Линейная алгебра. Учебное пособие-1

IV. Евклидовы пространства

этой системы.

нулевых попарно ортогональных векторов e1 ', e2 ', ... ,en ' . Эти

векторы, как доказано в § 25, линейно независимы, а значит, составят новый базис пространства En . Таким образом, в евк-

лидовом пространстве существуют базисы, все векторы которых попарно ортогональны. Такие базисы называются ортогональными. Из доказательства теоремы следует, что любой

ненулевой вектор пространства En входит в состав некоторого ортогонального базиса.

откуда

u u 2 u v 2 v v 0 .

81

Линейная алгебра

Так как неравенство справедливо для любого R , то дискриминант D квадратного трехчлена из его левой части не

должен быть положительным:

D 4(u v)2 4(u u)(v v) 0 . Тогда (u v)2 (u u)(v v) ,

а значит, неравенство (27.1) справедливо.

нормированным, если все базисные векторы попарно ортогональны и длина каждого из них равна единице.

Для получения такого базиса достаточно пронормировать векторы любого ортогонального базиса пространства En .

82

IV. Евклидовы пространства

En тогда и только тогда ортонормирован, когда скалярное произведение любых двух векторов пространства вычисляет-

ся как сумма произведений соответствующих координат этих векторов относительно данного базиса.

Необходимость. Пусть базис E (e1 e2 ... en ) ортонормирован, т. е. справедливы равенства (27.2). Тогда для лю-

находим x y (xi ei ) ( y j ej ) xi y j (ei ej ) xi y j ij

x1 y1 x2 y2 ... xn yn X tY.

Достаточность. Пусть скалярное произведение любых векторов пространства En выражается через координаты этих

векторов относительно базиса E (e1 e2 ... en ) с помощью

формулы

x y x1 y1 x2 y2 ... xn yn X tY .

Так как

ei 0 e1 ... 1 ei ... 0 en , ej 0 e1 ... 1 ej ... 0 en ,

83

Линейная алгебра

§ 28. Ортогональные матрицы

Определение. Квадратная матрица A называется ортогональной, если обратная по отношению к ней матрица совпадает с транспонированной:

Из определения следует, что все ортогональные матрицы невырожденны, а такжедлякаждойиз них справедливоравенство

Учитывая, что столбцы транспонированной матрицы At

являются строками матрицы A , а строки матрицы At являются столбцами матрицы A , из формул (28.2) можно вывести следующий признак ортогональной матрицы: квадратная матрица A тогда и только тогда ортогональна, когда сумма квадратов элементов каждой из ее строк (столбцов) равна единице, а сумма попарных произведений соответствующих элементов ее различных строк (столбцов) равна нулю.

Из формул (28.2) также следует

det( A At ) det A det At (det A)2 1 .

Таким образом, если матрица A ортогональна, то det A 1 .

Ортогональными являются, например, матрицы

84

IV. Евклидовы пространства

Теорема. Произведение ортогональных матриц является ортогональной матрицей. Матрица, обратная к ортогональной, также ортогональна.

Доказательство. Пусть матрицы A и B ортогональны, т. е. A 1 At , B 1 Bt . Тогда

( AB) 1 B 1 A 1 Bt At ( AB)t , ( A 1 ) 1 A ( At )t ( A 1 )t .

Это значит, что каждая из матриц AB и A 1 ортогональна. ▲

Теорема. Матрица перехода от одного ортонормированного базиса к другому ортонормированному базису всегда ор-

тогональна.

Доказательство. Пусть E (e1 e2 ... en ) и E' (e1 ' e2 ' ... en ')

— два ортонормированных базиса евклидова пространства En и T (tij ) — матрицапереходаотпервогобазиса ковторому, т.е.

ное произведение любых векторов пространства En можно

вычислить как сумму произведений их соответствующих координат:

откуда следует

ti1t1j ti2t2j ... tintnj ij .

Это значит, что для столбцов матрицы T справедлив признак ортогональной матрицы. ▲

85

Линейная алгебра

§ 29. Изоморфизм евклидовых пространств

Определение. Евклидовы пространства E и E ' называются изоморфными, если эти пространства изоморфны как векторные пространства (см. § 6), причем их изоморфизм со-

Теорема. Евклидовы пространства E и E ' тогда и только тогда изоморфны, когда их размерности равны.

Необходимость. Равенство размерностей изоморфных векторных пространств доказано в § 6.

ответствуют при этом изоморфизме. В силу ортонормирован-

ности каждого из базисов E и E ' получим a b a1b1 a2b2 ... anbn a ' b' ,

что и требовалось доказать. ▲

§ 30. Ортогональное дополнение подпространства

Пусть L — некоторое подпространство евклидова пространства En . Очевидно, что L также является евклидовым

пространством.

86

IV. Евклидовы пространства

Определение. Вектор x En называется ортогональным подпространству L En , если он ортогонален любому векто-

ру y из этого подпространства:

x L x y , y L .

Легко показать, что вектор x тогда ортогонален подпространству L , когда он ортогонален векторам хотя бы одного базиса этого подпространства. Наоборот, вектор, ортогональный подпространству, ортогонален любому из его базисов.

Определение. Множество всех векторов пространства En , ортогональных подпространству L En , называется ортогональным дополнением этого подпространства.

Ортогональное дополнение обозначается символом L .

Теорема. Ортогональное дополнение L подпространства L En также является подпространством, причем

вектора ортогонального дополнения L . Тогда для всех векторов y L справедливо

Находим

(k1 x1 k2 x2 ) y k1 x1 y k 2 x2 y k1 0 k2 0 0 .

Это значит, что

k1 x1 k2 x2 y , y L ,

следовательно,

k1 x1 k2 x2 L

при любых k1 и k 2 из поля R . Таким образом, для ортогонального дополнения выполняется признак подпространства.

87

Линейная алгебра

и дополним его до ортогонального базиса всего пространства

L L En (сумма двух подпространств также является под-

следнее равенство возможно в единственном случае, когда b 0 , поэтому L L {0} . Пространство En , таким образом,

является прямой суммой своих подпространств L и L : En L L . Тогда

n dim En dim L dim L ,

откуда следует равенство (30.1). ▲

88

IV. Евклидовы пространства

Замечание 1. Векторы (30.3), дополняющие ортогональный базис подпространства L до ортогонального базиса всего

пространства En , как теперь выяснилось, составляют базис ор-

тогонального дополнения L .

Замечание2. Возвращаясь к формулам (30.4), (30.5), (30.6),

отметим, что вектор a1 называется ортогональной проекцией

вектора a на подпространство L , а вектор a2 — его ортого-

нальной составляющей. Из теоремы § 8 следует, что ортогональная проекция любого вектора на подпространство L , а также его ортогональная составляющая определяютсяоднозначно.

§ 31. Симметрические операторы

Определение. Оператор f : En En , действующий в евк-

Опираясь только на это определение, легко установить, что тождественный, нулевой операторы и оператор подобия (см. § 15) являются симметрическими.

Теорема I. Симметрический оператор в любом ортонор-

Умножим первое из этих равенств скалярно на вектор ej , а второе — на вектор ei :

89