная алгебра

где C — столбец координат вектора c , а i 1, n . Подставив

В силу однозначности разложения вектора по базису векторное равенство (22.2) приводится к координатному

где — нулеваястолбцоваяматрица, а E — единичнаяматрица. Рассмотрим вспомогательную систему n однородных

уравнений

где X — столбец неизвестных. Согласно равенству (22.4) эта

Таким образом, собственное значение 0 R оператора f

оказалось характеристическим корнем этого оператора. Наоборот, пусть 0 — действительный характеристиче-

ский корень оператора f , т. е. справедливо равенство (22.6).

66

III. Линейные операторы векторных пространств

Рассмотрим вспомогательную систему уравнений (22.5). Эта система квадратная, однородная, ее определитель равен нулю, следовательно, она имеет бесконечно много действительных

решений. Пусть c1 ,c2 ,...,cn — одно из ненулевых решений

системы (22.5), тогда эти числа удовлетворяют уравнениям системы, а значит, справедливы равенства (22.4) и (22.3). По-

Таким образом, каждый действительный характеристический корень оператора f оказался его собственным значени-

ем. Теорема доказана. ▲

Замечание 1. Для оператора, действующего в комплексном векторном пространстве, аналогично доказывается, что все характеристические корни и только они являются собственными значениями этого оператора.

Замечание 2. Доказанная теорема позволяет найти не только собственные значения оператора, но и его собственные

векторы, относящиеся к каждому из значений 0 . Координаты

этих векторов являются решениями вспомогательной системы уравнений (22.5). Это значит, что множество собственных векторов линейного оператора, относящихся к одному собственному значению, вместе с нулевым вектором заполняет под-

пространство векторного пространства Vn , в котором действу-

ет оператор. Такое подпространство называется собственным подпространством оператора, соответствующим его собст-

венному значению 0 .

67

Линейная алгебра

Замечание3. Из теоремы также следует, что оператор, заданный в действительном векторном пространстве, тогда и только тогда имеет собственные векторы, когда хотя бы один из его характеристических корней действителен. В частности, если размерностьпространства Vn естьнечетное число, то собственные векто-

ры существуют у любого оператора. В комплексном векторном пространствелюбойоператоримеетсобственныевекторы.

§ 23. Подпространства, инвариантные относительно оператора

Определение. Подпространство L векторного пространства Vn называется инвариантным относительно линейного

оператора f :Vn Vn , если образ любого вектора x , принадлежащего L , также содержится в L , т. е.

пространство инвариантны относительно любого оператора. Инвариантными являются также собственные подпро-

Теорема. Для любого линейного оператора, заданного в действительном векторном пространстве, существует одномерное или двумерное подпространство, инвариантное относительно этого оператора.

68

III.Линейные операторы векторных пространств

Доказательство. Пусть Vn — действительное вектор-

ствительные коэффициенты, но корни этого многочлена могут оказаться как действительными, так и комплексными.

Пусть сначала 0 — действительный характеристический корень оператора f . Тогда онявляется собственным значением этого оператора, которому соответствует некоторый собственный вектор c 0 : f (c) 0 c. Рассмотрим одномерное подпространство

L1 , порожденноевектором c . Длялюбоговектора x L1 получим

x xc , f (x) f (xc) xf (c) x 0 c L1 .

Таким образом, одномерное подпространство, порожденное любым собственным вектором линейного оператора, инвариантно относительно этого оператора.

Пусть теперь 0 i ( , R , 0 ) — любой комплексный характеристический корень оператора f , т. е.

det ( A 0 E) 0 . Рассмотрим вспомогательную систему n однородных уравнений

где X — столбец неизвестных, а — нулевая столбцовая матрица. Так как определитель системы равен нулю, то система имеет бесконечно много комплексных решений. Пусть

— одно из ненулевых решений системы (23.1). Это решение мож-

69

Линейная алгебра

— столбцовые матрицы, составленные из действительных чисел. Решение (23.2) удовлетворяет всем уравнениям системы (23.1), т.е. справедливоравенство

Так как решение (23.2) является ненулевым, то, по крайней мере, один из столбцов U и V отличен от нулевого. Следова-

тельно, векторы u и v тоже не равны нулю одновременно.

( k R ). Формулы (23.4) в этом случае принимают вид

70