Линейная алгебра. Учебное пособие-1

IV. Евклидовы пространства

Доказательство. Предположим, что симметрический оператор f имеет хотя бы одну пару комплексно сопряжен-

ных корней i ( 0 ). Тогда (см. § 23) существует дву-

мерное подпространство L , инвариантное относительно этого оператора. Подпространство L порождается линейно незави-

симыми векторами u и v , образы которых определяются формулами (23.4):

f (u) u v, f (v) u v.

Находим

f (u) v ( u v) v u v v v, u f (v) u ( u v) u u u v.

Вычитая эти равенства одно из другого, в силу симметричности оператора f получим

(u u v v) 0 .

Однако при 0 и ненулевых векторах u и v , последнее ра-

венство выполняться не может. Следовательно, комплексных характеристических корней симметрический оператор f не

имеет. ▲

Приведем еще одно доказательство теоремы III, более громоздкое, но не опирающееся на формулы (23.4). Пусть 0 —

любой из характеристических корней симметрического оператора f (быть может, комплексный). Это значит, что 0 явля-

ется характеристическим корнем любой из матриц этого опе-

меется симметрической, тогда

det ( A 0 E) 0 .

91

Линейная алгебра

Система (31.2) квадратная, однородная, и ее определитель равен нулю, следовательно, она имеет бесконечно много решений. Выберем одно из ненулевых решений системы (31.2):

Так как характеристический корень 0 может быть комплексным, то и решение (31.3) следует предполагать ком-

плексным. Умножим первое из равенств (31.4) на число b1 , со-

пряженное числу b1 , второе — на b2 ,…, последнее равенство

умножимна bn , послечего все равенствасложим. Получим

a1k bk b1 ak2bk b2 ... aknbk bn 0 (b1 b1 b2 b2 ... bn bn ) . (31.5)

Для каждого i 1, n имеем bi bi R , bi bi 0 . Но так как

решение (31.3) ненулевое, то сумма b1 b1 b2 b2 ... bn bn окажется положительным действительным числом. Докажем, что и в левой части равенства (31.5) находится действительное

92

IV. Евклидовы пространства

число. Для этого воспользуемся свойствами комплексно сопряженных чисел, правилами сокращенного суммирования и

симметрического оператора действителен, то он является собственным значением оператора, а значит, существуют относящиеся к нему собственные векторы.

Теорема IV. Собственные векторы симметрического оператора, относящиеся к его различным собственным значени-

93

Линейная алгебра

§ 32. Критерий симметричности оператора

Лемма. Если подпространство L евклидова пространства En инвариантно относительно симметрического опера-

тора f , то его ортогональное дополнение L также инва-

риантно относительно этого оператора.

Доказательство. Пусть подпространство L En инвариантно относительно симметрического оператора f , т. е.

x L : f (x) L .

Рассмотрим y L , тогда

x f ( y) f (x) y 0 .

Это значит, что f ( y) x для x L , следовательно, f ( y) L . Тем самым инвариантность ортогонального допол-

нения L доказана. ▲

Теорема. Оператор f : En En тогда и только тогда является симметрическим, когда в пространстве En существу-

ет ортонормированный базис, состоящий из собственных векторов этого оператора.

Необходимость докажем индукцией по размерности пространства En . В одномерном пространстве E1 все векторы

пропорциональны, поэтому любой ненулевой вектор является собственным для любого оператора, действующего в этом пространстве. В том числе собственным окажется и единич-

ный вектор e E1 . Этот вектор и составит искомый ортонор-

мированный базис.

Предположим, что для пространств размерности n 1 теорема справедлива. Рассмотрим n -мерное евклидово пространство En и действующий в нем симметрический оператор f .

94

IV. Евклидовы пространства

Пусть 0 — любой характеристический корень оператора f ,

тогда этот корень является собственным значением. Выберем один из собственных векторов оператора, соответствующих

собственному значению 0 , и рассмотрим одномерное подпространство L En , порожденное этим собственным векто-

ром. В § 23 было доказано, что подпространство L инвариантно относительно оператора f . Ортогональное дополнение

L подпространства L также инвариантно относительно f , а dim L n 1. Рассмотрим действие оператора f на подпро-

странствах L и L . Очевидно, что на каждом из них оператор остается симметрическим, а значит, на этих подпространствах

составленный из собственных векторов этого оператора. Объ-

рого являются собственными для некоторого оператора f :

Матрица B оператора f в этом базисе диагональна:

а значит, она симметрическая. Тогда по теореме II предыдущего параграфа симметрическим является и сам оператор f . ▲

95

Линейная алгебра

Замечание. Матрицу (32.1) симметрического оператора f

иногда называют его канонической матрицей. Будучи жордановой нормальной формой класса подобных матриц, задающих оператор f , она определяется однозначно с точностью

до расположения элементов i на главной диагонали. Элемен-

ты канонической матрицы совпадают с характеристическими корнями оператора f , каждый из которых берется столько

раз, какова его кратность.

§ 33. Ортогональные операторы

Определение. Оператор f : En En евклидова пространства En называется ортогональным, если он сохраняет скалярное

Ортогональные операторы иногда называют изометрическими. Пользуясь этим определением, легко установить, что тождественный оператор, операторы поворота и отражения от оси (см. § 15) ортогональны, а нулевой оператор и оператор по-

ванный базис. ▲

96

IV. Евклидовы пространства

Из этой теоремы следует, что оператор проектирования на ось (см. § 15) ортогональным не является.

Теорема II. Если оператор f : En En переводит хотя бы один ортонормированный базис в ортонормированный ба-

задается ортогональной матрицей.

Доказательство. Пусть A — матрица ортогонального оператора f относительно базиса E :

f(E) EA .

По теореме I векторы f (E) ( f (e1 ) f (e2 ) ... f (en )) также составляют ортонормированный базис, а значит, A можно ин-

терпретировать как матрицу перехода от ортонормированного

базиса E к ортонормированному базису f (E) . Такая матрица

(см. § 28) ортогональна. ▲

Теорема IV. Если в некотором ортонормированном базисе оператор f задается ортогональной матрицей, то этот

оператор ортогонален.

97

IV. Евклидовы пространства

Здесь учтены формула (34.1), определения ортогонального

f : En En существует ортонормированный базис, относительно которого оператор задается канонической матрицей

99

Линейная алгебра

Доказательство проведем методом математической индукции по размерности пространства.

В одномерном евклидовом пространстве E1 все ненулевые векторы являются собственными для любого оператора.

Следовательно, собственным является и единичный вектор e этого пространства. В силу ортогональности оператора f

этот вектор может относиться к собственному значению 1

или 1, т. е.

f (e) e или f (e) e .

Матрица оператора f относительно базиса e принимает вид 1 или 1 и является частным случаем матрицы (34.3).

Отсюда, в частности, следует, что существует только два ортогональных оператора, действующих в одномерном пространстве E1 , — тождественный оператор и противополож-

ный ему.

Рассмотрим теперь двумерное евклидово пространство E2 и действующий в нем ортогональный оператор f . Относи-

тельно любого ортонормированного базиса этот оператор задается ортогональной матрицей

Тогда det A 1 , а элементы матрицы A удовлетворяют следующим соотношениям:

Пусть сначала det A 1, т. е.

100